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1、高中物理核心知识复习学案 万有引力定律 本专题我们将学习万有引力定律及其在天文学中的运用。本专题的重点是：万有引力在天文学中的运用（如估算问题等）、人造地球卫星的发射和运行（特别是变轨问题）、第一宇宙速度的推导和理解。本专题的难点是：开普勒运动定律、万有引力、牛顿第二定律以及圆周运动知识在天体运动中的综合运用。2.1 万有引力定律的发现 辅导讲义 万有引力定律是由牛顿站在前人（如哥白尼、伽利略、开普勒等天文学家）研究成果的基础上，运用动力学原理而发现的重要定律，它不仅能解释重力产生的原因，也能够解释卫星和行星的运动规律，它是天文学家研究各种天体运动规律的主要依据，万有引力也是自然界中四种基本相
2、互作用之一。知识点一 行星运动的两种学说 1.地心说 亚里士多德和托勒密认为地球是宇宙的中心，并且静止不动，所有行星围绕地球做圆周运动。历史评价：他们从人们的日常经验（太阳从东边升起，西边落下）提出地心说，比较符合当时人们的经验和宗教神学的思想，成为神学的信条，被人们信奉了一千多年，但它所描述的天体运动，不仅复杂而且以此为依据所得的历法与实际差异很大。2.日心说 哥白尼认为太阳是静止不动的，地球和其他行星围绕太阳运动。历史评价：日心说把地球从天体运动的中心位置移到了一个普通的行星的位置。行星运动的描述显得更简单、更科学。日心说使科学从神学中解放出来，战胜了地心说，逐渐被人们接受。但哥白尼固守天
3、体做匀速圆周运动的传统思想，追求数的和谐与美，他的天体运动模型缺乏深入的物理思考，实际上是一个数学模型。注意：地心说和日心说都是不正确的，因为不管是地球还是太阳，它们都在不停地运动，不可能静止；考虑到当时人们对自然科学的认识能力，只是日心说比地心说更进一步。例 下列说法正确的是（）A.关于天体运动的日心说、地心说都是错误的 B.地球是一颗绕太阳运动的行星 C.地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球转动 D.太阳是静止不动的，地球和其他行星都在绕太阳转动 知识点二 开普勒行星运动定律 第谷的贡献：第谷是丹麦伟大的天文学家，也是德国天文学家开普勒的导师，是一位出色的观测家。第谷花了大约 2
4、0-30 年的时间观测并记录了月亮、彗星、行星的位置，他本人虽然没有准确描绘出行星运动的规律，但他的记录数据为后人的研究提供了坚实的基础。开普勒对第谷长期天文观察的结果进行了创造性的研究与思考，开始他想用哥白尼的太阳系模型说明火星的运行轨道，但与第谷的观测结果有 8 分的误差，从而大胆地摒弃了天体做匀速圆周运动的观点，建立了开普勒定律，对行星的运动作出了更科学、更精确的描述。1.开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨迹上围绕太阳运动，太阳是在这些椭圆的焦点上，如图所示。注意：每个椭圆有两个焦点，所有行星运动的椭圆轨道均有一个焦点是相互重合的，太阳就处在这个重合的一个焦点上；
5、不同行星绕太阳运行时的椭圆轨道是不同的。例 1：下列说法正确的是（）A太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点 B行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向 C行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 D日心说的说法是正确的 针对练习 1 ：关于地球和太阳，下列说法正确的是（）A.地球是围绕太阳做匀速圆周运动的 B.地球是围绕太阳运转的 C.太阳总是从东面升起，从西面落下，所以太阳围绕地球运转 D.由于地心说符合人们的日常经验，所以地心说是正确的 针对练习2：下面关于丹麦科学家第谷，对行星的位置进行观察所记录的数据，说法正确的是（）A.这些数据在测量记录时误差相当大，所以没有实际意义 B.这些数据说明太
6、阳绕地球运动来源:学,科,网Z,X,X,K C.这些数据与以行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果吻合 D.这些数据与以行星绕太阳做匀速圆周运动为模型得到的结果相吻合来源:学#科#网 2.开普勒第二定律（面积定律）：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。如下图所示，阴影部分为相等的时间里扫过的面积，即两阴影部分的面积是相等的。注意：行星运动的线速度大小在轨道上各点是不同的；行星近日点的速率大于远日点的速率。例2 某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，它的近日点到太阳的距离为r，远日点到太阳的距离为R，若行星经过近日点的速度大小为Av，求该行星经过远日点时速度大小.拓展链接：试用能量守恒的观点解释“
7、为什么行星在近日点的速率较大，在远日点的速率较小”。参考答案：行星围绕太阳绕椭圆轨道运动的过程中，行星的机械能守恒，因为行星的近日点到太阳的距离（相当于被举高的高度）小于远日点到太阳的距离，所以行星在近日点的势能小于其在远日点的势能，而机械能是守恒的，所以行星在近日点的动能大于其在远日点的动能，即行星在近日点的速率大于其在远日点的速率。针对练习 1 下列说法正确的是（）A太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点 B行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向 C行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 D日心说的说法是正确的 针对练习 2 如图所示，为地球绕太阳运行的示意图，图中椭圆为地球的运行轨道，其上
8、的 A、B、C、D 分别表示春分、夏至、秋分和冬至是地球所在的位置.试说明秋冬两季比春夏两季要少几天的原因.3.开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨迹的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相等。即32RkT，k是与太阳质量有关的恒量，与行星的质量无关。开普勒第三定律反映了行星公转的周期跟椭圆轨道半长轴之间的变化依赖关系：椭圆轨道的半长轴大（或小）的行星，其公转的周期亦大（或小）。注意：（1）开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的，它们都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，开普勒行星运动定律只涉及运动学、几何学等方面的内容。（2）圆周运动可看成是椭圆运动
9、的特例在一般情况下，可把行星运动当作圆周运动来处理，此时，R 为圆周运动的半径，T 为圆周运动的周期。（3）常量 k 仅与太阳的质量有关而与行星无关这个规律也可推广到宇宙间其它的天体系统(如地球和卫星系统)，常量 k 仅与该系统的中心天体质量有关而与周围绕行的星体无关中心天体不同的系统 k 值不同，中心天体相同的系统里 k 值是相同的 例 3 据报道，美国宇航局发射的“勇气”号和“机遇”号孪生双子火星探测器在 2004 年 1 月 4 日和 1 月 25 日相继带着地球人的问候在火星着陆。假设火星和地球绕太阳的运动可以近似看作同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径 r1=2.410
10、11m，地球的轨道半径 r2=1.51011m，如图所示，从图示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，请估算火星再次与地球相距最近需多长时间（）A.1.4 年 B.4 年 C.2.0年 D.1 年 例 4 飞船沿半径为R 的圆周绕地球运转，周期为 T，如图所示，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点 A 处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在 B 点相切。（已知地球半径为 r）。求：（1）飞船在圆周轨道上的线速度大小；（2）飞船由 A 点运动到 B 点所需的时间。点评：开普勒定律不仅适用于行星，对卫星绕行星的运动情况也成立，且对同一行星的卫星，其椭圆轨道
11、半长轴的三次方与公转周期的平方之比也等于常数，即32RkT，k与卫星无关.针对练习 1 关于开普勒行星运动的公式32RkT，以下理解正确的是（）A.k 是一个与行星无关的常量 B.T 表示行星运动的自转周期 C.T 表示行星运转的公转周期 D.若地球绕太阳运转的半长轴 a地，周期为 T地；月球饶地球运转的长半轴为a月，周期为 T月，则2323月月地地TaTa 针对练习 2 某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示。该行星与地球的公转半径比为（）A231()NN B23()1NN C321()NN D32()1NN 针对练习 3 每个行星系都
12、有各自的开普勒恒量 k，如果月球轨道半径是3.83108m，周期是 27.3 天，则地球的开普勒恒量 k=.针对练习4 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球到地球距离的1/3，已知月球绕地球运行周期是27.3天，则此卫星的运行周期约为多少天？知识点三 万有引力定律的发现 1.前人的研究成果 开普勒运动定律清晰地说明了行星是怎样运动的，但行星为什么会这样运动？物理学家们对此提出了不同的动力学解释：伽利略认为，一切物体都具有合并的趋势，这种趋势导致行星做圆周运动；开普勒认为，行星绕太阳运动，一定是受到了来自太阳的类似于磁力的作用；笛卡尔认为，行星周围有旋转的物质（以太）作用在行星上，
13、使得行星围绕太阳运行；胡克、哈雷等人认为，这是因为行星受到了太阳对它的吸引力，甚至证明了如果行星的轨道是圆形的，它受到的引力的大小与轨道半径的二次方成反比。2.万有引力定律 牛顿在前人研究的基础上，借助自己非凡的数学才能和丰富的力学成就，阐明了天体运动的根本原因，并总结出了具有普遍意义的万有引力定律：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力的大小，跟他们的质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比。公式：212rmmGF，其中 G=6.6710-11Nm2/kg2，叫做引力常量，卡文迪许在实验室用扭秤装置，测出了引力常量。对万有引力定律的理解：（1）相互性：两个物体之间相互作用的引力是
14、一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律。（2）普遍性：任何客观存在的物体间都存在着相互作用的吸引力，即万有引力。（3）宏观性：通常情况下物体间的引力非常小，一般可忽略不计，如微观粒子由于质量都非常小，粒子之间的万有引力很不显著，因此可以忽略不计；只有质量巨大的天体之间或天体与一般物体之间的万有引力才有宏观上的意义。（4）适用条件：严格来说公式只适用于质点间的相互作用，但当两物体的距离远大于物体本身大小时，物体可视为质点，公式也近似适用，但此时 r 应为两物体质心间距离；均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。例 1 （2012 届江西省南昌市高三联考）关于万有引力定律，下列说法正确的是（）
15、A牛顿借助自己的力学成就对前人的研究成果进行分析，总结出万有引力定律 B卡文迪许用扭秤实验证明万有引力定律是正确的，并测出万有引力恒量 C万有引力恒量的单位可以用kg2/m2 D万有引力定律仅适用于天体之间 点评：本题考查物理学史和对万有引力定律的理解。万有引力定律具有普适性，但万有引力的计算公式一般适用于两个质点间的相互作用。例 2 已知地球的赤道半径kmre31037.6，地球质量kgme2410977.5。设地球为均匀球体，试求：（1）若两个质量都为 1kg 的均匀球体相距 1m，求它们之间的引力；（2）质量 1kg 的物体在地面上受地球的引力为多大?点评：由于万有引力常量 G 很小，故
16、一般物体间的引力甚为微小，可忽略不计，但地球表面附近的物体受到地球对它的万有引力近似等于重力，显然不能忽略。可见，万有引力有时很大，有时却很小，要视具体情况而定。【高考链接】人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的阻力，轨道半径将缓慢减小。在此运动过程中，卫星所受万有引力大小将 （填“减小”或“增大”）；其动能将 （填“减小”或“增大”）。针对练习1 在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的7107.2倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（）A.太
17、阳引力远大于月球引力 B.太阳引力与月球引力相差不大 C.月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 针对练习 2 设想把一个质量为 m 的物体放在地球的中心，这时它受到地球对它的万有引力为（）A.零 B.mg C.无穷大 D.无法求出 知识点四 万有引力常量的测定及其意义 1.引力常量的测定 牛顿虽然发现了万有引力定律，却没能给出准确的引力常量，这是因为一般物体间的引力非常小，很难用实验的方法将它显示出来。直到 1789 年，即在牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许（1731-1810）才巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了
18、引力常量。通过测量得到，G=6.75410-11 Nm2/kg2.2.卡文迪许实验的意义 （1）卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性。（2）第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值。（3）标志着力学实验精密程度的提高，开创了弱力的新时代。（4）表明任何规律的发现总是经过理论上的推理和实验上的反复验证才能完成。知识拓展：引力常量的测出不仅用实验证明了万有引力的存在，更使得万有引力定律有了真正的实用（计算）价值。例如，可以用测定地球表面物体重力加速度的方法测定地球的质量，设地球半径为 R，质量为 M，地球表面物体的重力加速度为 g，
19、由牛顿第二定律和万有引力定律可得：G2RMm=mg，所以 M=GgR2。因为引力常量G、地球半径 R 和地表物体的重力加速度均已知，因此可以计算出地球的质量。也正是由于这一应用，使卡文迪许被人们称为是第一个能“称出地球质量的人”.3万有引力常量的测量过程分析与探究 分析：如何对微小的万有引力进行测量，是实验设计进而探究的难点，卡文迪许实验的独到之处是就是巧妙的采用“放大法”进行了微小量（万有引力）的间接测量。要体会多次巧妙“放大”从而显示并测量微小量的精巧的设计思想和独特方法。物理上观察实验效果的方法，还包括“转化”法、“对比法”等。探究：卡文迪许扭秤的主要部分是一个轻而坚固的 T 形架，倒挂
20、在一根金属丝的下端.T 形架水平部分的两端各装一个质量是 m 的小球，T 形架的竖直部分装一面小平面镜 M，它能把射来的光线反射到刻度尺上（如下图），这样就能比较精确地测量金属丝的扭转.实验时，把两个质量都是 m的大球放在图所示的位置，它们跟小球的距离相等.由于 m 受到 m的吸引，T 形架受到力矩作用而转动，使金属丝发生扭转，产生相反的扭转力矩，阻碍 T 形架转动.当这两个力矩平衡时，T 形架停下来不动，这时金属丝扭转的角度可以从小镜 M 反射的光点在刻度尺上移动的距离求出，再根据金属丝的扭转力矩跟扭转角度的关系，就可以算出这时的扭转力矩，进而求得 m 与 m的引力 F.卡文迪许经过多次实验
21、，证明牛顿的万有引力定律是正确的，并测出了引力常量.正是由于卡文迪许测出引力常量G，才使得万有引力定律在天文学的发展上起了重要的作用。例 如图所示是力学中的三个实验装置，这三个实验共同的物理思想方法是（）A极限的思想方法 B放大的思想方法 C控制变量的思想方法 D猜想的思想方法 知识点五 万有引力与重力 在必修 1 课堂上我们学习了重力，当时我们是这样介绍重力的“地面附近的一切物体都要受到地球的吸引，由于地球的吸引而使物体受到的力叫做重力”，那么重力与万有引力是什么关系呢？1.重力只是地球引力的一个分力，另一个分力提供了物体绕地轴自转的向心力 地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因，但重力又
22、不完全等于引力。这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力。这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是2rmf，式中的 r 是物体与地轴的距离，是地球自转的角速度这个向心力来自哪里？只能来自地球对物体的引力 F，它是引力 F 的一个分力如上图所示，引力 F 的另一个分力才是物体的重力 mg。例 由于地球自转，使得静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运动，对于这些做匀速圆周运动的物体，以下说法正确的是（）A向心力都指向地心 B速度等于第一宇宙速度 C加速度等于重力加速度 D周期与地球自转的周期相等 点评：地面的物体绕地轴做匀速圆周运动的向心力由万
23、有引力的一个垂直地轴方向的分力提供。【高考链接】一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（）124()3G 123()4 G 12()G 123()G 点评：计算天体或卫星的运动周期，一般要选择含有周期的关系式“22)2(TmrrMmG”。2.重力随着纬度的升高而增大 在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度 相同，而圆周的半径 r 不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)。纬度为 处的物体随地球自转所需的向心力cos2Rmf (R 为地球半径)，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，在两极处Rc
24、os=0，f=0。作为引力的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大。在赤道上，物体的重力等于引力与向心力之差，在两极，引力就是重力，但由于地球的角速度很小，仅为 10-5rad/s 数量级，所以 mg 与 F 的差别并不很大 3.重力随高度的升高而减小 如果不考虑地球自转对物体所受重力的影响，则物体所受的重力与地球对物体的引力相等 由万有引力定律知，物体所受重力随高度的增加而减小，在地球表面2MmmgFGR；在离地面高为h处有/2()MmmgFGRh，由此可以算出同一物体由海平面移至地球上的最高点珠穆朗玛峰的峰顶，重力减小的数值不到千分之三，因此在地球上同一纬度的不同高度有时 就近似认为重力不变
25、；正是由于重力与万有引力的差别不大，因此除非涉及到专门讨论重力与万有引力的区别，否则我们往往忽略两者的差别上述讨论也适用于其他星球，但是，如果物体离开地球表面的高度h较大，重力减小的数值也较大，比如物体若在离地球表面的高度等于地球半径的地方（h=R），则其所在处重力是物体在地球表面处重力的14绕地球运转的人造地球卫星，其所受到的重力就是万有引力，也是卫星做圆周运动的向心力，物体所受重力只产生向心加速度而无其他效果，这时物体处于完全失重的状态 4.黄金代换公式 在地球表面或表明附近，近似认为万有引力等于重力，即mgrMmG2，由此可得出一个重要的关系式2gRGM，它被称为黄金代换公式。该公式常常
26、隐藏在有关天体运动的计算题中，也是考生最容易遗忘的公式，请考生注意。知识点六 万有引力定律的应用思路 应用万有引力定律解题的基本思路是将万有引力2rMmGF、重力 G=mg、向力心公式rTmmrrvmmaF2222中的任意两个联系起来，建立方程。1.把万有引力和向心力公式联系：即把天体运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，于是可以从以下几个方面去思考：思路一：由rvmrMmG22，可得rGMv；（计算天体质量和密度，第一宇宙速度，轨道变轨问题等）思路二：22 mrrMmG，可得3rGM（或根据rv）；（计算天体质量和密度，判断变轨问题）思路三：rTmrMmG222，可得GMr2T3
27、；（估算天体质量和密度，运动周期）思路四：marMmG2，可得2rMGa；（计算天体运动的加速度）以上三个等式代表了万有引力定律应用时的三条基本思路，在解题过程至于用那一种方法应该根据题目中的已知条件来分析。注意：当万有引力比物体做圆周运动所需的向心力小时，物体将做离心运动；大时将做向心运动 例 1 如图所示，A、B、C 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3 颗卫星，已知 mA=mB mC，下列说法正确的是（）A线速度大小的关系是 vAvB=vC B周期关系是 TAFB=FC D向心加速度大小的关系是aAaBaC 例 2 我国航天事业蓬勃发展，如果对 2010年发射的“嫦娥二号”卫星与 2011
28、年发射的“天宫一号”运行参数进行比较得知，“天宫一号”轨道半径为“嫦娥二号”轨道半径的 a 倍，又知地球质量为月球质量的 b 倍，则下列关于“天宫一号”与“嫦娥二号”运行参数的比值，正确的有（）A线速度之比是ab B角速度之比是3ab C周期之比是ba3 D向心加速度之比是2ab 点评：牢记万有引力提供向心力的几个常用公式，并根据计算需要选取合适的公式，灵活运用线速度、角速度、周期和向心加速度之间的关系，是解决天体运动问题的根本所在。【高考链接 1】（2011 年高考江苏理综卷）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为 v，引力常量为 G，则（）A恒星的质量为32v TG
29、 B行星的质量为2324vGT C行星运动的轨道半径为2vT D行星运动的加速度为2 vT【高考链接 2】据报道，天文学家近日发现了一颗距地球 40 光年的“超级地球”，名为“55Cancri e”，该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的 1/480，母星的体积约为太阳的 60 倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的（）A轨道半径之比约为348060 B轨道半径之比约为3248060 C向心加速度之比约为3248060 D向心加速度之比约为348060【高考链接 3】如图所示，三个质点 a、b、c
30、质量分别为1m、2m、M（12,Mm Mm）.在 C 的万有引力作用下，a、b 在同一平面内绕 c 沿逆时针方 向 做 匀 速 圆 周 运 动，轨 道 半 径 之 比:1:4abrr,则 它 们 的 周 期 之 比:abTT=_；从图示位置开始，在 b 运动一周的过程中，a、b、c 共线了_次。针对练习 1 俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约 805km 处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（）A.甲的运行周期
31、一定比乙的长 B.甲距地面的高度一定比乙的高 C.甲的向心力一定比乙的小 D.甲的加速度一定比乙的大 针对练习 2 由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么，卫星的（）A 速率变大，周期变大 B速率变小，周期变大 C 速率变大，周期变小 D速率变小，周期变小 2.黄金代换关系式的重要应用 物体所受重力（近似）等于它受到的万有引力，2MmGmgR 此式还可以有以下两个变形：（1）2MgGR，用于计算星球表面或空中某一高度的重力加速度可见，离地面越高，重力加速度越小（2）2GMgR，运用2GMgR作为桥梁，可把 GM 和 gR2互相替代，从而把“地上”和“天上”联系起来由于这种代换经常应用
32、，被称为黄金代换 【高考链接 1】质量为 m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为 M，月球半径为 R，月球表面重力加速度为 g，引力常量为 G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（）A线速度GMvR B角速度gR C运行周期2RTg D向心加速度2GmaR 点评：只要题中给出天体表明的重力加速度 g，就要考虑到可能会用到黄金代换关系式。【高考链接 2】火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的 1.5 倍。根据以上数据，以下说法正确的是（）A火星表面重力加速度的数值比地球表面小 B火星公转的周期比地球的长 C火星公转的线速度比地球的大 D火星公转的向心加速度比地球的大