《2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点18直线与圆(1)(解析版)5292.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点18直线与圆(1)(解析版)5292.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考点 18 直线与圆（1）【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2017 镇江期末）圆心在直线y4x上，且与直线xy10 相切于点P(3，2)的圆的标准方程为_【答案】(x1)2(y4)28【解析】解法 1 设圆心为(a，4a)，则有r|a4a1|2 a324a22，解得a1，r2 2，则圆的方程为(x1)2(y4)28.解法2 过点P(3，2)且垂直于直线xy10的直线方程为xy50，联立方程组 xy50，y4x，解得 x1，y4，则圆心坐标为(1，4)，半径为r 1324222 2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.2、(2017 扬州期末）已知直线l：x 3y20 与圆C：x2y24
2、 交于A，B两点，则弦AB的长度为_.【答案】2 3 【解析】圆心C(0,0)到直线l的距离d|0 302|131，由垂径定理得AB2R2d22 412 3，故弦AB的长度为 2 3.3、(2019 苏州期末）在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A(1，3)，B(4，6)，且圆心在直线 x2y10上的圆的标准方程为_【答案】(x5)2(y2)217 【解析】思路分析 由圆心既的线段 AB 的垂直平分线上，又在直线 x2y10 上，先求出圆心的坐标 线段 AB 的中点为 M52，92，斜率 kAB1，所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y92x52，即 xy7.由xy7，x2y1，得圆心 C(5
3、，2)，半径 rCA 17，圆 C 的方程为(x5)2(y2)217.解后反思 因为圆的标准方程中有三个待定量，所以只要建立一个含三个方程的方程组 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则（1a）2（3b）2r2，（4a）2（6b）2r2，a2b10，解得a5，b2，r217.所以圆的方程为(x5)2(y2)217.4、(2018 苏州期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知过点 A(2，1)的圆 C 与直线 xy1 相切，且圆心在直线 y2x 上，则圆 C 的标准方程为_【答案】(x1)2(y2)22【解析】解法 1(几何法)点 A(2，1)在直线 xy1 上，故点 A 是切点过点 A(
4、2，1)与直线 xy10 垂直的直线方程为 xy3，由xy3，y2x，解得x1，y2，所以圆心 C(1，2)又 AC（21）2（12）2 2，所以圆 C 的标准方程为(x1)2(y2)22.解法 2(方程法)由圆心在直线 y2x 上，可设圆心为(a，2a)，圆的标准方程为(xa)2(y2a)2r2(r0)要确定两个待定量 a，r2的值，只需建立两个含 a，r2的等式，建立方程组求解 由圆 C 过点 A(2，1)，且与直线 xy1 相切，得（2a）2（12a）2r2，|a2a1|2r，即5a28a5r2，a22a12r2，解得a1，r22.所以圆 C 的标准方程为(x1)2(y2)22.5、(2
5、018 镇江期末）已知圆 C 与圆 x2y210 x10y0 相切于原点，且过点 A(0，6)，则圆 C 的标准方程为_【答案】(x3)2(y3)218 【解析】由几何知识可知，圆心 C 在圆 x2y210 x10y0 的圆心与原点的连线 yx 上，又在 OA 的垂直平分线 y3 上，所以 C(3，3)，易得圆 C 的标准方程为(x3)2(y3)218.6、(2018 苏北四市期末）在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C1：x2(y1)2r2(r0)上存在点 P，且点 P关于直线 xy0 的对称点 Q 在圆 C2：(x2)2(y1)21 上，则 r 的取值范围是_【答案】21，21 【解析】设
6、圆 C1上存在点 P(x0，y0)满足题意，点 P 关于直线 xy0 的对称点 Q(y0，x0)，则x20（y01）2r2，（y02）2（x01）21，故只需圆 x2(y1)2r2与圆(x1)2(y2)21 有交点即可，所以|r1|（10）2（21）2r1，解得 21r 21.7（2017 徐州六市联考）在平面直角坐标系xOy中，过点P(2,0)的直线与圆x2y21 相切于点T，与圆(xa)2(y 3)23 相交于点R，S，且PTRS，则正数a的值为_【答案】4【解析】因为PT与圆x2y21 相切于点T，所以在 RtOPT中，OT1，OP2，OTP2，从而OPT6，PT 3，故直线PT的方程为
7、x 3y20，因为直线PT截圆(xa)2(y 3)23 得弦长RS 3，设圆心到直线的距离为d，则d|a32|2，又 32 3d2，即d32，即|a32|3，解得a8，2,4，因为a0，所以a4.8、(2018 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系 xOy 中，若动圆 C 上的点都在不等式组x3，x 3y30 x 3y30，表示的平面区域内，则面积最大的圆 C 的标准方程为_【答案】(x1)2y24 【解析】首先由线性约束条件作出可行域，面积最大的圆 C 即为可行域三角形的内切圆(如图)，由对称性可知，圆C的圆心在x轴上，设半径为r，则圆心C(3r，0)，且它与直线x
8、3y30相切，所以|3r3|13r，解得 r2，所以面积最大的圆 C 的标准方程为(x1)2y24.9、(2018 盐城三模）定义：点00(,)M xy到直线:0l axbyc的有向距离为0022axbycab已知点(1,0)A,(1,0)B，直线m过点(3,0)P，若圆22(18)81xy上存在一点C，使得,A B C三点到直线m的有向距离之和为 0，则直线l的斜率的取值范围为 【答案】3(,4 【思路分析】由“,A B C三点到直线m的有向距离之和为 0”知，动点C在一条直线上，又因为点C在圆上，故问题转化为该直线与圆有公共点，此时圆心(0,18)到该直线的距离小于等于半径 9.解析：设直
9、线m的斜率为k，则直线m的方程为(3)yk x，即30kxyk，设点00(,)C xy，则点,A B C三点到直线m的有向距离分别为1222034(1)1kkkdkk ，2222032(1)1kkkdkk，0000322233(1)1kxykkxykdkk，由1230ddd得，002223420111kxykkkkkk，即0090kxyk，又因为点在C圆上，故2201899(1)kkdk，即34k .【问题探究，变式训练】题型一 圆内三角形的问题 知识点拨：圆与三角形相结合的问题，求有关参数，最终要转化为圆心到直线的距离问题，根据题目中隐含的条件挖掘圆心到直线的距离。例 1、(2017 年苏州
10、期末)已知圆C：(xa)2(ya)21(a0)与直线y3x相交于P，Q两点，则当CPQ的面积最大时，实数a的值为_【答案】52【解析】因为CPQ的面积等于12sinPCQ，所以当PCQ90时，CPQ的面积最大，此时圆心到直线y3x的距离为22，因此22|3aa|10，解得a52.【变式 1】(2016 扬州期末）已知直线l过点P(1,2)且与圆C：x2y22 相交于A，B两点，ABC的面积为 1，则直线l的方程为_【答案】3x4y50 或x1【解析】当直线斜率存在时，设直线的方程为yk(x1)2，即kxyk20.因为S12CACBsinACB1，所以122 2sinACB1，所以 sinACB
11、1，即 sinACB90，所以圆心C到直线AB的距离为 1，所以|k2|k211，解得k34，所以直线方程为 3x4y50；当直线斜率不存在时，直线方程为x1，经检验符合题意综上所述，直线方程为 3x4y50 或x1.【变式 2】(2017 南通、泰州、扬州一调）在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x1)2y22，圆C2：(xm)2(ym)2m2，若圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线PA，PB，切点为A，B，ABP的面积为 1，则正数m的取值范围是_【答案】1，32 3 【解析】思路分析 注意到ABP 的面积是定值，从而点 P 的位置应该具有某种确定性，故首先由ABP的面积来确定点
12、 P 所满足的条件，进而将问题转化为以 C1为圆心的圆与以 C2为圆心的圆有公共点的问题来加以处理 如图，设 P(x，y)，设 PA，PB 的夹角为 2.ABP 的面积 S12PA2sin2PA2sincosPA22PC1PAPC11，即 2PA3PC21PA22，解得 PA 2，所以 PC12，所以点 P 在圆(x1)2y24 上 所以|m2 m12m2m2，解得 1m32 3.解后反思 本题的本质是两个圆的位置关系问题，要解决这个问题，首先要确定点 P 所满足的条件，为此，由ABP 的面积来确定点 P 所满足的条件是解决本题的关键所在【变式 3】(2018 苏州暑假测试）已知点 A(1，0
13、)和点 B(0，1)，若圆 x2y24x2yt0 上恰有两个不同的点 P，使得PAB 的面积为12，则实数 t 的取值范围是_【答案】12，92 思路分析 题设“圆 x2y24x2yt0 上恰有两个不同的点 P，使得PAB 的面积为12”等价于“圆上有且只有两个点到直线 AB 的距离为22”，进而思考圆心到直线 AB 的距离在什么范围内符合题意 圆 x2y24x2yt0 的方程可化为(x2)2(y1)25t，设点 P 到直线 AB 的距离为 h，则 SPAB12 2h12，解得 h22，而圆心到直线 AB 的距离为 2，欲使得圆 x2y24x2yt0 上恰有两个不同的点 P，使得PAB 的面积
14、为12，则需要圆上有且只有两个点到直线 AB 的距离为22，故圆的半径 5t222，222，解得 t12，92.【变式 4】(2019 苏锡常镇调研（二）过直线l：2yx上任意点 P 作圆 C：221xy的两条切线，切点分别为 A，B，当切线最小时，PAB 的面积为 【答案】.21【解析】因为1222OPrOPPA，所以当OP最小时，切线长PA最小.OP的最小值即点O到直线l的距离2)1(120022d，所以1minPA，此时PAB为等腰直角三角形，所以PAB的面积.2121PBPAS【变式5】(2019苏锡常镇调研（一）若直线 l：axy4a0 上存在相距为 2 的两个动点 A，B，圆 O：
15、x2y21 上存在点 C，使得ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，则实数 a 的取值范围为_【答案】33，33 【解析】记线段 AB 的中点为 M，因为ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，所以点 C 在以 M 为圆心，半径为 1 的圆上，又因为点 C 在圆 O 上，所以圆 M 和圆 O 有公共点，即 0OM2，故圆心 O 到直线 l 的距离 d|4a|a212，解得33a33，所以实数 a 的取值范围为33，33.【变式 6】(2019 通州、海门、启东期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(0，a)，B(3，a4)，若圆 x2y29 上有且仅有四个不同的点 C，使得AB
16、C 的面积 5，则实数 a 的取值范围是_【答案】53，53 【解析】因为 A(0，a)，B(3，a4)，所以 AB5，直线 AB 的方程为 y43xa，因为 SABC12ABh52h5，故 h2，因此，问题转化为在圆上存在 4 个点 C，使得它到直线 AB 的距离为 2.因为圆的半径为 3，因此，圆心 O 到直线 AB 的距离小于 1，即：|3a|51，解得53a0)，A(x1，y1)，则B(x1，y1)，所以x21y21Dx1Ey1F0，x21y21Dx1Ey1F0，由得Dx1Ey10，又x21y214，由得F4，所以外接圆方程为x2y2DxEy40.又圆过点(4,0)，所以 424D40
17、，解得D3，所以圆方程为x2y23xEy40.所以半径R129E2161225E2，当E0 时，R最小，为52，所以ABM的外接圆的面积的最小值为254.【关 联3】（2016无 锡 期 末）在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中，已 知 点(3,0)P在 圆222:24280C xymxym内，动直线AB过点P且交圆C于,A B两点，若ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为 【答案】32 3,32 7)(32 7,32 3【解析】圆C的标准方程为(xm)2(y2)232，圆心为C(m,2)，半径为 4 2，当ABC的面积的最大值为 16 时，ACB90o，此时C到AB的距离为 4，
18、所以 4CP4 2，即 16(m3)2(02)232，解得 2 3|m3|2 7，即m32 3,32 7)(32 7,32 3 题型二 直线与圆的切线问题 知识点拨：本题考查圆的切线长的问题，主要考查了转化与化归的思想 切线长通常用勾股定理来求解，这样问题就转化为求圆外一点与圆上一点距离的最小值，而这种距离的最值问题，是圆的考查中常见的知识点 例 2、(2019 南京、盐城一模）设 A(x，y)|3x4y7，点 PA，过点 P 引圆(x1)2y2r2(r0)的两条切线 PA，PB，若APB 的最大值为3，则 r 的值为_【答案】1 【解析】解法 1 设圆心为 C.因为APB2APC，所以APC
19、 的最大值为6，所以 PC 的最小值为 2r，则|3（1）407324222r，即 r1.解法 2 如图，求出满足使APB 最大值的点 P 轨迹，连接 P 点和圆心，由解法 1 可知点 P 到圆心的距离为 2r.点 P 满足轨迹(x1)2y24r2，因为存在唯一最大值所以该圆和直线 3x4y70 相切，此时满足圆心到直线的距离 d2r，又因为 d2，解得 r1.【变式 1】(2019 泰州期末）在平面直角坐标系 xOy 中，过圆 C1：(xk)2(yk4)21 上任一点 P 作圆 C2：x2y21 的一条切线，切点为 Q，则当线段 PQ 长最小时，k_【答案】2 【解析】如下图，因为 PQ 为
20、切线，所以，PQC2Q，由勾股定理得：PQ PC221，要使 PQ 最小，则需PC2最小，显然当点 P 为 C1C2与圆 C1的一个交点时，PC2最小，此时，PC2C1C21，所以当 C1C2最小时，PC2就最小，C1C2 k2（k4）2 2（k2）282 2.当 k2 时，C1C2最小，得到 PQ 最小 【变式 2】(2018 南通、泰州一调）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(4，0)，B(0，4)，从直线 AB上一点 P 向圆 x2y24 引两条切线 PC，PD，切点分别为 C，D.设线段 CD 的中点为 M，则线段 AM 长的最大值为_【答案】3 2 【解析】思路分析 P 在直线
21、 AB：yx4 上，设 P(a，a4)，可以求出切点弦 CD 的方程为 ax(a4)y4，易知 CD 过定点，所以 M 的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值 解法 1(几何法)因为直线 AB 的方程为 yx4，所以可设 P(a，a4)，设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC 方程为 x1xy1y4，PD：x2xy2y4，将 P(a，a4)分别代入 PC，PD 方程，ax1（a4）y14，ax2（a4）y24，则直线 CD 的方程为 ax(a4)y4，即 a(xy)44y，所以直线 CD 过定点 N(1，1)，又因为 OMCD，所以点 M 在以 ON 为直径的
22、圆上(除去原点)，又因为以 ON 为直径的圆的方程为x122y12212，所以 AM 的最大值为4122122223 2.解法 2(参数法)因为直线 AB 的方程为 yx4，所以可设 P(a，a4)，同解法 1 可知直线 CD 的方程为ax(a4)y4，即 a(xy)44y，得 a44yxy.又因为 O，P，M 三点共线，所以 ay(a4)x0，得a4xyx.因为 a44yxy4xyx，所以点 M 的轨迹方程为x122y12212(除去原点)，所以 AM 的最大值为4122122223 2.题型三、与圆有关的角度问题 知识点拨：与圆有关的角度问题，关键还是通过角度确定轨迹问题。转化为直线与圆或
23、者圆与圆的位置关系的问题。例 1、(2017 南京三模）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y21，圆M：(xa3)2(y2a)21(a为实数)若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得OQP30，则a的取值范围为 【答案】65，0 【思路分析】本题中在两个圆上分别存在点P，Q，使得OQP30是本题的关键.首先对于圆 O，可以根据OQP30得出点 Q 的轨迹，再将点 Q 的存在性问题转化为点 Q 的轨迹与圆 M 有公共点，从而求出参数a的取值范围.过 Q 点作圆 O 的切线，设切点为P，在圆 O 上要存在点 P 满足30OQP，即30OQP，又1sin2OPOQPOQ，即2OQ.设,Q x y，所以
24、224xy 又点 Q 在圆 M 上，即圆 M 与224xy有公共点，所以有221329aa，解得6,05a.【解后反思】一般地对于圆上存在一点的问题，都可以利用其所给几何条件求出点的轨迹，进一步转化为点的轨迹与圆的位置关系问题，其中常见的动点轨迹有直线、线段、圆、圆面等.【变式 1】.已知圆O：x2y21，圆M：(xa)2(ya4)21.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得APB60，则实数a的取值范围为_【答案】222，222 【解析】由题意得圆心M(a，a4)在直线xy40 上运动，所以动圆M是圆心在直线xy40 上，半径为 1 的圆；又因为圆M上存在点P，使经过点
25、P作圆O的两条切线，切点为A，B，使APB60，所以OP2，即点P也在x2y24 上，于是 21a2a4221，即 1a2a423，解之得实数a的取值范围是222，222.解题反思 一方面，要注意点P在动圆M上，另一方面，点P也在x2y24 上，从而将所求解的问题转化成研究圆与圆的位置关系问题，此类试题出现频率高，希望考生重视【变式 2】已知点A(0,2)为圆M：x2y22ax2ay0(a0)外一点，圆M上存在点T，使得MAT45，则实数a的取值范围是_【答案】31,1)【解析】圆M的方程可化为(xa)2(ya)22a2.圆心为M(a，a)，半径为 2a.当A，M，T三点共线时，MAT0最小，
26、当AT与圆M相切时，MAT最大圆M上存在点T，使得MAT45，只需要当MAT最大时，满足 45MAT90即可MA a02a22 2a24a4，此时直线AT与圆M相切，所以 sinMATMTMA2a2a24a4.因为 45MAT90，所以22sinMAT1，所以222a2a24a41，解得 31a1.【变式 3】已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得BAC60，则点A的横坐标的取值范围是_【答案】1,5 思路分析 对于圆M上任意两点B，C，BAC的大小是变化的，有变化就有范围，而 60是范围中的一个值由此得到一个不等式 首先，直线l与圆
27、M相离，所以点A在圆M外设AP，AQ分别与圆M相切于点P，Q，则PAQBAC60，从而MAQ30.因为MQ2，所以MA4.设A(x0,6x0)，则MA2(x01)2(6x01)216，解得 1x05.【关联 1】在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P(异于原点O)为y轴上的一个定点 若以AB为直径的圆与圆x2(y2)21 相外切，且APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_ 【答案】3 【解析】设以AB为直径的圆的圆心为C(a,0)，半径为r(0r0，b为常数)因为 tanOPAarb，tanOPBarb，所以 tanAPBtan(OPBOPA)arbarb1arbarb2
28、rbb2a2r2，又因为以AB为直径的圆与圆x2(y2)21 相外切，所以圆心距等于半径之和，即a24r1，即a2(r1)24，所以 tanAPB2rbb2a2r22rbb22r32bb23r2(r为变量，b为常数)，因为APB的大小恒为定值，所以b230，故OP 3.【关联 2】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点若存在一个定圆M，过点P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为 60，则圆M的方程为 【答案】(x1)2y21 【解析】根据对称性可知1,0M设圆M的半径为r因为60APB，所以30APM，故22PMr，即1r，所以圆M的方程为2211xy