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1、试卷第 1页，共 4 页龙岩一中 2021-2022 学年第一学期第二次月考高二实验班数学试卷（考试时间：120 分钟总分 150 分）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1 已知双曲线C：2219 27xy的两个焦点分别为1F，2F，双曲线C上有一点P，若17PF，则2PF（）A 25B 13C 1 或 13D 11 或 252设M是圆P：22236xy上的一动点，定点 0,2Q，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（）A 22195xyB 22159xyC 2213632xyD 22132 3
2、6xy3“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了 300多年.如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数 1，3，6，10，构成数列na，记na为该数列的第n项，则63a（）A 2016B 4032C 2020D 40404 现有 16 张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多 1 张，则不同的取法种数为（）A 484B 472C 252D 2325 已知椭圆C的中心为O，一个焦点为F，A在C上，若AOF是正三角形，则C的离心率为（）A 32B 22C 12D 3
3、16 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为223xy，若将军从点3,1A处出发，河岸线所在直线方程为5x y，并假定将军只要到达军营所在区域即试卷第 2 页，共 4 页回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A 10 3B 10C 253D 257 已知在等差数列na中，23a，611a，数列nb的通项1log 1(1)nanbaa，nS是数列nb的前n项和，若log1nanTa，则nS与nT
4、的大小关系是（）A nnSTB nnSTC nnSTD nnST8 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左 右焦点分别为1F，2F，实轴长为4，点M在C的左支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为N，则当2|MFMN取最小值12时，该双曲线的渐近线方程为（）A 14yxB yx C 2yx D 4yx 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有错选的得 0 分，部分选对的得 2 分。9 关于62xx的展开式，则（）A 所有项的二项式系数和为 128B 所有项系数和为 1C 常数项为 70
5、D 二项式系数最大的项为第 4 项10已知圆 22:11Mx ay aa R，则（）A 圆M可能过原点B 圆心M在直线1 0 x y 上C 圆M与直线1 0 x y 相切D 圆M被直线0 x y 截得的弦长等于211已知(1,2)A，(3,4)B，(2,0)C，则（）A 直线0 x y 与线段AB有公共点B 直线AB的倾斜角大于135C ABC的边BC上的中垂线所在直线的方程为2y D ABC的边BC上的高所在直线的方程为47 0 xy 12已知数列na满足：110a，25a，*22nnaan N，则下列说法正确的有（）A 数列na是等差数列B*27 2kakk N C*2 1122kakk
6、ND 118 3nna an 试卷第 3 页，共 4 页三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13直线 3 x 2 y 5 0 的一个法向量为,2aa，则实数 a _14西湖龙井茶素来有“绿茶皇后”“十大名茶之首”的称号，按照产地品质不同，西湖龙井茶可以分为“狮、龙、云、虎、梅”五个字号某茶文化活动给西湖龙井茶留出了三个展台的位置，现在从五个字号的产品中任意选择三个字号的茶参加展出活动，如果三个字号中有“狮、梅”，则“狮”字号茶要排在“梅”字号茶前（不一定相邻），则不同的展出方法有_种（用数字作答）15已知点11,Axy，22,Bx y，cos,sinC，满足212121
7、1yyxx，2221214x xyy，则ABC面积的最大值是_.16数列na满足15211211,1,9nnnaaaaa，则100a _.四、解答题：本题共 6 题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17在112nnaa，116nnaa，18nnaan 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：设nS是数列na的前 n 项和，且14a，_，求na的通项公式，并判断nS是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由18已知数列na的前 n 项和为nS，且233nnSa*n N（1）求数列na的通项公式；（2）若3lognnnnbaa，求数列nb的前 n 项
8、和nT19已知抛物线2:20C ypx p的焦点为F，点0(,4)M x在C上，且52pMF（1）求点M的坐标及C的方程；（2）设动直线l与C相交于,AB两点，且直线MA与MB的斜率互为倒数，试问直线l是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由试卷第 4 页，共 4 页20 已知椭圆E：22221xyab（0a b）的左、右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆上运动，1 2PF F面积的最大值为3，左顶点为A，上顶点为B，3tan2BAO（1）求椭圆E的方程；（2）过点2F的直线l与椭圆E相交于M，N两点，若OQ OM ON ，求四边形MONQ面积的最大值及此时直线l的方程21 如图，已
9、知椭圆221:14xCy的左、右顶点为1A，2A，上、下顶点为1B，2B，记四边形1 1 2 2ABAB的内切圆为2C.（1）求圆2C的标准方程；（2）已知圆2C的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆1C于 P，M两点.（i）求证：OP OM；（ii）试探究2211OP OM是否为定值.22已知点 15,0F，25,0F，00,Px y，且124PF PF.（1）求点 P的轨迹方程 C；（2）若点 2,0Q，过点12,k 且斜率为0kk 的直线交 C于 A，B（异于点 Q）两点，记直线 AQ，BQ 的斜率分别为1k，2k，证明：存在R，满足1211kkk.答案第 1 页，共 4 页龙岩一中 202
10、1-2022学年第一学期第二次月考参考答案1 B 2 B3 A4 B5 D6 C7 B8 D9 BD10ABD11BD12BC1361451152515161199.17解：选：因为112nnaa，14a，所以na是首项为 4，公比为12的等比数列所以1311422nnna 当n为奇数时，141281113212nnnS，因为81132n随着n的增大而减小，所以此时nS的最大值为14S；当n为偶数时，141281113212nnnS，且81814323nnS，综上，nS存在最大值，且最大值为 4 选：因为116nnaa，14a，所以na是首项为 4，公差为16的等差数列所以 112541666
11、nann ，由于125066n，得25n，所以nS存在最大值，且最大值为25S或24S，因为25252414 255026S，所以nS的最大值为 50选：因为18nnaan，所以18nnaan，所以217aa ，326a a ，19nnaan，所以211122179117 1622nnnnnnnnnaaaaaaaa ，又14a，所以217 242nnna，当16n 时，0na，故nS不存在最大值18解：（1）当1n 时，1112233Saa，解得13a，当2n 时，11233nnSa，则112223333nnnnnSSaaa，即13nnaa，又10a，则0na，13nnaa（常数），故na是以
12、13a为首项，以 3 为公比的等比数列，数列na的通项公式为3nna*n N（2）由（1）可得：3log3nnnnnnbana，231 231 2 33 333nnnTn ，答案第 2 页，共 4 页设231 233 333nnnP ，则2341112333333nnnP 23111 111133 3333nnnnP 111111 233 3132 2 313nnnnn，13 1 233 232 2 2 34 4 3nnnnnP，又21 2 32n nn ，2113 23224 4 3nnnTnn*n N19（1）抛物线2:2C ypx的准线：2px ，于是得0522ppMF x ，解得02x
13、p，而点M在C上，即2164 p，解得2p ，又0p，则2p，所以M的坐标为 4,4，C的方程为24yx.（2）设 1122,Axy Bx y，直线l的方程为x myn，由24x mynyx消去 x 并整理得：2440ymy n，则2160mn，124y ym，1 24y yn，因此，121222121212444444144444444MAMByyyykkyyxxyy，化简得1 21240y yy y，即4nm，代入l方程得4x my m，即40 x m y，则直线l过定点0,4，所以直线l过定点0,4.20解：（1）依题意可得：1232cb，3tan2bBAOa，且222ab c，由可得：
14、3cb，23ba，222ab c，则解得：23b，24a，21c，所以椭圆E的方程为22143xy（2）由（1）可知 21,0F，所以由题设MN不与x轴重合，所以设MN：1x my，联立方程组：221431xyx my，化简得：22(34)69 0mymy 设11,M xy，22,N x y，所以22 3636(34)0mm，且122634my ym，122934y ym ，所以22212121 222226361()4()123434(3 4)mmy yy yy ymmm 因为OQ OM ON ，所以四边形MONQ为平行四边形，设四边形MONQ面积为S，答案第 3 页，共 4 页则21222
15、1212(3 4)MONmSSy ym，令21tm（1t），则2211212121(31)96 196ttSttttt 因为当13t，函数1()96fttt 单调递增，所以当1t 时，()ft有最小值(1)16f，此时S有最大值max3S，此时0m，所以直线l的方程为1x 21（1）因为2A，1B分别为椭圆221:14xCy的右顶点和上顶点，则2A，1B坐标分别为(2,0),(0,1)，可得直线2 1AB的方程为：22xy则原点 O到直线2 1AB的距离为22251 2d，则圆2C的半径25r d，故圆2C的标准方程为2245xy.（2）（i）可设切线 1122:(0),ly kx bkPxy
16、 M x y，将直线PM的方程代入椭圆1C可得222121 04k xkbx b，由韦达定理得：12221 22214114kbx xkbx xk 则 22221 2121 21221414kby ykxb kxbkx x kb x xbk，又l与圆2C相切，可知原点 O到l的距离22|251bdk，整理得22514kb，则21 22114by yk，所以1 21 20OPOM x xy y，故OP OM.（ii）由OP OM知1|2OPMSOPOM，当直线OP的斜率不存在时，显然|1,|2OPOM，此时221154OP OM；当直线OP的斜率存在时，设直线OP的方程为：1y k x代入椭圆方
17、程可得22 2114xkx，则22141 4xk，故 21222221214111 4kOPxyk xk，答案第 4 页，共 4 页同理 22112221114141411 4kkOMkk，则 22112222111 4411544141kkOPOMkk.综上可知：221154OP OM为定值.22（1）由题意可得点 P的轨迹为双曲线的右支，且2,5ac，所以221bca，所以点 P的轨迹方程 C为22104xyx.（2）存在4，满足1211kkk，设直线AB：12y kxk，则 221214y kxkxy，消去y可得2222211424304k xkxkk，22222211421 44330kkkkk ，解得33k，设 1122,Axy Bx y，则222121 22214342,1144kkkx xx xkk，因为点 2,0Q，则1 22 1121212121 22221 1x y xyy yxxk kyyy y1221121211222241122x kxx kxkx xkkkkxkxkk 121 221 2121224281244x xkxxkkkk x xx xx xk2441kkk，所以存在4，满足1211kkk.