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1、知识改变命运，学习成就未来 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 1 页 共 5 页 1.3 二项式定理 学习目标：1 掌握二项式定理和二项式系数的性质。2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1 二项式定理及其特例：（1）01()()nnnrnrrnnnnnnabC aC a bC abC bnN，（2）1(1)1nrrnnnxC xC xx.2 二项展开式的通
2、项公式：1rnrrrnTC ab 3 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4.二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5 二项式系数的性质：()nab展开式的二项式系数是0nC，1nC，2nC，nnCrnC可以看成以r为自变量的函数()fr，定义域是0,1,2,n，例当6n 时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（mnmnnCC）直线2nr 是图象的对称轴（2）增减性与最
3、大值：当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项知识改变命运，学习成就未来 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 2 页 共 5 页 12nnC，12nnC取得最大值（3）各二项式系数和：1(1)1nrrnnnxC xC xx，令1x，则0122nrnnnnnnCCCCC 二、讲解范例：例 1 设 231111nxxxx2012nnaa xa xa x，当012254naaaa时，求n的值 解：令1x 得：230122222nnaaaa2(21)25421n，2128,7nn，点评：对于101()()()nnnfxaxaaxaa，令1,xa即1xa可得各项系数的和0
4、12naaaa的值；令1,xa 即1xa，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例 2 求证：1231232nnnnnnCCCnCn 证（法一）倒序相加：设S 12323nnnnnCCCnC 又S 1221(1)(2)2nnnnnnnnnCnCnCCC rnrnnCC，011,nnnnnnCCCC，由+得：0122nnnnnSn CCCC，11222nnSnn，即1231232nnnnnnCCCnCn（法二）：左边各组合数的通项为 rnrC11!(1)!()!(1)!()!rnnnnrnCrnrrnr，1230121112123nnnnnnnnnnCCCnCn CCCC12nn 知识改变命运，学习
5、成就未来 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 3 页 共 5 页 例 3 已知：223(3)nxx的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 解：令1x，则展开式中各项系数和为2(13)2nn，又展开式中二项式系数和为2n，222992nn，5n （1）5n，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，223226335()(3)90TCxxx，22232233345()(3)270TCxxx，（2）设展开式中第1r 项系数最大，则21045233155()(3)3rrrrrrrTCxxC x，115511553
6、3792233rrrrrrrrCCrCC，4r，即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405TCxxx 例 4 已知)(1222212211NnCCCSnnnnnnnn，求证：当n为偶数时，14nSn能被64整除 分析：由二项式定理的逆用化简nS，再把14nSn变形，化为含有因数64的多项式 1122122221(21)nnnnnnnnnSCCC3n，14nSn341nn，n为偶数，设2nk（*kN），14nSn2381kk(81)81kk 0111888181kkkkkkCCCk 011228(88)8kkkkCCC（），当k=1时，410nSn显然能被64整除，当2k 时
7、，（）式能被64整除，所以，当n为偶数时，14nSn能被64整除 三、课堂练习：知识改变命运，学习成就未来 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 4 页 共 5 页 1 4511xx展开式中4x的系数为 ，各项系数之和为 2 多项式12233()(1)(1)(1)(1)nnnnnnfxCxCxCxCx（6n）的展开式中，6x的系数为 3 若二项式231(3)2nxx（nN）的展开式中含有常数项，则n的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.8 4 某企业欲实现在今后 10 年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （）A.低于 5 B.在 5 6 之间 C.在 6 8
8、 之间 D.在 8 以上 5 在(1)nx的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则2(1)nx等于（）A.0 B.pq C.22pq D.22pq 6 求和：2341012311111111111nnnnnnnnaaaaaCCCCCaaaaa 7 求证：当nN且2n 时，1322nnn 8 求102x的展开式中系数最大的项 答案：1.45,0 2.0 提示：16nfxxn 3.B 4.C 5.D 6.11naa 7.(略)8.33 115360Tx 四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用
9、通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 五、课后作业：1 已知2(1)na展开式中的各项系数的和等于521615xx的展开式的常数项，而2(1)na 展开式的系数的最大的项等于54，求a的值()aR 知识改变命运，学习成就未来 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱： 第 5 页 共 5 页 答案：3a 2 设 591413011314132111xxaxaxaxa 求：0114aaa 1313aaa 答案：9319683；953399632 3 求值：0123456789999999999922222CCCCCCCCCC 答案：82256 4 设296()(1)(21)fxxxx，试求()fx的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案：（1）63729；（2）所有偶次项的系数和为6313642；所有奇次项的系数和为6313652 六、板书设计（略）七、课后记：