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1、试卷第 1 页，共 4 页 浙江省湖州中学 2021 学年第二学期高一第一次质量检测 数学试题 考生须知：1本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。3选择题的答案须用 2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。4非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答案写在本试题卷上无效。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知三点 A(1，
2、1)，B(0，2)，C(2，x)，若 A，B，C 三点共线，则 x（）A2 B2 C4 D4 2设a，b为非零向量，则“ab”是“a与b方向相同”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin:sin:sin2:4:5ABC=，则cos B=（）A1320 B3740 C516 D18 4给出下列命题：两个具有公共终点的向量一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若0a=（为实数），则 必为零；已知，为实数，若ab=，则a与b共线，其中错误命题的个数为（）A1 B2 C3
3、D4 5已知在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（）A3a=，4b=，6A=B4a=，3b=，3A=C1a=，2b=，4A=D2a=，3b=，23A=6在ABC中，a，b分别是角 A，B的对边，若coscosabBA=成立，那么ABC的形状是（）试卷第 2 页，共 4 页 A直角三角形 B等腰三角形 C等腰或直角三角形 D无法判断 7已知在锐角ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，3A=，则222bca+的取值范围是（）A5,34 B(0,3 C5,24 D5,23 8已知平面向量,a b，且|2,2aba b=，向量c满足|
4、22|cabab=，则|()c b R的最小值为（）A2 22 B2 32 C2 3 D2 32+二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 2 分.9下列命题中不正确的是（）A两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同 B若非零向量AB与CD共线，则 A、B、C、D四点共线 C若非零向量a 与b 共线，则ab=D四边形 ABCD 是平行四边形，则必有ABCD=10如图，在平行四边形ABCD中，已知,F E分别是靠近,C D的四等分点，则下列结论正确的是（）A12EFAB=B34AF
5、ABAD=+C34BEABAD=+D()()22916BE AFADAB=11三角形 ABC 中，角,A B C 的对边分别为,a b c，下列条件能判断 ABC 是钝角三角形的有（）A6,5,4abc=B2AB BCa=CsinsinsinabCcbAB=+D2222sinsin2cos cosbCcBbcBC+=12在ABC中，90A=，3AB=，4AC=，点D为线段AB上靠近A点的三等分点，E为CD的中点，则下列结论正确的是（）试卷第 3 页，共 4 页 A1162AEABAC=+BAE与EB的夹角的余弦值为1517 C152AE CD=DAED的面积为2 三、填空题：本题共 4 小题，
6、每小题 5 分，共 20 分.13已知向量()2,1a=，()1,bk=若()aba+，则k=_ 14在ABC中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C的对边，若222abcab+=，则C=_ 15已知轮船 A和轮船 B同时离开 C岛，A船沿北偏东 30的方向航行，B 船沿正北方向航行（如图）若 A船的航行速度为 40nmile/h，1h 后，B 船测得 A 船位于 B船的北偏东 45的方向上，则此时 A，B 两船相距_nmile 16已知ABC 中，1,ABtR=，且()1-tACtABAC+的最小值为22，则BA BC=_ 四、解答题:本题共 6 小题，17 题 10 分，其余小题 12
7、分，共 70 分.17已知点()1,1A，()2,1B(1)若 C 是线段 AB 的中点，求 C点坐标；(2)若直线 AB上的点 D 满足2ADBD=，求 D 点坐标 18在ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，coscos2 cosaBbAcB+=(1)求角B的大小；(2)ABC的面积为4 3，ABC的外接圆半径长为4 33，求a、b、c 19已知|3,|4ab=，且向量a与向量b的夹角23=,ea是同方向的单位向量.（1）求5(23)4(23)abbaa+；（2）求向量32ab+在向量a上的投影向量 试卷第 4 页，共 4 页 20ABC是边长为 3 的等边三角形，112BFBC=，
8、过点F作DFBC交AC边于点D，交BA的延长线于点E （1）当23=时，设BAa=，BCb=，用向量a，b表示EF；（2）当为何值时，AE FC取得最大值，并求出最大值 21北京 2022 年冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计如图，道路AB长为4百米，现在AB的同一侧设计四边形ABCD，C，D在以AB为直径的半圆上设COB=，（O为圆心）(1)若在四边形ABCD内种植花卉，且3COD=，当为何值时，花卉种植面积最大？(2)若为了景观错落有致，沿着BC，CD和DA设置景观花带，且BCCD=，则当为何值时，景观花带总
9、长L最长？并求L的最大值 22已知实数0，()cos,sina=，()0,1j=，若向量b满足()0abj+=，且0a b=.（1）若2ab=，求b；（2）若()()f xbx ab=+在1,2+上为增函数，求实数的取值范围.答案第 1 页，共 13 页 参考答案：1C【解析】【分析】根据向量共线定理的坐标表示进行求解即可.【详解】因为 A，B，C三点共线，所以/ABAC,又因为(1,1),(3,1)ABACx=，所以1 30 x=，解得：4x=.故选：C.2B【解析】【分析】根据向量共线性质判断即可.【详解】因为a，b为非零向量，所以ab时，a与b方向相同或相反，因此“ab”是“a与b方向相
10、同”的必要而不充分条件 故选：B 3A【解析】【分析】由正弦定理可得:sin:sin:sin2:4:5a b cABC=，利用余弦定理可求得cosB的值.【详解】因为:sin:sin:sin2:4:5a b cABC=，令2at=，4bt=，()50ct t=，则2222224251613cos22 2520acbtttBactt+=.故选：A.4C【解析】答案第 2 页，共 13 页【分析】根据平面向量的基本概念和共线定理，对选项中的命题判断真假性即可【详解】对于，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，错误；对于，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，但它们的模能比较大小，正确；对于，
11、0a=时(为实数），0=或0a=，错误；对于，若0=时，0ab=，此时a与b不一定共线，错误；综上，其中错误命题为，共 3 个 故选：C【点睛】本题考查了平面向量的基本概念与共线定理的应用问题，是基础题 5B【解析】【分析】利用正弦定理求出sinB的值，结合大边对大角定理可判断各选项.【详解】对于 A 选项，由正弦定理可得14sin22sinsin33bABAa=，且ba，故ABC有两解；对于 B 选项，由正弦定理可得33sin3 32sinsin48bABAa=，且ba，故ABC只有一解；对于 C 选项，由正弦定理可得22sin2sin211bABa=，故ABC无解；对于 D 选项，因为23
12、A=，则角A为ABC的最大内角，且ab，故ABC无解.故选：B.6C【解析】【分析】答案第 3 页，共 13 页 先利用正弦定理化简已知式为sin2sin2AB=，再结合范围得到AB=或2AB+=，即得结果.【详解】ABC中，coscosabBA=，则sinsincoscosABBA=，即sincossincosAABB=，所以sin2sin2AB=，而(),0,A B，则()2,20,2AB，所以22AB=或22AB+=，即AB=或2AB+=，所以ABC是等腰三角形或者直角三角形.故选：C.7D【解析】【分析】由正弦定理把,b c,222bca+表示为B的函数，然后利用二倍角公式，两角和与差
13、的余弦公式变形，并结合余弦函数性质得范围【详解】由正弦定理得sinsinsinabcABC=，则2 3sin3baB=，2 3sin3caC=，又3A=，则23CB=，所以2222242(sinsin)(1 cos21 cos2)33bcBCBCa+=+=+4224cos2cos(2)3333BB=422cos2cos(2)3333BB=+422 1342 1342cos2(cos2sin 2)(cos2sin 2)cos(2)333 2233 22333BBBBBB=+=+，62B，所以242333B+，所以11cos 232B+，所以222523bca+故选：D 8B【解析】【分析】答案第
14、 4 页，共 13 页 由题设可得,3a b=，又|2=ab，易知|2ab=，|2()|4 3a+b=，将问题转化为平面点线距离关系：向量2()a+b的终点为圆心，2 为半径的圆上的点到向量b所在射线的距离最短，即可求|()cbR的最小值.【详解】|2=ab，而|cos,2a ba ba b=，1cos,2a b=，又,0,a b，即,3a b=，|2()|2ca+bab=，|2()|4 3a+b=，如上图示，若,2(),OAa OBb OEab OCc=+=，则,2()BAab ECca+b=，C在以E为圆心，2 为半径的圆上，若ODb=，则DCcb=，问题转化为求C在圆E上哪一点时，使|D
15、C最小，又6EOD=，当且仅当,E C D三点共线且EDOD时，|DC最小为sin22(3 1)6OE=.故选：B.【点睛】关键点点睛：由已知确定a，b，ab构成等边三角形，即可将问题转化为圆上动点到射线的距离最短问题.9ABC【解析】答案第 5 页，共 13 页【分析】根据相等向量,相反向量,共线向量的概念逐一分析可得.【详解】A 中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以 A中命题不正确；B 中，向量AB与CD共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在同一条直线上，所以 B 中命题不正确；C中，向量a 与b 共线，说明a 与b方向相同或相反，a 与b不一定相等，所以 C中命题不正确；D中
16、，因为四边形 ABCD是平行四边形，所以AB与CD是相反向量，所以|ABCD=，所以 D 中命题正确.故选:ABC【点睛】本题考查了相等向量,相反向量,共线向量的概念,属于基础题.10AD【解析】【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】因为在平行四边形ABCD中，已知,F E分别是靠近,C D的四等分点，由1122EFDCAB=，所以 A 正确；由3344AFADABABAD=+=+，所以 B 不正确；由3344BEBCCEBCDCABAD=+=+，所以 C 不正确；由()()22339()()4416BE AFABADABADADAB=+=，所以
17、D 正确.故选：AD.11BC【解析】【分析】利用正余弦定理逐一判断即可 答案第 6 页，共 13 页【详解】A：由abc可知ABC，且2224136bca+=，所以A是锐角，故 A 不能判断；B：由cos2AB BCacBa=,得cos0B，则B为钝角，故 B 能判断；C：由正弦定理abccbab=+，得222bcabc+=，则1cos2A=，23A=，故 C 能判断；D：由正弦定理，条件等价于2222sinsinsinsinBCCB+=2sinsincoscosBCBC，则sinsincoscosBCBC=，即cos()0BC+=，故2BC+=，则2A=，故 D 不能判断.故选：BC 12
18、AC【解析】【分析】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示可判断 A 选项的正误，利用平面向量数量积的坐标运算可判断 BC选项的正误，利用三角形的面积公式可判断 D 选项的正误.【详解】在ABC中，90A=，3AB=，4AC=，故以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系如图所示，则()0,0A、()3,0B、()0,4C、()1,0D、1,22E，所以1,22AE=，()3,0AB=，()0,4AC=，5,22EB=，()1,4CD=.对于 A，因为()()111113,00,4,262622ABAC+=
19、+=，所以1162AEABAC=+，故选项 A 正确；答案第 7 页，共 13 页 对于 B，215112224AE EB=，172AE=，412EB=，所以AE与EB的夹角的余弦值为11114cos,1741174122AE EB=，故选项 B 错误；对于 C，1151 2 422AE CD=，故选项 C 正确；对于 D，AED的面积为111 2122AEDESADy=，故选项 D 错误 故选：AC 133【解析】【分析】运用向量的数量积为零可求解.【详解】由题可知()1,1abk+=+，由()aba+得2 10k+=，得3k=故答案为：3 143#60【解析】【分析】直接利用余弦定理计算可
20、得；【详解】解：因为222abcab+=，由余弦定理可得2221cos22abcCab+=，因为()0,C，所以3C=故答案为：3 1520 2【解析】【分析】利用正弦定理即可求出结果.答案第 8 页，共 13 页【详解】由题意30BCA=，18045135CBA=，40 140AC=，由正弦定理sinsinABACBCAABC=，即40sin30sin135AB=，解得20 2AB=故答案为：20 2 161【解析】【详解】ACAC表示AC方向上的单位向量,设1AD=,即()1tABt AD+,由于11tt+=,所以()1tABt AD+所得向量对应的点E在直线BD上,即,B D E三点共线
21、,如图所示,()1tABt AD+的最小值即AE的最小值为点A到直线BD的距离22AE=,所以ABD为等腰直角三角形.所以2BD=,在三角形BCD中,34BDC=,用余弦定理得22232cos4BCBDCDBDBC=+,由勾股定理得222BCABAC=+,解得1,5CDBC=,且1cos5ABABCBC=,所以1cos1515BA BCBABCABC=【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理,考查用向量表示三点共线的方法,考查勾股定理及余弦定理的具体应用,有一定的运算能力.解题的难点在于()1ACtABtAC+的几何意义,其答案第 9 页，共 13 页 中ACAC表示AC方向上的单位向量,转化为
22、()1tABt AD+可得其对应的点E和,B D是三点共线的,由此可求得最小值为点到直线的距离.17(1)1(,0)2C(2)1(1,)3D【解析】【分析】（1）C是线段AB的中点可得ACCB=，设出点C的坐标，计算出AC和CB的坐标，从而求出点C的坐标；（2）设出点D的坐标，计算出AD和BD的坐标，根据2ADBD=列方程，求出点D的坐标.(1)解：设(,)C x y，又()1,1A，()2,1B 则(1,1),(2,1)ACxyCBxy=+=，C是线段AB的中点，ACCB=，即1211xxyy+=，解得120 xy=，1(,0)2C(2)（2）设(,)D a b，又()1,1A，()2,1B
23、(1,1),(2,1)ADabBDab=+=+，2ADBD=，12(2)12(1)aabb+=+，解得113ab=，1(1,)3D.18(1)3B=答案第 10 页，共 13 页(2)4abc=【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得cosB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；（2）利用正弦定理可求得b的值，利用三角形的面积公式可得ac的值，结合余弦定理可求得a、c的值，即可得解.(1)解：由正弦定理得sincossincos2sincosABBACB+=，即()sin2sincosABCB+=，即()2sincossinsinCBCC=，()0,C，则sin0C，可得
24、1cos2B=，()0B,，3B=.(2)解：13sin4 324ABCSacBac=，可得16ac=，由正弦定理得8 3sin3bB=，所以，8 33432b=，由余弦定理2211622acac=+，所以，22acacac+=，可得ac=，所以，216aca=，则4ac=，因此，4abc=.19（1）24；（2）5e【解析】【分析】（1）利用向量的数量积公式，求解即可；（2）利用向量的投影向量公式转化求解即可【详解】解：5(23)4(23)abbaa+(27)aba=227aa b=22 97 3 4cos3=答案第 11 页，共 13 页 24=；（2）设与向量a方向相同的单位向量为e，则
25、|aea=向量32ab+在向量a上的投影为：222724cos(32)3235|3abaab aaa+=，所以向量ab+在向量a上的投影向量为5e 20（1）4233EFab=+；（2）34=，AE FC有最大值916【解析】【分析】（1）求出,BF BE，再利用减法法则得解；（2）求出2279922AE FC=+，再利用二次函数求解.【详解】解：（1）由题意可知：23BFb=，且2323BF=，4BE=，故4433BEBAa=，4233EFBFBEab=+（2）由题意，3BF=，33FC=，6BE=，63AE=，()()22796333cos60922AE FC=+，所以当27312,19
26、242=时，AE FC有最大值916 21(1)3=(2)当3=时，景观花带总长L最长，L的最大值为6百米【解析】【分析】（1）由三个三角形面积和得四边形面积，结合三角函数恒等变换、正弦函数的性质得最大答案第 12 页，共 13 页 值；（2）由余弦定理表示出,BC DA得景观花带总长L，利用二倍角公式、正弦函数性质、二次函数性质得最大值(1)（1）因为AB长为4百米，所以圆的半径为2百米，即2OAOBOCOD=，当3COD=时，ABCDBOCCODDOASSSS=+2221112 sin2 sin2 sin22323=+22 3sin3 063=+又5666+，所以当62+=，即3=时，()
27、max3 3ABCDS=，即当3=时，花卉种植面积最大(2)因为BCCD=，所以CODBOC=，且0,2，由余弦定理得22222 2 2cos4sin2BC=+=，22222 2 2 cos 24cosDA=+=，所以8sin4cos2L=+02，所以2218sin4 12sin8 sin62222L=+，所以当1sin22=，即3=时，L取得最大值6即当3=时，景观花带总长L最长，L的最大值为6百米 22（1）3b=；（2）30,44.【解析】【分析】（1）设出b的坐标，结合0a b=、2ab=、()0abj+=，解方程，先求得的值，再求得b的坐标.（2）利用向量模的运算、数量积的运算化简(
28、)fx表达式，结合二次函数的性质列不等式，解不等式求得b的取值范围.设出b的坐标，结合()0abj+=、0a b=，解方程，用答案第 13 页，共 13 页 表示出2b，根据b的取值范围列不等式，解不等式求得cos的取值范围，进而求得的取值范围.【详解】（1）设()00,bxy=，则()00cos,sinbxay=+，0a b=，由2ab=得()24ab=，得2224aa bb+=，得21 04b+=，得3b=，（2）()()()1f xbx abxax b=+=+()()2222121x axbxx a b=+()()2222222112xxbbxb xb=+=+，()fx在1,2+上为增函数，所以对称轴()222122 1bb+，即1b，设()00,bxy=，则()00cos,sinbxay=+，又()0abj+=，且0a b=，0siny=，20sincosx=.22222020sinsin1cosxby=+=+，即22sincos，21cos2，22,11,22cos，30,44.【点睛】本小题主要考查平面向量数量积、模的运算，考查根据三角函数的取值范围求角的取值范围，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.