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1、浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值 一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值 例 1（1）已知点 A(1，1)，点 B(3，-2)，P 是 x 轴上任意一点，则 PA+PB 的最小值为 ，此时点 P 的坐标为 ；（2）已知点 A(1，1)，点 B(3，2)，P 是 x 轴上任意一点，则 PB-PA 的最大值为 ，此时点 P 的坐标为 解析：（1）如图 1，当点 P 在 x 轴上运动时，PA+PBAB(当且仅当 A，P，B 三点共线时等号成立)(PA+PB)min=AB=此时，点 P 的坐标为 （2）如图 2，当点 P 在 x 轴上运动时，PB-PA AB(当且仅当 A，P，
2、B 三点共线时等号成立)(PB-PA)max=AB=此时，点 P 的坐标为 变题：（1）已知点 A(1，1)，点 B(3，2)，P 是 x 轴上任意一点，则 PA+PB 的最小值为 ，此时点 P 的坐标为 ；解析：（1）如图 3，作点 B 关于 x 轴的对称点 B（3，-2），则有 PB=PB 当点 P 在 x 轴上运动时，PA+PB=PA+PB=AB(当且仅当 A，P，B三点共线时等号成立)(PA+PB)min=AB=此时，点 P 的坐标为（2）已知点 A(1，1)，点 B(3，-2)，P 是 x 轴上任意一点，则 PB-PA 的最大值为 ，此时点 P 的坐标为 解析：（2）如图 4，作点
3、B 关于 x 轴的对称点 B，则有 PB=PB 当点 P 在 x 轴上运动时，PB-PA=PB-PA AB(当且仅当 A，P，B三点共线时等号成立)(PB-PA)max=AB=此时，点 P 的坐标为 归纳：当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值 若不满足时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解如变题的方法 例2 函数的值域为 解析：将函数进行化简得：即为动点 P（x，0）到两定点 A(1，1)、B（3，-2）的距离之和由例 1 可知：该值域为 二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（
4、差）的最值 （一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解 例 3（1）已知 A(4，0)和 B(2，2)，M 是椭圆上的动点，则 MA-MB 的范围是 ；解析：(1)如图 5，在MAB 中有 MA-MBMA 即点 M 位于M2处时，有 MA-MB=AB，所以 MA-MBAB；同理在MAB 中有 MB-MAAB，即 MB-MA-AB(当点 M 位于 M1处时等号成立)综上所述：-ABMA-MBAB （2）已知 A(4，0)和 B(2，2)，M 是椭圆上的动点，则 MA+MB 的最大值是 解析：(2)如图 6，因为点 A 恰为椭圆的右焦点，所以 由椭圆的定义可得 MA+MB=10-
5、MF+MB（F 为椭圆的左焦点），同（1）可得 MB-MFBF(当且仅当点 M 位于点 M4处时，等号成立)所以(MA+MB)max=(10-MF+MB)max=10+BF=10+点评：因为点 A，B 都在椭圆的内部（即两定点都在曲线的同侧），故可直接求出动点M 到两定点 A，B 的距离之差的最值；若要求动点 M 到两定点 A，B 的距离之和的最值（其中A 恰为焦点），需要利用椭圆的定义转化为动点 M 到两定点 F，B 的距离之差的最值（点 F为另一焦点）例 4(1)已知 F 是双曲线的左焦点，A(4，1)，P 是双曲线右支上的动点，则 PA+PF 的最小值为 ；解析：(1)如图 7，在PAB
6、 中有 PA+PFAB，当 P，A，F 三点共线即点 P 位于 P1处时，有 PA+PF=AF，所以(PA+PF)min=AF=(2)已知 F 是双曲线的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则 PA+PF的最小值为 解析：(2)如图 8，设 F2是双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得 PA+PF=PA+2a+PF2=8+PA+PF2=8+AF2(当 P，A，F2三点共线即点 P 位于 P2处时等号成立)，所以(PA+PF)min=8+AF2=13 点评：本题需要特别关注点与双曲线的位置关系，两定点一定要在动点的轨迹（曲线）的异侧 （二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的
7、距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解 例5（1）已知点A(2，2)，F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，则PF+PA的最小值是 ，此时，点的坐标为 ；解析：如图9，设点P到右准线的距离为PP，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当 A，P，P三点共线，即点 P 位于点 P1处时取等号)此时点 P 的坐标为 P(，2).（2）已知点 A(5，2)，F 是双曲线的右焦点，P 是双曲线上的动点，则PF+PA的最小值是 ，此时点的坐标为 解析：如图 10，设点 P 到右准线的距离为 PP，由圆锥曲线的统一定义可知，即(当且仅当 A，P，P三点共线，即点 P 位于点 P1处时取等号)此时点 P 的坐
8、标为 P(，2)点评：此类最显著的特征是动点与焦点距离前有系数，可以利用圆锥曲线的统一定义将动点到焦点的距离转化为到相应准线的距离 例 6（1）抛物线的焦点为 F，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点 M，当MA+MF 为最小值时，点 M 的坐标为 ；解析：如图 11，为抛物线的准线，MM为点 M 到准线的距离 利用抛物线的定义：MF=MM，可得 MA+MF=MA+MMAM（当且仅当 A，M，M三点共线时等号成立，即当点 M 在 M处时等号成立）此时点 M 的坐标为 M(，-2)（2）P 为抛物线上任一点，A(3，4)为一定点，过 P 作 PP垂直 y 轴于点 P，则 AP+PP的最小值为 解析：如图 12，延长 PP交抛物线的准线 于点 P，由抛物线的定义：PP=PF，所以 AP+PP=AP+PP-1=AP+PF-1AF-1(当且仅当 A，P，F 三点共线时等号成立，即当点 P 位于 P1处时等号成立)点评：本题需要注意两点：定点所在位置是抛物线的内部还是外部；利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化