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1、第 1 页 共 15 页 2020 届江苏省盐城市盐城中学 高三上学期第一次月考数学试题 一、填空题 1已知集合=11Axx，1,0,3B ，则AB _ 【答案】0【解析】根据交集的概念，求得两个集合的交集.【详解】交集是两个集合的公共元素组合而成，故0AB.故答案为：0.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2设幂函数()af xkx的图像经过点(4,2)，则k_【答案】32【解析】由题意得131,2422kk 3若命题“tR，t2a0”是真命题，则实数a 的取值范围是_【答案】0,（）【解析】命题“20tRta ，”是真命题，0 40a （）0a ，则实数a的取值范围是0
2、（，）故答案为（0，+）4函数()ln(1)2f xxx的定义域为 _ 【答案】(1,2【解析】【详解】由1020 xx 可得，12x，所以函数()ln(1)2f xxx的定义域为1,2，故答案为1,2.第 2 页 共 15 页 5 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点1,2P，则2sin_【答案】45【解析】根据三角函数定义求cos和sin，最后代入公式sin22sincos求值.【详解】解：由题意可得1x，2y，5rOP，1555xcosr，22 555ysinr，4225sinsin cos，故答案为：45【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题
3、6已知等差数列na的前n项和为nS，11132S，6930aa，则12a的值为_【答案】24【解析】首先根据等差数列的前n项和公式和等差中项，即可求出6a的值，再根据等差数列的通项公式和6930aa，即可求出9a，进而求出12a的值.【详解】因为11132S，所以，11111()2aa132，即 116a132，所以，6a12 又6930aa，所以，9a18，因为61292aaa，所以，可求得：12a24【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前n项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前n项的公式是解决本题的关键.7定义在 R 上的奇函数()f x，当0 x 时，2()2xf xx，则
4、(1)f _【答案】1【解析】由 f x为奇函数可得：112 11ff ，故答案为1.第 3 页 共 15 页 8 已知函数()2sin(2)(0)4f xx的最大值与最小正周期相同，则函数()f x在 1 1，上的单调增区间为 【答案】1 3,4 4【解析】试题分析：由题意可知，函数()2sin()4f xx，令22242kxk，解得1322,44kxk kZ，又 1,1x，所以1344x，所以函数()f x在 1,1上的单调递增区间为1 3,4 4.【考点】三角函数的图象与性质.9设向量(sin 2,cos)a，(cos,1)b，则“/ab”是“1tan2”成立的 条件(选填“充分不必要”
5、、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).【答案】必要不充分【解析】【详解】试题分析：2/(sin2,cos)/(cos,1)sin 2coscos02sincosab或 1cos0tan2或，所以“/ab”是“1tan2”成立的必要不充分条件【考点】向量共线 10 已知函数()ln()xxf xexaeaR,若 f x在0,上单调递增，则实数a的取值范围是_【答案】,1【解析】对函数 f x求导，根据函数在0,上单调递增列不等式，分离常数a后，构造函数 1ln0h xxxx，利用导数求得 h x的最小值，进而求得a的取值范围.【详解】依题意，当0,x时，1ln0 xfxexax恒成
6、立，即1ln0 xax，也即1lnaxx在0,上恒成立，构造函数 1ln0h xxxx，则 21xh xx，所以函数 h x在区间0,1上递减，在区间1,上递增，在1x 处第 4 页 共 15 页 取得极小值也即是最小值，故 11h xh，所以1a.故答案为：,1.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.11如下图，在直角梯形ABCD中，/,90,4,2,ABCDADCABADE为BC中点，若4AB AC，则AE BC _ 【答案】132【解析】【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设0CDm m，结合题意可得：0,0,4,0
7、,2,0,2,ABC mC则 4,0,2ABACm，故 44,1AB ACmm，即1,2C，则52,22E，据此有521513,3,2,12222AEBCAE BC .第 5 页 共 15 页 12若函数2,0ln,0 xa xyxax x，在区间2,2上有两个零点，则实数a的取值范围为_【答案】0,2ln2【解析】【详解】试题分析：由题设可知函数与函数在给定的区间和区间内分别有一个根,即,所以,故答案0,2ln2.【考点】函数的图象及零点的确定【易错点晴】本题设置了一道以分段函数的解析式2,0ln,0 xa xyxax x背景的零点个数的综合应用问题.将问题等价转化为两个函数与函数在给定的区
8、间和区间内分别有一个零点的问题.然后建立不等式组,通过解不等式组从而获得答案.13在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinsinsinBCmA mR，且240abc.且角A为锐角，则m的取值范围是_【答案】6,22【解析】利用正弦定理化简sinsinsinBCmA mR，利用余弦定理表示出cos A，根据A为锐角列不等式，解不等式求得m的取值范围.【详解】依题意，由正弦定理得bcma，由余弦定理得222cos2bcaAbc2222bcbcabc2222222am aaa223m，由于A为锐第 6 页 共 15 页 角，所以0cos1A，所以20231m，即2322m，由于m
9、为正数，故622m.故答案为：6,22.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14已知函数()2ln(2)f xtxxn，1()g xtx，若函数324()(1)83h xxnxn xn在,上是增函数，且 0f x g x 在定义域上恒成立，则实数t的取值范围是_【答案】21,2ee 【解析】根据 0h x 求得n的值，由此化简 0f x g x，利用分类讨论的方法，结合导数的知识列不等式，解不等式求得t的取值范围.【详解】由于函数324()(1)83h xxnxn xn在,上是增函数，所以 24210h xxnx
10、n恒成立，故2416 10nn，即220n，所以2n.故 0f x g x 即12ln0txxtx在0,上恒成立，等价于2ln010txxtx，或2ln010txxtx.由得ln21xtxtx，构造函数 ln0 xm xxx，2ln1xmxx，所以 m x在0,e上 0m x，m x递减，在,e 上 0m x，m x递增，最小值为 1m ee，所以等价于120tet，解得12te.第 7 页 共 15 页 由得ln21xtxtx.由ln12xxx解得21xe.根据 m x和1yx的单调性可知，当且仅当21tex时，成立.综上所述，t的取值范围是 21,2ee.故答案为 21,2ee.【点睛】本
11、小题主要考查利用导数求解函数在实数范围内单调的问题，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题.二、解答题 15已知集合2|320Ax xx，集合22By yxxa，集合2|40Cx xax，命题:p AB，命题:q AC.（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题pq为假命题，求实数a的取值范围.【答案】（1）3a；（2）(,0)(3,)【解析】先求出集合12Axx和|1By ya；（1）由题意得=AB，由集合的交集运算得a的取值范围；（2）先求出pq为真命题时a的取值范围，从而求出pq为假命题时a的范围.【详
12、解】222(1)11yxxaxaa，集合|1By ya，集合232012Ax xxxx，集合240Cx xax.（1）由命题p是假命题，可得=AB，即得12a，3a.（2）当pq为真命题时，,p q都为真命题，即AB，且AC，第 8 页 共 15 页 2121402240aaa 330aaa，解得03a.当pq为假命题时，0a 或3a，a的取值范围是：(,0)(3,)【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题.16ABC中，角 A，B，C 所对边分别是a、b、c，且1cos3A (1)求2sincos22BCA的值；(2)若3a，求ABC面积的最
13、大值 【答案】（1）19；（2）3 24【解析】(1)将2sincos22BCA化简代入数据得到答案.(2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc，代入面积公式得到答案.【详解】2221 sincos2sin2cos122BCAAA 2221coscos2cos12cos122AAAA 1111321299 ；(2)由1cos3A，可得12 2sin193A，由余弦定理可得222222242cos2333abcbcAbcbcbcbcbc，即有23944bca，当且仅当32bc，取得等号 则ABC面积为1192 23 2sin22434bcA 即有32bc时，ABC的面积取得最大值3 24【点睛】
14、本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.第 9 页 共 15 页 17如图，在ABC中，120BAC，2AB，1AC，D是边BC上一点，2DCBD.（1）求AD BC的值；（2）若0ABtCDCD，求实数t的值.【答案】（1）83（2）1514t 【解析】（1）将,AD BC都转化为用,AB AC为基底表示，根据向量数量积的运算，求得AD BC的值.（2）将原方程0ABtCDCD转化为2AB CDtCD，同（1）的方法，将CD转化为用,AB AC为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t的值.【详解】（1）D是边BC上一点，2DCBD 1133BDBCACAB
15、121333ADABACABABAC 2133AD BCABACACAB22121333ACABAB AC 1811 2 cos120333 18183333，故83AD BC （2）0ABtCDCD，2AB CDtCD 2233CDCBABAC，2142 1 2 cos1207BC 2222839CDCB 2233AB CDABABAC22233ABAC AB第 10 页 共 15 页 82101 2 cos120333 1514t 【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积和模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧
16、形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括圆弧形桥面ACB和两条长度相等的直线型路面AD、BE，桥面跨度DE的长不超过12米，拱桥ACB所在圆的半径为3米，圆心O在水面DE上，且AD和BE所在直线与圆O分别在连结点A和B处相切.设ADO，已知直线型桥面每米修建费用是a元，弧形桥面每米修建费用是43a元.（1）若桥面（线段AD、BE和弧ACB）的修建总费用为W元，求W关于的函数关系式；（2）当为何值时，桥面修建总费用W最低？【答案】（1）3cos24sinWa，62.（2）3【解析】（1）设C为弧AB的中点，连结OA，OC，OB，通过解直角三角形以及弧长公式，求得,AD AC的长，由此计算出修建总费
17、用W的表达式，根据DE长度的限制，和圆的直径，求得的取值范围.（2）利用导数求得W的单调区间，进而求得当为何值时，W取得最小值.【详解】（1）设C为弧AB的中点，连结OA，OC，OB，则OAAD 在OAD中，3costansinOAAD.又因为AOCADO，所以弧AC长为3l，第 11 页 共 15 页 所以423aWlADa43cos2 33sinaa3cos24sina 当6DE 时，2；当12DE 时，6，所以62 所以3cos24sinWa，62.（2）设 3cos4sinf，则 22234sin34sinsinf，令 0f得,36 2 当,6 3 时，0f，函数 f单调递减；当,3
18、2 时，0f，函数 f单调递增；所以当3时，函数 f取得最小值，此时桥面修建总费用最低.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，考查函数在在实际生活中的运用，考查弧长的计算，属于中档题.19已知函数21()ln(1)()22xf xaxxa xaaR.（1）当1a 时，求函数 f x在1x 处的切线方程；（2）当0a 时，证明：函数 f x只有一个零点；（3）若函数 f x的极大值等于0，求实数a的取值范围.【答案】（1）0y（2）证明见解析（3）,1【解析】（1）求得函数在1x 处的导数，由此求得切线方程.第 12 页 共 15 页（2）通过求 f x的二阶导数，研究其一阶导数，进而求得
19、函数 f x的单调区间，由此证得函数 f x只有一个零点.（3）当0a 时根据（2）的结论证得结论成立.当0a，根据 f x的二阶导数，对a分成01,1,1aaa三种情况，利用 f x的一阶导数，结合零点的存在性定理，求得实数a的取值范围.【详解】（1）当1a 时，21ln22xf xxx，ln1fxxx，10f，10f，所以 f x在1x 处的切线方程为0y.（2）ln10fxaxxx，令 ln1g xaxx，1aaxgxxx 当0a 时，0gx，g x在0,上单调递减，又 10g，所以当0,1x时，0fx，f x单调递增，当1,x时，0fx，f x单调递减 所以 10f xf，所以 f x
20、只有一个零点1x.（3）当0a 时，由（2）知，f x的极大值为 10f，符合题意；当0a 时，令 0g x，得xa，当0,xa时，0gx，g x单调递增，当,xa时，0gx，g x单调递减，注意到 10g，（）当01a时，10g ag，又111110aaag eee .所以存在10,xa，使得 10g x，当10,xx时，0g xfx，f x单调递减，当1,1xx时，0g xfx，f x单调递增，当1,x时，0g xfx，f x单调递减，所以 f x的极大值为 10f，符合题意；（）当1a 时，10g xfxg恒成立，f x在0,上单调递减，无极值，不合题意；（）当1a 时，10g ag，又
21、 21aag eae，令 211xxxxe 第 13 页 共 15 页 210 xxxe，x在1,上单调递减，所以 211xe，所以 210aag eae，存在2,xa，使得 220g xfx，当0,1x时，0fx，f x单调递减，当21,xx时，0fx，f x单调递增，当2,xx时，0fx，f x单调递减，所以 f x的极大值为 2f x，且 210f xf，不合题意.综上可知，a的取值范围是,1.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.20已知正项数列
22、 na的前n项和为nS，且2*241nnnaaSnN.（1）求数列 na的通项公式；（2）若21211nnnnabSS，数列 nb的前n项和为nT，求nT的取值范围；（3）若211,22,nnnancn为奇数为偶数*nN，从数列 nc中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列.当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列.【答案】（1）21nan（2）nT21114(21)n；2 1,9 4（3）1，2，3，4，5和5，4，3，2，1.【解析】（1）利用11,1,2nnnS naSSn，求得数列 na的通项公式.（2）由（1）求得nS的表达式，然后
23、利用裂项求和法求得 nb的前n项和nT.利用差比较法证得数列 nT递增，进而求得nT的取值范围.（3）先判断出数列 nc的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数.然后假设抽出的数列中第 14 页 共 15 页 有三个偶数，推出矛盾，由此证得偶数只有两项.进而证得奇数最多有3项.由此求得所有满足条件的等差数列.【详解】（1）当1n 时，由2241nnnaaS，得2111241aaa，得11a，由2241nnnaaS，得2111241nnnaaS，两式相减，得 22111224nnnnnaaaaa，即221120nnnnaaaa，即1120nnnnaaaa 因为数列 na各项均为正数，所以10nnaa，所
24、以12nnaa 所以数列 na是以1为首项，2为公差的等差数列.因此，12(1)21nann，即数列 na的通项公式为21nan.（2）由（1）知21nan，所以2(121)2nnnSn 所以22212112(21)(21)nnnnanbSSnn221114(21)(21)nn 所以222222246133557nT 222(21)(21)nnn 2222222111111111433557(21)(21)nn 21114(21)n 令21()1(21)f nn，则(1)()f nf n2222118(1)0(21)(23)(23)(21)nnnnn 所以 f n是单调递增数列，数列 nT递增
25、，所以129nTT，又14nT，所以nT的取值范围为2 1,9 4.（3）2,212,2nnn nkcnk 设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，*kN，2s，2k.第 15 页 共 15 页 因为数列 nc的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数.假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数.设抽出的三个偶数从小到大依次为2i，2j，21pijp，则1122222ijij为奇数，而1i，2j，则12j为偶数，12i为奇数，所以1i.又1122222jpjp为奇数，而2j，3p，则12j与12p均为偶数，矛盾。又因为2k，所以2k，即偶数只有两项，则奇数最多有3项，即sk的最大值为5.设此等差数列为1d，2d，3d，4d，5d，则1d，3d，5d为奇数，2d，4d为偶数，且22d.由13224ddd，得11d，33d，此数列为1，2，3，4，5.同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1.综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1.【点睛】本小题主要考查已知nS求na，考查裂项求和法，考查数列单调性，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.