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1、上高二中 2021 届高三数学（文科）第四次月考试卷 一选择题（共12 小题）1已知命题 p：若 a1，则 a21，下列说法正确的是（）A命题 p 是真命题 B命题 p 的逆命题是真命题 C命题 p 的否命题是：若 a1，则 a21 D命题 p 的逆否命题是：若 a21，则 a1 2已知集合 Ax|2x1|3，Bx|ylg（x2x6），则RAB（）A（1，3）B C（2，3）D（2，1）3如图，边长为 1 正方形 ABCD，射线 BP 从 BA 出发，绕着点 B 顺时针方向旋转至 BC，在旋转的过程中，记ABPx（x0，），BP 所经过的在正方形 ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为 yf（
2、x），则函数 f（x）的图象是（）A B C D 4若两个正实数 x，y 满足2，且不等式 x+m2m 有解，则实数 m 的取值范围是（）A（1，2）B（，2）（1，+）C（2，1）D（，1）（2，+）5已知函数 f（x）满足对任意的实数 x1x2都有0 成立，则实数 a 的取值范围为（）A（，2）B（，C（，2 D，2）6已知 cos，sin（），均为锐角，则 sin2（）A B C D1 7设 a，b，c 均为正数，且 ealna，eblnb，eclnc，则（）Acba Bcab Cbac Dabc 8若函数 f（x）x3+x2在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数 a 的取值范围是（）
3、A5，0）B（5，0）C3，0）D（3，0）9已知定义在 R 上的偶函数 f（x），其导函数为 f（x），若 xf（x）2f（x）0，f（2）1，则不等式的解集是（）A（2，2）B（，2）（2，+）C（2，0）（0，2）D（，0）（0，2）10已知函数 f（x）cos2+sinx（0），xR，若 f（x）在区间（，2）内没有零点，则 的取值范围是（）A（0，B（0，）C（0，D（0，11已知定义域为 R 的函数 f（x）满足：当 x0 时，f（x）xex，x0 时，f（x）f（x1）若g（x）k（x+1），且方程 f（x）g（x）0 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是（）A（，）B（，
4、C（，）D（，12对于函数，下列结论中正确结论的个数为（）f（x）在 xe 处取得极大值；f（x）有两个不同的零点；f（）f（2）f（3）；若在（0，+）上恒成立，则 k1；x0，恒成立 A4 B3 C2 D1 个 二填空题（共 4 小题）13设 aR，若函数 yex+ax，xR 有大于零的极值点，则 a 的取值范围是 14若曲线 f（x）（ax1）ex2在点（2，f（2）处的切线过点（3，3），则实数 a 的值为 15若，tan（2）1，则 tan（）16函数的最大值为 三解答题（共 6 小题）17已知函数 f（x）|x3|+|x1|（1）若 f（x）x+m 对任意 xR 恒成立，求实数 m
5、 的取值范围；（2）记函数 f（x）的最小值为 s，若 a，b，c0，且 a+b+cs，证明：4ab+bc+ac8abc 18在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），圆 C 的参数方程为（为参数）（1）求 l 和 C 的普通方程；（2）设点 P（5，2），直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求的值 19某同学用“五点法”画函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x x+0 2 Asin（x+）2 （1）求函数 f（x）的解析式，并补全表中其它的数据；（2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数 yf（x）在
6、一个周期内的图象；（3）写出函数 yf（x）（xR）的单调减区间 20在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，E，F 分别是线段 AD，PB的中点，PAAB1（1）求证：EF平面 DCP；（2）求 F 到平面 PDC 的距离 21在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且（1）求 cosB 的值；（2）若 a+c3，求 AC 边上中线长的最小值 22已知函数 f（x）ln（x+1）+ax2x，g（x）alnx+2x，（1）若函数 f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线 3x2y+20 平行，求实数 a 的值；（2）设 h（x）f（x）+g（x），
7、且 h（x）有两个极值点 x1，x2，其中，求 h（x1）h（x2）的最小值（注：其中 e 为自然对数的底数）上高二中 2021 届高三数学（文科）第四次月考试卷 参考答案与试题解析 一选择题（共 12 小题）1已知命题 p：若 a1，则 a21，下列说法正确的是（）A命题 p 是真命题 B命题 p 的逆命题是真命题 C命题 p 的否命题是：若 a1，则 a21 D命题 p 的逆否命题是：若 a21，则 a1【解答】解：已知命题 p：若 a1，则 a21，如 a2，则（2）21，命题 p 为假命题，A 不正确；命题 p 的逆命题是：若 a21，则 a1，为真命题，B 正确；命题 p 的否命题是
8、：若 a1，则 a21，C 不正确；命题 p 的逆否命题是：若 a21，则 a1，D 不正确 故选：B 2已知集合 Ax|2x1|3，Bx|ylg（x2x6），则RAB（）A（1，3）B C（2，3）D（2，1）【解答】解：因为 Ax|2x1|3x|x2 或 x1，所以RA（1，2），Bx|ylg（x2x6）x|x3 或 x2，则RAB 故选：B 3如图，边长为 1 正方形 ABCD，射线 BP 从 BA 出发，绕着点 B 顺时针方向旋转至 BC，在旋转的过程中，记ABPx（x0，），BP 所经过的在正方形 ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为 yf（x），则函数 f（x）的图象是（）A B
9、 C D【解答】解：当ABPx（x0，），f（x）tanx，当ABPx（x，），f（x）1tan（x）1，故只有 D 符合，故选：D 4若两个正实数 x，y 满足2，且不等式 x+m2m 有解，则实数 m 的取值范围是（）A（1，2）B（，2）（1，+）C（2，1）D（，1）（2，+）【解答】解：若不等式 x+m2m 有解，即 m2m（x+）min即可，2，+1，则 x+（x+）（+）+1+21+21+21+12，当且仅当，即 y216x2，即 y4x 时取等号，此时 x1，y4，即（x+）min2，则由 m2m2 得 m2m20，即（m+1）（m2）0，得 m2 或 m1，即实数 m 的取值
10、范围是（，1）（2，+），故选：D 5已知函数 f（x）满足对任意的实数 x1x2都有0 成立，则实数 a 的取值范围为（）A（，2）B（，C（，2 D，2）【解答】解：若对任意的实数 x1x2都有0 成立，则函数 f（x）在 R 上为减函数，函数 f（x），故，解得：a（，故选：B 6已知 cos，sin（），均为锐角，则 sin2（）A B C D1【解答】解：因为，均为锐角，所以，所以，由 sinsin+（）sincos（）+cossin（），所以，所以 sin22sincos1，故选：D 7设 a，b，c 均为正数，且 ealna，eblnb，eclnc，则（）Acba Bcab Cb
11、ac Dabc【解答】解：在同一坐标系中分别画出 yex，yex，ylnx，ylnx 的图象，yex与 ylnx 的交点的横坐标为 a，yex与 ylnx 的图象的交点的横坐标为 b，yex与 ylnx 的图象的交点的横坐标为 c，从图象可以看出 abc 故选：D 8若函数 f（x）x3+x2在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数 a 的取值范围是（）A5，0）B（5，0）C3，0）D（3，0）【解答】解：由题意，f（x）x2+2xx（x+2），故 f（x）在（，2），（0，+）上是增函数，在（2，0）上是减函数，作其图象如右图，令x3+x2得，x0 或 x3；则结合图象可知，；解得，a3，
12、0）；故选：C 9已知定义在 R 上的偶函数 f（x），其导函数为 f（x），若 xf（x）2f（x）0，f（2）1，则不等式的解集是（）A（2，2）B（，2）（2，+）C（2，0）（0，2）D（，0）（0，2）【解答】解：令 g（x），则 g（x），因为 xf（x）2f（x）0，所以，当 x0 时，g（x）0，即 g（x）在区间（0，+）单调递增；又 f（x）是 R 上的偶函数，所以 g（x）是（，0）（0，+）上的偶函数，又 f（2）f（2）1；故 g（2），于是，不等式化为 g（x）g（2），故|x|2，解得2x2，又 x0，故选：C 10已知函数 f（x）cos2+sinx（0），xR
13、，若 f（x）在区间（，2）内没有零点，则 的取值范围是（）A（0，B（0，）C（0，D（0，【解答】解：函数 f（x）cos2+sinxcosx+sinxsin（x+），可得 T，01，f（x）在区间（，2）内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：或，解得（0，故选：D 11已知定义域为 R 的函数 f（x）满足：当 x0 时，f（x）xex，x0 时，f（x）f（x1）若g（x）k（x+1），且方程 f（x）g（x）0 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是（）A（，）B（，C（，）D（，【解答】解：当 x0 时，f（x）xex的导数为 f（x）（x+1）ex，当1x0
14、时，f（x）0，f（x）递增；当 x1 时，f（x）0，f（x）递减，则 x1 处 f（x）取得极小值 f（1），由 x0 时，f（x）f（x1），可将 yf（x）在（1，0的图象每向右平移一个单位，可得 f（x）在 x0 时的图象，如右图：由方程 f（x）g（x）0 有两个不同的实根，可得 yf（x）和 yg（x）的图象有两个交点 又 yg（x）k（x+1）的图象为恒过定点（1，0）的直线，当该直线经过点 A（0，）时，k；当该直线经过点 A（1，）时，k 由图象可得当k时，yf（x）和 yg（x）的图象有两个交点 故选：B 12对于函数，下列结论中正确结论的个数为（）f（x）在 xe 处取
15、得极大值；f（x）有两个不同的零点；f（）f（2）f（3）；若在（0，+）上恒成立，则 k1；x0，恒成立 A4 B3 C2 D1 个【解答】解：，令 f（x）0，得 xe，当 0 xe 时，f（x）0；当 xe 时，f（x）0，f（x）的增区间是（0，e），减区间是（e，+），当 xe 时，f（x）有极大值 f（e）所以正确 x0 时，f（x）；x+时，f（x）0，f（x）只有一个零点所以错误 由上知 f（x）减区间是（e，+），f（3）f（）f（4），又f（4）f（2），f（2）f（）f（3）所以错误 若在（0，+）上恒成立，则 k，令 G（x），可得 x（0，1）时，G（x）0，x（1，
16、+）时，G（x）0，G（x）maxG（1）1，k1所以正确 令 g（x）f（x）xlnx（x0），（x0），令 h（x）1lnxx2lnxx2（x0），h（x）在（0，+）单调递减，又h（1）0，在 x（0，1）时，h（x）0，g（x）0，g（x）递增，在 x（1，+）时，h（x）0，g（x）0，g（x）递减，当 x1 时，g（x）maxg（1）0 x0，g（x）0，x0，恒成立所以正确 正确结论为 故选：B 二填空题（共 4 小题）13设 aR，若函数 yex+ax，xR 有大于零的极值点，则 a 的取值范围是 a|a1 【解答】解：yex+ax，yex+a 由题意知 ex+a0 有大于 0
17、 的实根，由 exa，得 aex，x0，ex1 a1 故答案为：a|a1 14若曲线 f（x）（ax1）ex2在点（2，f（2）处的切线过点（3，3），则实数 a 的值为 1 【解答】解：由 f（x）（ax1）ex2，得 f（x）aex2+（ax1）ex2，f（2）a+2a13a1，又 f（2）2a1，曲线 f（x）（ax1）ex2在点（2，f（2）处的切线方程为 y2a+1（3a1）（x2），代入（3，3），得 42a3a1，解得 a1 故答案为：1 15若，tan（2）1，则 tan（）2 【解答】解：由，得，即 tan3 又 tan（2）1，tan（）tan（2）tan+（2）故答案为：
18、2 16函数的最大值为 【解答】解：由题意可得：f（x）cosx+cos2x2cos2x+cosx1（2cosx1）（cosx+1），cosx+10，当时，f（x）0，当时，f（x）0，即当时，f（x）单调递增，当时，f（x）单调递减，故 f（x）在处取得极大值即最大值，且 故答案为：三解答题（共 6 小题）17已知函数 f（x）|x3|+|x1|（1）若 f（x）x+m 对任意 xR 恒成立，求实数 m 的取值范围；（2）记函数 f（x）的最小值为 s，若 a，b，c0，且 a+b+cs，证明：4ab+bc+ac8abc【解答】解：（1）设 g（x）f（x）x|x3|+|x1|x，画出图象如
19、下：g（x）的最小值为 g（3）1，故 m1；（2）证明：由 f（x）|x2|+|x1|x3x+1|2，当且仅当 1x3 时，取等号，所以 s2，即 a+b+c2，4ab+bc+ac8abc 可化为，由柯西不等式，（a+b+c）（）（1+1+2）216，当且仅当 2a2bc1 时，取等号，所以，故原命题成立 18在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），圆 C 的参数方程为（为参数）（1）求 l 和 C 的普通方程；（2）设点 P（5，2），直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求的值【解答】解：（1）圆 C 的参数方程为（为参数）：所以 a1，转换为直角坐标方程为
20、（x1）2+（y+2）21 直线 l 的参数方程为（t 为参数），转换为，转换为直角坐标方程为 y+1（2）直线 l 的参数方程为代入（x1）2+（y+2）21，得到：，所以，t1t231 故 19某同学用“五点法”画函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x x+0 2 Asin（x+）2 （1）求函数 f（x）的解析式，并补全表中其它的数据；（2）在给定的坐标系中，用“五点法”画出函数 yf（x）在一个周期内的图象；（3）写出函数 yf（x）（xR）的单调减区间 【解答】解：（1）根据用“五点法”画函数 f（x）Asin（x+）（A0
21、，0，）的步骤方法，由所给的表格可得 A2，+，且+2，2，f（x）2sin（2x），可得表格应为：x x+0 2 Asin（x+）0 2 0 2 0（2）根据五点法作图，作出函数的一个周期内的图象，如图：（3）根据函数的图象以及周期性可得它的减区间为k+，k+，kZ 20在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，E，F 分别是线段 AD，PB的中点，PAAB1（1）求证：EF平面 DCP；（2）求 F 到平面 PDC 的距离 【解答】（本小题满分 12 分）解：（1）取 PC 中点 M，连接 DM，MF，M，F 分别是 PC，PB 中点，E 为 DA 中点，ABC
22、D 为正方形，MFDE，MFDE，四边形 DEFM 为平行四边形，EFDM，EF平面 PDC，DM平面 PDC，EF平面 PDC（2）EF平面 PDC，F 到平面 PDC 的距离等于 E 到平面 PDC 的距离，PA平面 ABCD，PADA，PAAD1，在 RtPAD 中，PA平面 ABCD，PACB，CBAB，PAABA，CB平面 PAB，CBPB，则，PD2+DC2PC2，PDC 为直角三角形，VEPDCVCPDE，设 E 到平面 PDC 的距离为 h，则，解得，F 到平面 PDC 的距离为 21在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且（1）求 cosB 的值；（2）若
23、a+c3，求 AC 边上中线长的最小值【解答】解：（1），得 3sinAcosBsin（B+C）sinA，sinA0，所以（2）如图：设 AC 边上的中点为 E，在BAE 中，由余弦定理得：cosA，cosB，其中 b2，又，当 ac1.5 时取到”所以 AC 边上中线长的最小值为 22已知函数 f（x）ln（x+1）+ax2x，g（x）alnx+2x，（1）若函数 f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线 3x2y+20 平行，求实数 a 的值；（2）设 h（x）f（x）+g（x），且 h（x）有两个极值点 x1，x2，其中，求 h（x1）h（x2）的最小值（注：其中 e 为自然对数的底数）【解答】解：（1）f（x）+2ax1，函数 f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线 3x2y+20 平行，f（1）+2a1，解得 a1；（2），由题意得方程 x2+ax+10 的两根分别为 x1，x2，且 x1+x2a，x1x21 所以，则 设，则 当时，（x）0 恒成立，所以（x）在上单调递减，所以，即 h（x1）h（x2）的最小值为