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1、第二讲 方程与方程组 一、学习指引 1知识要点（1）一元一次方程 （2）二元一次方程组 （3）一元二次方程 （4）分式方程（5）方程的整数根（6）方程应用问题 2方法指导（1）一元一次方程经变形总可以化成 ax=b 的形式，此时需注意对字母系数的讨论（2）二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决所以，解方程组的基本思想是消元（3）方程 ax2+bx+c=0(a0)称为一元二次方程：一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法对于方程 ax2+bx+c=0(a0)，b2-4ac 称为该方程的根的判别式（4）解分式方程的基本方
2、法：去分母；求出整式方程未知数的值；验根.（5）列方程（组）解应用题其具体步骤是：审理解题意,弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么；设即找出题中和未知量，选择其中一个设为未知数；列找出题中和等量关系，列出方程；解解出所列的方程；答检验作答.其中列是关键，特别是找等量关系。找等量关系的方法是用两种方式表达同一个量！二、典型例题 例 1解关于 x 的方程：(1)4x+b=ax-8；(2)0232 xx；(3)6,234()5()2.xyxyxyxy (4)21124xxx 例 2若关于 x，y 的二元一次方程组kyx,kyx95的解也是二元一次方程632 yx 的解
3、，求 k 的值 例 3关于x的方程0112)21(2xkxk有两个不相等的实数根，求k的取值范围 例 4.符号“abcd”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：abadbccd，请你根据上述规定求出下列等式中 x 的值：2111111xx 例 5设 a 是方程0120062xx的一个根，求代数式20061200722aaa的值 例 6求出二元一次方程 2x+3y=20 的非负整数解 例 7小明计划将今年春节期间得到的压岁钱的一部分作为自己一年内购买课外书籍的费用，其余的钱计划买这些玩具去看望市福利院的孩子们 某周日小明在商店选中了一种小熊玩具，单价是 10 元，按原计划买了若干个，结果他的压岁钱
4、还余 30%，于是小明又多买了6 个小熊玩具，这样余下的钱仅是压岁钱的 10%（1）问小明原计划买几个小熊玩具，小明的压岁钱共有多少元（2）为了保证小明购书费用不少于压岁钱的 20%，问小明最多可比原计划多买几个玩具 例 8某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于 200 元，则不予优惠；（2）若一次购物满 200 元，但不超过 500 元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过 500 元，其中 500 元以下部分（包括 500 元）给予九折优惠，超过 500 元部分给予八折优惠 小李两次去该超市购物，分别付款 198 元和 554 元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次
5、购买同样多的物品，他需付多少元 例 9春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图 1 对话中收费标准某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游 例 10为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产 2 万顶帐篷的任务，计划 10 天完成（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；（2）生产 2 天后，公司又从其它部门抽调了 50 名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25，结果提前 2 天完成了生产任务 求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷
6、图 1 如果人数超过 25 人，每增加 1人，人均旅游费用降低 20 元，但人均旅游费用不得低于 700如果人数不超过 25 人，人均旅游费用为 1000 元.第二讲 方程与方程组同步练习 班级 姓名 【基础巩固】1.若n（0n）是关于x的方程220 xmxn的根，则 m+n 的值为_ 2.如果关于 x 的一元二次方程22(21)10k xkx 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 .3.已知关于x的方程322xmx的解是正数，则 m 的取值范围为_.4.已知xayb是方程组|223xxy的解，则 a+b 的值等于 5.若x与y互为相反数，且532 yx，则332yx_ 6.一家商店将某种
7、服装按成本价提高 40%后标价,又以 8 折优惠卖出,结果每件仍获利 15元,这种服装每件的成本为 元.7.已知方程组325(1)7xykxky的解 x，y，其和 x+y=1，则 k_ 8.篮球巨星姚明在一场比赛中 24 投 14 中，拿下 28 分，其中三分球三投全中，那么姚明两分球投中 球，罚球投中 球.9.用换元法解分式方程13101xxxx 时，如果设1xyx，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A230yy B2310yy C2310yy D2310yy 10.一条船顺流航行是逆流航行的速度的 3 倍，则船在静水中航速与水的流速之比为（）A3:1 :1 :1 :2 1
8、1.方程(3)(1)3xxx的解是（）A0 x B3x C3x 或1x D3x 或0 x 12 08 年省政府提出确保到 2010 年实现全省森林覆盖率达到 63%的目标，已知 08 年我省森林覆盖率为%，设从 08 年起我省森林覆盖率年平均增长率为x，则可列方程（）A60.05 1 263%x B60.05 1 263x C260.05 163%x D260.05 163x 13方程 4x+y=20 的正整数解有（）组.A2 B.3 14若11xx 2()xy，则 xy 的值为（）A1 B1 C2 D3 15两位数的大小恰好等于其个位与十位数字之和的 4 倍，这样的两位数共有（）个 B.4
9、16.方程1 2x+2 3x+1995 1996x=1995 的解是().1996 C 【能力拓展】17.解下列关于 x 的方程:(1)ax-1=bx (2)x26x+9=（52x）2 （3）2711 32xyyx (4)3215122xxx 18已知关于 x，y 的方程组12byaxyx与452byaxyx的解相同，求 a，b 的值 19.已知等腰三角形两边长分别是方程28150 xx的两根，求此等腰三角形的周长 20已知 a,b 是一元二次方程 x2x1=0 的两个根,求代数式 3a2+2b23a2b 的值 21.已知：关于x的方程0122 kxx.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（
10、2）若方程的一个根是-1，求另一个根及 k 值.22.某人沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝下走到底部用了 7min30s，而他沿着自动扶梯从底部朝上走到顶部只用了 1min30s，那么此人不走，乘着扶梯从底部到顶部需用几分钟若停电，此人沿扶梯从底部走到顶部需几分钟（假定此人上，下扶梯的行走速度相同）23.一辆汽车从A地驶往B地，前13路段为普通公路，其余路段为高速公路已知汽车在普通公路上行驶的速度为 60km/h，在高速公路上行驶的速度为 100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了 请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程 24.通惠
11、新城开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的 2 倍；该工程若由甲队先做 6 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 16 天可以完成（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天（2）已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，该工程预算的施工费用为 19 万元为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用若不够用，需要追加预算多少万元请说明理由 25如图，在 RtABC 中，C=90，AC=6cm，BC=8cm点 P、Q 同时由 A、B 两点出发，分别
12、沿 AC、BC 方向都以 1cm/s 的速度匀速移动，几秒后PCQ 的面积是ABC 面积的一半 QPCBA 第二讲 方程（典型例题）例 1.(1)当 a4 时,方程有惟一解 x=84ba；当 a=4 且 b=-8 时,方程有无数个解；当 a=4 且 b-8 时,方程无解；(2)x=1 或 2；(3)17yx；(4)x=23 例 2k=103 例 3.原方程有两个不相等的实数根，224(21)4(12)(1)480backkk ，2k 又原方程中，021 k，10k，112kk且 1122kk且500，故第二次小李购物超过 500 元，设第二次小李购物 y 元，依题意可得：（y500）80%+5
13、0090%=554，解之得 y=630，即小李实际购买 630 元的物品 当小张决定一次性购买和小李分两次购买同样多的物品时，小张应购买的物品为：198+630=828（元）或者 220+630=850（元），此时应付款为：50090%+（828500）80%=（元）或者：50090%+（850500）80%=730（元）答：小张应付款元或 730 元 例 9.设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为 1000252500027000，所以员工人数一定超过 25 人.则根据题意，得100020(x25)x27000.整理，得x275x+13500，解这个方程，得x145，x230.当x
14、45 时，100020(x25)600700，故舍去x1；当x230 时，100020(x25)900700，符合题意.答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游.例 10.（1）2000（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，则由题意得：2000200002 2000(125)(1022)(50)xx，5163(50)xx 解这个方程，得750 x 经检验，750 x 是所列方程的根，且符合题意 答：该公司原计划安排 750 名工人生产帐篷 第二讲 方程（同步练习）【基础巩固】1-2 2k14且0k 3 m-6 且 m-4 4 1 或 5 5-1 6 125 7533 8 8，3
15、9A 10B 11D 12D 13C 14C 15B 16B【能力拓展】17(1)当 ab 时,方程有惟一解 x=1ab；当 a=b 时,方程无解；(2)x=38或 2；(3)31yx；(4)x=2118 13yx 2365ba1911 或 13.20.a，b 是方程 x2x1=0 的两个根 a=a21，b=b21 3a2+2b23a2b=3a2+2b23（a21）2（b21）=5 21.（1）略；（2）另一根为21；k=1 22设此不走，乘着扶梯从底部到顶部需要 xmin，停电时此人从底部走到顶部需用 ymin，依题意得 1111.51117.5xyyx解得3.752.5xy 故乘着扶梯从底部到顶部需要用 3min45s；停电时此人从底部走到顶部需要用 2min30s 23答案不唯一，略。24（1）设甲队单独完成这项目需要x天，则乙队单独完成这项工程需要2x天 根据题意，得6111612xxx 解得30 x 经检验，30 x 是原方程的根 则22 3060 x 答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要 30 天和 60 天（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天 则有1113060y解得20y 需要施工费用：20(0.670.33)20（万元）2019，工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元 252 秒