大学数学《概率论》复习题及答案17990.pdf-淘文阁

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1、概率论复习题及答案复习提纲（一）随机事件和概率（1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。（2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。（3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式，以及应用这些公式进行概率计算。（4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。（5）掌握 Bernoulli 概型及其计算。（二）随机变量及其概率分布（1）理解随机变量的概念。（2）理解随机变量分布函数)(xXPxF的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用

2、概率分布计算有关事件的概率。（3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。（4）会求简单随机变量函数的概率分布。（三）二维随机变量及其概率分布（1）了解二维随机变量的概念。（2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。（3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。（4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。（5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。（6）理解二维均匀分布和二维正态分布。（四）随机变量的数字特征（1）理解

3、数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。（2）掌握 6 种常用分布的数学期望和方差。（3）会计算随机变量函数的数学期望。（4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。（五）大数定律和中心极限定理（1）了解 Chebyshev 不等式。（2）了解 Chebyshev 大数定律和 Benoulli 大数定律。（3）了解独立同分布场合的中心极限定理和 De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。复习题一、填空题 1、设试验E的样本空间为S，A和B是两个事件，且6.0)(,5.0)(BPAP，(1)如果SBA，则)(ABP

4、_;(2)如果A与B相互独立，则)(ABP_。0.1，0.3 2、将n个球随机地放入n个盒子中(盒子的容积没有限制)，则每个盒子恰有一个球的概率为_;n个球落在同一盒子内的概率为_。nnn!，11nn 3、设)(X，已知20eXP。则 2XP_;)(2XE_。23-1e，6 4、设随机变量序列10021,XXX相互独立，且期望均为 1，方差均为 2，根据 Chebyshev不等式，411XP_;根据中心极限定理，411XP_。5034，1-4252 5、一口袋中有 10 个球，其中有 3 个黑球，现无放回地从中取两次球，每次取一个，则第二次取到黑球的概率为_;在已知第一次取到黑球的条件下，第二

5、次又取到黑球的概率为_。103,92 6、设事件BA,和C的概率为41)()()(CPBPAP，而0)()(BCPACP，81)(ABP，那么三个事件都不发生的概率为_,最多一个事件发生的概率为_。83,81 7、如果一个罐中有 4 个红球，6 个黑球，从中任意选取两个球，如果发现取到的两个球中有一个是红球，那么另一个也是红球的概率为_。51 8、如果随机变量X服从 1,1上的均匀分布，则随机变量)0(cdcXY的均值为_,方差为_。d,231c 9、设随机变量X与Y相互独立，且都服从相同的指数分布，密度函数为000)(xxexfx，那么YXZ的密度函

6、数)(zfZ=_。000)(zzzezfzZ 10、若5.0)|(,4.0)(,2.0)(ABPBPAP，则)(BAP=_,)|(BAP_。0.1 ,0.25 11、如果)(X，且5.00XP，那么_,1|0XXP=_。2ln,2ln11 12、设随机变量序列,21XX相互独立同分布，且期望均为1，方差为2，利用 Chebyshev不等式估计120801001iiXP_,为使9.01.0111niiXnP，利用中心极限定理，估计n至少需要达到_。21,542 13、有两个相互独立的子系统A和B，其正常工作的概率分别为Ap和Bp，则BA,构成的串联系统正常工作的概率为_;而BA,构成的并联系统正

7、常工作的概率为_。BApp，)1)(1(1BApp）14、如果YX,相互独立，且都服从),1(pb，那么YX _,),min(YX_。),2(pb，),1(2pb 15、若)1,0(UX，对于0，)12(X_。),(U 16、有两个随机事件A和B，已知6.0)(,3.0)(BPAP，如果BA,互不相容，则)(BAP=_;如果BA,相互独立，则)(BAP=_。0.3 ,0.12 17、设连续型随机变量X的概率密度函数与分布函数分别为)(xf和)(xF，则它们的相互关系为：)(xF_;在)(xf的连续点处有)(xf_。xduuf)(，)(xF 18、如果)(),(21eYeX，且相互独立

8、，则)|(|yxfYX_,),min(YX_。)(xfX，)(21e 19、设),(pnbX，)(pY，且相互独立，则)(YXE_，)(YnXD_。pnp，)2(pnp 20、一袋中有 5 个小球，它们是 2 个白球和 3 个黑球，从中随机取两个球，则取到一黑一白的概率为_,如果已知其中一个是白球，则另一个是黑球的概率为_。53，76 21、若)1(X，则 1XP_;1|1XXP_。1-1e，11e 22、设),(YX的联合分布函数为),(yxF，如果X与Y相互独立，那么),(),(yFxF_;)|(|yxFYX_。),(yxF，),(xF 23、设随机变量序列

9、,21XX相互独立，且对于每个iX，iiXE)(，2)(iXD，则 niiiXnE12)(1_;0,niiinXnP1)(1lim_。2，1 22、设),(YX的联合分布函数为),(yxF，YX,的边缘分布函数分别为)(xFX，)(yFY，则),(xF_,),(xF=_。0，)(xFX 23、如果随机变量X的概率密度函数为xxCe22，),(x，则 C_，)(XEXP_。e1 ，21 二、选择题 1、设事件BA,满足 1)(0AP，1)(0BP，)|()|(BAPBAP，则（A）1)()(BPAP （B）)()()(BPAPBAP（C）)()()(BPAPABP （D）0)(ABP C 2、

10、对于0)(),(BPAP，如果)|()|(ABPBAP，则（）(A)BA (B)()(BPAP(C)BA,相互独立(D)BA,互不相容 B 3、设)(xF为随机变量X的分布函数，则 aXP（）(A)(1aF(B)()(aFaF(C)(1aF (D)()(FaF C 4、设)(xF为随机变量X的分布函数，则()()F aF a（）(A)()F a(B)()F a(C)P Xa (D)P Xa D 5、如果YX,相互独立，且都服从),1(pb，则),max(),min(YXYXP=（）(A)2p (B)1 (C)1(2pp (D)2)1(p C 6、如果nXXX,21相互独立，且均服从指数分布，则

11、下列哪个随机变量仍然服从指数分布()(A)niiX1(B)niiX1(C)(max1iniX (D)(min1iniX D 7、将n个相互独立且可靠性均为p的元件并联起来组成系统S，则系统的可靠性为（）(A)np (B)np)1(1 (C)np1 (D)np)1(8、设)(xf与)(xF分别为随机变量X的密度函数和分布函数，则下列关系成立的是（）(A)()(xfxF(B)0)()(xfxF (C)xduuFxf)()(D)xduufxF)()(D 9、已知1)()(YDXD，21XY，则)2,(YXYXCov()(A)21 (B)23(C)21 (D)25 10、对任意两个独立且发生概率均大于

12、零的事件A和B，不正确的是（）（A）A与B一定独立（B）A与B一定独立 (C)A与B一定独立 (D)A与B一定互不相容 D 11、随机变量X的概率密度和分布函数分别为()f x和()F x，则一定有（）（A）0()1f x (B)0()1F x (C)()P Xxf x (D)()P XxF x B 12、对任意事件A和B，若()0P B，则（）（A）(|)(|)1P A BP A B (B)(|)(|)1P A BP A B(C)(|)(|)1P A BP A B (D)以上结论都不一定成立 A 13、设随机变量X与Y独立，且都服从参数为p的 0-1 分布。则一定成立的是（）（A）2P X

13、Yp (B)22(1)P XYpp(C)12P XY （D）1P XY 13、如果()0P B，且(|)()P A BP A，则（）（A）BA (B)A与B相互独立(C)A与B互不相容 (D)AB B 14、二维随机变量1(,)(0,0,1,1,)2X YN，则2ZXY服从（）（A）(3,7)N (B)(0,7)N (C)(1,3)N (D)(0,3)N 15、“随机事件,A B和C当中至多发生两个”可以表示为（）（A）()()()ABACBCUU (B)()()()ABACBCUU(C)ABCUU (D)ABCUU 16、设X的概率密度是偶函数，()F x为相应的分布函数，则|1PX（）（A

14、）2(1)1F (B)2(1(1)F (C)(1)F (D)1-1()F x dx A 17、若取非负整数值的离散型随机变量X的期望存在，则()E X（）（A）0kkP Xk (B)0kkP Xk (C)0kP Xk (D)0kP Xk B 18、已知()0.7P A，()0.3P AB，则()P AB（）（A）0.21 (B)37 (C)0.4 (D)1 C 19、若连续型随机变量X与Y的密度函数满足)|()(|yxfxfYXX，则（）(A)X与Y同分布 (B)X与Y相互独立 (C)X与Y以概率 1 线性相关 (D)X与YX同分布 B 20、)(X，且满足2)()(XEXD，则 0XP（）(

15、A)1e (B)11e (C)2e (D)不能确定 A 21、),(2NX，则 1|XP的概率随着的增大而（）；（A）变大（B）变小（C）不变（D）无法确定 B 22、设YX,是任意两个随机变量，且满足条件)()()(YEXEXYE，则_；（A）)()()(YDXDXYD （B）)()()(YDXDYXD（C）X和Y相互独立（D）X和Y不相互独立 B 23、如果两个独立的随机变量1X和2X的密度函数分别为)(xf和)(xg，分布函数分别为)(xF和)(xG，那么_；（A）)()(xgxf是一个密度函数（B）)()(xgxf是一个密度函数（C）)()(xGxF是一个分布函数（D）)(

16、)(xGxF是一个分布函数 D 24、设X，Y是独立同分布的随机变量，而YXU，YXV，那么U和V_。（A）一定不独立（B）一定独立（C）一定相关（D）一定不相关 D 三、判断题 1、设事件A和B为非零概率事件，且)|()|(ABPBAP，则)()(BPAP（）对 2、如果随机变量X与Y具有相同的分布，那么1 YXP （）错 3、如果随机变量X和Y具有相同的分布，那么0 YXP （）错 4、已知X不是连续型随机变量，则X一定是离散型随机变量（）错 5、若随机变量X与Y互不相关，则它们必相互独立（）错 6、如果事件A与B既互不相容又相互独立，则0)()(BPAP （）对 7、如果事件A

17、与B相互独立，则A与B也相互独立的（）对 8、如果随机变量X与Y相互独立，且均服从均匀分布，则YX 仍然服从均匀分布式（）错 9、对于任意两个事件A和B，则成立ABBA)(（）错 10、设)(xF为X的分布函数，那么对于21xx，必有)()(21xFxF （）错 11、YX,均服从 0-1 两点分布，并且0XY，则X与Y必相互独立（）对 12、YX,均服从正态分布，并且0XY，则X与Y必相互独立（）对 13、若事件CBA,两两之间相互独立，则BA,和C必相互独立的（）错 14、如果随机变量X服从正态分布，那么对于任何常数)0(,aba，必有baX 服从正态分布（）对 15、如果

18、随机变量YX,均服从正态分布，则YX 服从正态分布（）对 16、如果随机变量YX,均服从正态分布，则),(YX服从正态分布（）错 17、由X的边缘分布)(xFX以及Y的条件分布)|(|xyFXY，可以唯一确定),(YX的联合分布（）对 18、由X的边缘分布)(xFX以及Y的边缘分布)(yFY，可以唯一确定),(YX的联合分布（）错 19、对于事件A和B，总有BABA （）对 20、如果X与Y相互独立，那么)()(YEXEYXE （）错 21、如果X与Y相互独立，那么)()(YEXEXYE （）对 22、若X为连续型随机变量，则 1 aXP （）对 23、若事件BA,不相容，则BA,

19、必相互独立（）错四、计算题 1、设有两个罐，其中第一个罐中黑球 6 个，白球 4 个;第二个罐中白球和黑球各 5 个。现在随机选取一罐，并从该罐中随机抽取一球，计算：(1)抽到的球是黑球的概率；(2)如果发现抽到的是白球，该球是从第一个罐中抽取的概率是多大？解：设A表示“选取第一个罐抽球”，B表示“抽到的球是黑球”，则A表示“选取第二个罐抽球”，所以 21)(AP，21)(AP，53)|(ABP，21)|(ABP （1）抽到的球是黑球的概率为 201121212153)()|()()|()(APABPAPABPBP （2）如果发现抽到的是白球，该球是从第一个罐中抽取的概率为 9420111

20、215321)(1)()|()()(1)()()()()|(BPAPABPAPBPABPAPBPBAPBAP 2、一个袋子中装有 10 个球，3 个黑球，2 个白球，5 个红球，首先在袋中取一个球，观察其颜色后，将其放回袋中，并加入 2 个同颜色的球，然后再在袋中取 2 个球，（1）求第二次取到 2 个黑球的概率；（2）若已知第二次取到的是 2 个黑球，求第一次取到的是黑球的概率。解：321,AAA分别表示“第一次取到的是黑球、白球和红球”，B表示“第二次取到 2 个黑球”，则 21)(,51)(,103)(321APAPAP，212251)|(CCABP，212332)|(CCABP，212

21、333)|(CCABP （1）第二次取到 2 个黑球的概率为 )()|()()|()()|()(332211APABPAPABPAPABPBP （2）已知第二次取到的是 2 个黑球，第一次取到的是黑球的概率 )()()|()|(111BPAPABPBAP 3、一袋中装有 5 个黑球，3 个白球，现从中随机取走两个球后，问（1）再从袋中取 3 个球，这三个球为 2 黑 1 白的可能性是多少？（2）若已知后取出的那三个球为 2 黑 1 白，那么开始取走的两个球为一黑一白的概率为多少？解：设)2,1,0(iAi分别表示“第一次取出的两个球中有i个黑球”，B表示“再从袋中取 3 个球，这三个球为 2

24、 10 个，（1）求其中没有次品的概率；（2）如果取出的 10 个产品中没有次品，则这批产品的次品率是 1%的概率为多少？解：设321,AAA分别表示“这批产品的次品率为 1%，2%和 3%”，X表示“取出的 10个产品中次品的个数”，B表示“取出的 10 个产品中没有次品”则 5.0)(1AP，3.0)(2AP，2.0)(3AP 另外，当这批产品的次品率为 1%时，)01.0,10(bX，101)01.0(0)|(XABP 当这批产品的次品率为 2%时，)02.0,10(bX 102)02.0(0)|(XABP 当这批产品的次品率为 3%时，)03.0,10(bX 103)03.0(0)|(

25、XABP（1）其中没有次品的概率为 )()|()()|()()|()(332211APABPAPABPAPABPBP（2）如果取出的 10 个产品中没有次品，则这批产品的次品率是 1%的概率为 )()()|()|(111BPAPABPBAP 6、某产品的合格品率为 99%，已知一个合格产品使用 10 年以上的概率达到 0.90，而一个不合格产品使用 10 年以上的概率仅为 0.60,求：（1）任取一个该产品，它能使用 10 年以上的概率；（2）已知一个产品已经使用了 10 年还能正常工作的条件下，它是合格品的概率。解：设A表示”取出的产品为合格品”,B表示”该产品使用 10 年以上”,则 ()

26、0.9 9P A,()0.0 1P A,(|)0.9P B A,(|)P B A（1）任取一个该产品，它能使用 10 年以上的概率为()(|)()(|)()P BP B A P AP B A P A（2）已知一个产品已经使用了 10 年还能正常工作的条件下，它是合格品的概率 (|)()(|)()P B A P AP A BP B 7、一袋子中装有 5 个小球，其中含有 0,1,2,个黑球的可能性分别为 0.6，0.3 和 0.1，（1）从袋中随机取两个球，求两个均不是黑球的概率；（2）若已知取到的两个均不是黑球，求该袋中没有黑球的概率。解：设(0,1,2)iA i 分别表示”袋子中含有i个黑球

27、”,B表示”从袋子中取出的两个球均不是黑球”,则 012()0.6,()0.3,()0.1P AP AP A,22340122255(|)1,(|),(|)CCP B AP B AP B ACC（1）从袋中随机取两个球，两个均不是黑球的概率为 001122()(|)()(|)()(|)()P BP B A P AP B A P AP B A P A（2）已知取到的两个均不是黑球，该袋中没有黑球的概率为 000(|)()(|)()P B A P AP ABP B 8、设一种产品的使用寿命服从指数分布，已知这种产品正品的期望寿命为 5 年，次品的期望寿命仅为 1 年，又已知该种产品的次品率为 0.

28、05，现有人购买了一个这样的产品，（1）求购得的产品使用 1 年以上的概率；（2）如果此人购得的这个产品不到 1 年就坏了，则此产品为次品的概率是多少？解：A表示“购买的产品是正品”，B表示“购得的产品使用 1 年以上”，X表示“购买的产品的使用寿命”，则 05.0)(AP95.0)(AP 另外，当购买的产品是正品时，)5(eX，-1/5e1X)|(PABP 当购买的产品是次品时，)1(eX，11)|(eXPABP（1）购得的产品使用 1 年以上的概率为 05.095.0)()|()()|()(15eeAPABPAPABPBP（2）如果此人购得的这个产品不到 1 年就坏了，则此产品为次品的概率

29、为)(1)()|()()(1)(1)(1)()()|(BPAPABPBPAPBPBAPBPBAPBAP 9、设随机变量X的分布函数为 xBAxFarctan)(x-试求：（1）常数A和B；（2）11XP；（3）X的概率密度)(xf；（4）2XY 的概率密度)(yfY。解：（1）根据分布函数的性质，12)(,02)(BAFBAF 得 1,21BA （2）X的概率密度为：2111)()(xxFxf x（3）21)1arctan(2)1()1(11FFXP （4）当0y 时，0)(2yXPyFY 当 0y时，yyXyPyXPyFYarctan2)(2 yyyFyfYY21112)()(所以 000)

30、1(2)(yyyyyfY 10、设随机变量X的概率密度函数为其它00)()(axxaxxf 其中0a，试计算（1）常数a；（2）X的分布函数)(xF；（3）11XP；（4）361XY 的概率密度。11、设随机变量),(YX的联合分布律为 Y X-1 1 2-1 1/10 2/10 3/10 2 2/10 1/10 1/10 (1)计算YXZ1的分布律;(2)计算,max2YXZ 的分布律；(3)计算协方差),cov(YX;(4)计算相关系数 XY。12、已知二维离散型随机变量),(YX的联合分布律为：3,2,1,36,jijijYiXP 求：（1）X的边缘分布律；（2）1X时，Y的条件分布律

31、。解：（1）X的边缘分布律为：1261)(36131ijipji 3,2,1i （2）1X时，Y的条件分布律为：91413611|jjXjYP 3,2,1j 13、设二维随机变量),(YX的联合概率密度函数为其它0),1min()1,0max(,20),(xyxxcyxf (1)确定常数c的值;(2)计算两个随机变量的边缘概率密度，并判断这两个随机变量是否独立;(3)计算它们的协方差。解：当10 x时，xy 0，当21 x时，11yx 因此),1min()1,0max(,20 xyxx所表示的区域如下图：所以（1）2111100),(1cdxcdydxcdydxdyyxfxx （2）2121

32、00),()(110 xxdyxxdydyyxfxfxxX其它其它0101),()(1ydxdxyxfyfyyY )()(),(yfxfyxfYX，所以YX,不独立（3）1)2()(21102dxxxdxxXE 21)(10y d yYE 127)(211110 0 dxxydydxxydyXYExx 因此 121211127)()()(),(YEXEXYEYXCov 14、设二维随机变量),(YX的概率密度为其它020,101),(xyxyxf 求：（1）),(YX的边缘概率密度)(),(yfxfYX；（2）求1YXP （3）求2/1|2/1YXP。15、设随机变量X的概率密度函数为：0

33、00)(xxCxexfx （1）求常数C;(2)求X得分布函数)(xF；（3）计算 21 XP；（4）设Y与X独立同分布，求YX 的概率密度。解：（1）CdxeCCxexdeCdxxeCdxxfxxxx0000-|)(1 （2）当0 x 时，0)(xF 当0 x时，xxuxuxuxuxexdueueudeduueduufxF)1(1|)()(0000 所以X得分布函数为 000)1(1)(xxexxFx （3）3298.032)1()2(2121eeFFXP （4）当 0z时，0)(zfYX 当 0z时，zzzzxzzYXezdxxzxedxexzxedxxzfxfzf6)()()()()(3

34、00)(16、一商店有 1 吨商品，并已知当该商品定价p元/公斤时，市场对该商品的需求量（单位：公斤）10000(0,)XUp，如果商家积压 1 公斤该商品则要损失 1 元，问商家如何定价p可以使其期望获利达到最大（这里暂不考虑商品的进货成本，且只需考虑100 p情形）。解：设获得的利润为Y,则 10001000(1000)1000pXYXpXX 令 10001000()10001000pxyg xxpxx X的概率密度为 10000010000()0pxpf x其它所以 100001000201000()()()(1000)/101000ppE Yg x f x dxxpx dxpdx 1

35、7、对于二维随机变量）（YX,，其联合概率密度函数为其它010,102),(xxyyxf 求（1）)(),(YEXE；（2）),(YXCov，XY。解：x-10)1(22),()(xdydyyxfxfX 10 x y-10)1(22),()(ydxdxyxfyfY 10 y（1）1031)1(2)()(dxxxdxxxfXEX，1031)1(2)()(dyyydyyyfYEY（2）1021010121)1(2),()(dyxxdxxydydxdyyxxyfXYEx 36191121)()()(),cov(YEXEXYEYX（3）61)1(2)()(10222dxxxdxxfxXEX，61)(2YE 1819161)()()(22XEXEXD，181)(YD 21181361)()(),cov(,YDXDYXYX

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