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1、3.2.3 函数模型的应用实例（一）（一）教学目标1知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.2过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.3情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.（二）教学重点、难点一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.（三）教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.（四）教学过程教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 回顾一次函数和二次函数的有关知识.教师提出
2、问题，学生回答.师：一次函数、二次函数的解析式及图象与性质.生：回答上述问题.以旧引新，激发兴趣.应用举例 1一次函数模型的应用例 1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发 10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系，并求火车离开北京2h 内行驶的路程.教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例 1 的解答.例 1 解：因为火车匀速运动的时间为(200 13)120=115(h)，所以1105t.因为火车匀速行驶时间 t h所行驶路程为 120t，所
3、以，火车运行总路程 S 与匀速行驶时间 t 之间的关系是11130120(0).5Stt 2h 内火车行驶的路程1113 1206S=233(km).通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.解题方法：1读题，找关键点；2抽象成数学模型；3 求出数学模型的解；4做答.学生总结，教师完善.培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.2 二次函数模型的应让学生自己读题，并回答下列问题：解应用题用例 2 某农家旅游公司有客房 300 间，每间日房租 20 元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如
4、果每间客房每日增加 2 元，客房出租数就会减少 10 间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？题目求什么，应怎样设未知量；每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系；学生完成题目.法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题.师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答.例 2 解答：方法一 依题意可列表如下：x y 0 30020=6000 1(300 101)(20+21)=6380 2(300 102)(20+22)=6720 3(
5、300 103)(20+23)=7020 4(300 104)(20+24)=7280 5(300 105)(20+25)=7500 6(300 106)(20+26)=7680 7(300 107)(20+27)=7820 8(300 108)(20+28)=7920 9(300 109)(20+29)=7980 10(300 1010)(20+210)=8000 11(300 1011)(20+211)=7980 12(300 1012)(20+212)=7920 13(300 1013)(20+213)=7820 由上表容易得到，当 x=10，即每天租金为 40 元时，能出租客房 200
6、 间，此时每天总租金最高，为 8000 元.再提高租金，总收入就要小于 8000 元了.方法二 设客房租金每间提高 x 个 2 元，则将有 10 x 间客房空出，客房租金的总收入为y=(20+2x)(300 10 x)=20 x2+600 x 200 x+6000=20(x2 20 x+100 100)+6000=20(x 10)2+8000.首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.由此得到，当 x=10 时，ymax=8000.即每间租金为 20+102=40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为 8000 元.3 分将函数模型的应用例
7、3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 skm 与时间 th 的函数解析式，并作出相应的图象.生：解答：（1）阴影部分的面积为501+801+901+751+651=360.阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360km.（2）根据图，有502004,01,80(1)2054,12,90(2)2134,23,75(3)2224,34,65(4)2299,45.ttttstttttt 这个函数的图象如图所示
8、.实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题简化假设数学建模解答模型检验模型评价与应用的进一步深体.巩固练习 课堂练习习题 1如果一辆汽车匀速行驶，1.5h 行驶路程为 90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车 3h所行驶的路程.习题 2已知某食品5kg 价格为 40 元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求 8kg 食品的价格是多少元.习题 3有 300m 长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面学生练习，师生点评.1设汽车行驶的时间为 t h，则汽车行驶的路程Skm与时间t h之间的函数关系为 S=v
9、t.当 t=1.5 时，S=90，则 v=60.因此所求的函数关系为 S=60t，当 t=3 时，S=180，所以汽车3h所行驶的路程为180km.2设食品的重量为 xkg，则食品的价格y元与重量xkg之间的函数关系式为y=8x，当 x=8 时，y=64，所以当 8kg 食品的价格为 64 元.3设矩形菜地与墙相对的一边长为xcm，则另一组对边的长为3002xm，从而矩形菜地的面积为：学 生 动 手 实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.积最大？习题 4某市一种出租车标价为 1.20 元/km，但事实上的收费标准如下：最开始 4km 内不管车行驶路程多少，均收费10 元(即起步费)，4k
10、m 后到 15km 之间，每公里收费 1.20 元，15km 后每公里再加收 50%，即每公里1.80 元.试写出付费总数 f与打车路程x之间的函数关系.21(300)21(150)11250(0300).2Sxxxx 当 x=150 时，Smax=11250.即当矩形的长为 150m，宽为 75m时，菜地的面积最大.4解：所求函数的关系式为 100410 1.2(4)41523.21.8(15)15xyxxxx 归纳小结 课堂小结 解决应用用问题的步骤：读题列式解答.学生总结，师生完善 使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程.布置作业 习题 23B 第 1、3 题：教材
11、第 71 页“思考与讨论”.学生练习 使学生巩固本节所学知识与方法.备选例题 例1 某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额 y 元与售出的门票数 x 张之间的函数关系是：3.75(0400)1.251000(400600)xxyxx（1）当 0 x400 时，由 3.75x=750，得 x=200.（2）当 400 x600 时，由 1.25x+1000=750，得 x=200(舍去).综合（1）和（2），盈利额为 750 元时，当天售出的门票数为 200 张.答：当天售出的门票数为 20
12、0 张时盈利额为 750 元.例 2 某个经营者把开始六个月试销 A、B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资 A 种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元)0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资 B 种商品金额(万元)1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元)0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入 12 万元经营这两种产品，但不知投入 A、B 两种商品各多少才最合算.请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).【解析】以投资额为横
13、坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y=a(x 4)2+2(a0)y=bx 把 x=1，y=0.65 代入式，得 0.65=a(1 4)2+2，解得 a=0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资 A 商品的金额的函数关系式可近似地用y=0.15(x 4)2+2表示，再把x=4，y=1代入式，得b=0.25，故前六个月所获利润关于月投资 B 种商品的金额的函数关系可近似地用 y=0.25x 表示.设下月投资 A 种商品 x 万元，则投资 B 种商品为(12 x)万元，可获纯利润 y=0.15(x 4)2+2+0.25(12 x)=0.15x2+0.95x+2.6，当0.952(0.15)x 3.2 时，2max4(0.15)2.60.954(0.15)y 4.1.故下月分别投资 A、B 两种商品 3.2 万元和 8.8 万元，可获最大纯利润 4.1 万元.【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意 y=x2变换到 y=a(x m)2+b 后发生的变化.