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1、人教版九年级数学上册第一次月考试卷（含答案）（时间：120 分钟 满分：100 分）一、选择题（每题 2 分，共 24 分）1下列命题中，假命题是（）A平行四边形的两组对边分别相等 B矩形的对角线相等 C两组对边分别相等四边形是平行四边形 D对角线相等的四边形是矩形 2下列说法正确的是（）A有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B对角线互相平分的四边形是矩形 C有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 D对角互补的平行四边形是矩形 3矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3 和 5 两部分，则该矩形的周长是（）A16 B22 或 16 C26 D22 或 26 4一元二次方程 x（x2）=2x 的根是
2、（）Ax=2 Bx1=0，x2=2 Cx1=2，x2=1 Dx=1 5三角形两边长分别为 6 和 5，第三边是方程 x26x+8=0 的解，则这个三角形的周长是（）A15 或 13 B15 C15 或 17 D13 6 关于x的方程（3m2+1）x2+2mx1=0 的一个根是1，则m 的值是（）A0 B C D0 或，7用配方法解方程 x2+4x=2 下列配方正确的是（）A（x+4）2=14 B（x+2）2=6 C（x+2）2=2 D（x2）2=2 8顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）平行四边形；菱形；等腰梯形；对角线互相垂直的四边形 A B C D 9
3、某公司今年一月产值 200 万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产值就达到了 1400 万元设这个百分数为 x，则可列方程为（）A200（1+x）2=1400 B200+200（1+x）+200（1+x）2=1400 C1400（1x）2=200 D200（1+x）3=1400 10在一个不透明的口袋中，装有 5 个红球 3 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为（）A B C D 11有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A x（x1）=45 B x
4、（x+1）=45 Cx（x1）=45 D x（x+1）=45 12 如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE=AB，将矩形沿直线 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处，连接 BP 交EF 于点 Q，对于下列结论：EF=2BE；PF=2PE；FQ=4EQ；PBF是等边三角形其中正确的是（）A B C D 二、填空题（每空 4 分，共 16 分）13 已知 m 是关于 x 的方程 x22x3=0 的一个根，则 2m24m=14一只袋中装有三只完全相同的小球，三只小球上分别标有 1，2，3，第一次从袋中摸出一只小球，把这只小球的标号数字记作一次函数
5、y=kx+b 中的 k，然后放回袋中搅匀后，再摸出一只小球，把这只小球的标号数字记作一次函数 y=kx+b 中的 b则一次函数 y=kx+b的图象经过一，二，三象限的概率 15如图，沿矩形 ABCD 的对角线折叠，先折出折痕 AC，再折叠 AB，使 AB 落在对角线 AC 上，折痕 AE，若 AD=8，AB=6则 BE=16如图，已知四边形 ABCD 是边长为 4cm 的菱形，BAD=60，对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 的直线 EF 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，当EOD=30时，CE 的长是 三、解答题（21-22 每题 7 分，23-24 每题 8 分，25-27
6、 每题 10 分，共 60 分）17 先化简，再求代数式的值，其中 x=tan60 18如图，在 88 的方格纸中每个小正方形的边长均为 l，线段 AB的端点在小正方形的顶点上，（所画图形顶点必须在小正方形的顶点上）（1）在图 1 中画一个以 AB 为边的四边形 ABCD 是中心对称图形，且四边形面积是 12；（2）在图 2 中画一个以 AB 为边的四边形 ABMN 是轴对称图形，且只有一个角是直角，面积为 15 19 松雷中学九年级某班学生李明为帮助同桌张华巩固“坐标”这一基础知识，他在三张完全相同且不透明的卡片正面分别写上了3，0，2 三个数字，背面向上洗匀后随机抽取一张，将卡片上的数字记
7、为 a，然后放回，再从中随机取出一张，将卡片上的数字记为 b，然后写出点 M（a，b）的坐标（1）请你用树状图帮该同学进行分析，并写出点 M 所有可能的坐标；（2）求点 M 在第二象限的概率 20在菱形 ABCD 中，P、Q 分别是边 BC、CD 的中点，连接 AP、AQ （1）如图（1），求证：AP=AQ；（2）如图（2），连接 PQ，若B=60，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有余弦值为的角 21“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场顺风车行经营的 A 型车 2015 年 6 月份销售总额为 3.2 万元，今
8、年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400 元，若今年 6 月份与去年 6月份卖出的 A 型车数量相同，则今年 6 月份 A 型车销售总额将比去年6 月份销售总额增加 25%（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；（2）该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A、B 两种型号车的进货和销售价格如表：A 型车 B 型车 进货价格（元/辆）1100 1400 销售价格（元/辆）今年的销售价格 2400 22AB 是O 的直径，C 是O 上任意一点，连接 AC
9、、BC，直径 DEBC 于 F（1）如图 1，求证：AD=CE；（2）如图 2，取 CE 中点 M，连接 MF 并延长，交 OB 于点 N，连接 EN 求证：ENOB；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 AE 交 BC 于点 H，若 DF=2EF，CE=6，求 AH 的长 23如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+2x+c 的图象与 x轴分别交于 A、B 两点，其中点 B 在点 A 的右侧，点 A 的坐标（1，0），抛物线与 y 轴交于点 C（1）求二次函数解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 y 轴平行线，交直线 BC 于点 E，设点 P 的横坐标为 t，线段 PE 的
10、长度为 d（d0），求 d 与 t 之间的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将射线 PE 绕点 P 顺时针旋转 45，交抛物线于点 Q，当 PQ：PE=2：3 时，求 t 的值 答 案 一、选择题 1下列命题中，假命题是（）A平行四边形的两组对边分别相等 B矩形的对角线相等 C两组对边分别相等四边形是平行四边形 D对角线相等的四边形是矩形【考点】命题与定理【分析】利用平行四边形的判定、矩形的性质及矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：A、平行四边形的两组对边分别相等，正确，是真命题；B、矩形的对角线相等，正确，是真命题；C、两组对边分别相等的
11、四边形是平行四边形，正确，是真命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，2下列说法正确的是（）A有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B对角线互相平分的四边形是矩形 C有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 D对角互补的平行四边形是矩形【考点】矩形的判定【分析】利用矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：A、有一组对角是直角的平行四边形一定是矩形，故错误，不符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误，不符合题意；C、有一组邻角是直角的四边形也可能是直角梯形，故错误，不符合题意；D、对角互补的平行四边形是矩形，正确，符合题意，故选 D 3矩形的一内角平分线把
12、矩形的一条边分成 3 和 5 两部分，则该矩形的周长是（）A16 B22 或 16 C26 D22 或 26【考点】矩形的性质【分析】根据矩形性质得出 AD=BC，AB=CD，ADBC，求出 AE=AB，分为当 AE=3 或 AE=5 两种情况，求出即可【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，AB=CD，ADBC，AEB=EBC，BE 平分ABC，ABE=EBC，AEB=ABE，AE=AB，当 AE=3，DE=5 时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=3，即矩形 ABCD 的周长是 AD+AB+BC+CD=8+3+8+3=22；当 AE=5，DE=3 时，AD=BC=3+5=
13、8，AB=CD=AE=5，即矩形 ABCD 的周长是 AD+AB+BC+CD=8+5+8+5=26；即矩形的周长是 22 或 26，故选 D 4一元二次方程 x（x2）=2x 的根是（）Ax=2 Bx1=0，x2=2 Cx1=2，x2=1 Dx=1【考点】解一元二次方程因式分解法【分析】先移项得到 x（x2）+（x2）=0，然后利用因式分解法解方程【解答】解：x（x2）+（x2）=0，（x2）（x+1）=0，x2=0 或 x+1=0，所以 x1=2，x2=1 故选 C 5三角形两边长分别为 6 和 5，第三边是方程 x26x+8=0 的解，则这个三角形的周长是（）A15 或 13 B15 C1
14、5 或 17 D13【考点】解一元二次方程因式分解法；三角形三边关系【分析】先利用因式分解法解方程 x26x+8=0 得到 x1=2，x2=4，再利用三角形三边的关系得到三角形第三边为 2 或 4，然后计算三角形的周长【解答】解：（x2）（x4）=0，x2=0 或 x4=0，所以 x1=2，x2=4，当三角形第三边为 2 时，这个三角形的周长为 2+6+5=13，当三角形第三边为 4 时，这个三角形的周长为 4+6+5=15 故选 A 6 关于x的方程（3m2+1）x2+2mx1=0 的一个根是1，则m 的值是（）A0 B C D0 或，【考点】一元二次方程的解【分析】一元二次方程的根就是能够
15、使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立【解答】解：把 1 代入方程得 3m2+1+2m1=0，解得 m=0 或，故选：D 7用配方法解方程 x2+4x=2 下列配方正确的是（）A（x+4）2=14 B（x+2）2=6 C（x+2）2=2 D（x2）2=2【考点】解一元二次方程配方法【分析】两边配上一次项系数一半的平方即可得【解答】解：x2+4x=2，x2+4x+4=2+4，即（x+2）2=2，故选：C 8顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）平行四边形；菱形；等腰梯形；对角线互相垂直的四边形 A B C D【考点】矩形的判定；三角
16、形中位线定理【分析】连接平行四边形各边的中点得平行四边形；连接菱形、对角线互相垂直的四边形，各边的中点得矩形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推得；连接等腰梯形各边的中点得菱形【解答】解：由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推得是矩形；根据四条边形等的四边形为菱形得是菱形 故选 D 9某公司今年一月产值 200 万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产值就达到了 1400 万元设这个百分数为 x，则可列方程为（）A200（1+x）2=1400 B200+200（1+x）+200（
17、1+x）2=1400 C1400（1x）2=200 D200（1+x）3=1400【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】三年的总产值=今年的产值+明年的产值+后年的产值，要明确每一年的产值的表达式根据此等量关系列方程求解即可【解答】解：设这个百分数为 x，则有 200+200（1+x）+200（1+x）2=1400 故选 C 10在一个不透明的口袋中，装有 5 个红球 3 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为（）A B C D 【考点】概率公式【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率【解答】解：在一个不透明的口袋中，装有 5 个红球 3 个白球
18、，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为=故选 D 11有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A x（x1）=45 B x（x+1）=45 Cx（x1）=45 D x（x+1）=45【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】先列出 x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x1）场，再根据题意列出方程为 x（x1）=45【解答】解：有 x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛场数为 x（x1），共比赛了 45 场，x（x1）=45，故选 A 12 如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边
19、 AB，BC 上，且 AE=AB，将矩形沿直线 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处，连接 BP 交EF 于点 Q，对于下列结论：EF=2BE；PF=2PE；FQ=4EQ；PBF是等边三角形其中正确的是（）A B C D【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质【分析】求出 BE=2AE，根据翻折的性质可得 PE=BE，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出APE=30，然后求出AEP=60，再根据翻折的性质求出BEF=60，根据直角三角形两锐角互余求出EFB=30，然后根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 EF=2BE，判断出正确；利用 30角的
20、正切值求出 PF=PE，判断出错误；求出 BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出错误；求出PBF=PFB=60，然后得到PBF 是等边三角形，判断出正确【解答】解：AE=AB，BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，APE=30，AEP=9030=60，BEF=60，EFB=9060=30，EF=2BE，故正确；BE=PE，EF=2PE，EFPF，PF2PE，故错误；由翻折可知 EFPB，EBQ=EFB=30，BE=2EQ，EF=2BE，FQ=3EQ，故错误；由翻折的性质，EFB=EFP=30，BFP=30+30=60，PBF=90EBQ=9030=60，PBF=PFB=6
21、0，PBF 是等边三角形，故正确；综上所述，结论正确的是 故选：D 二、填空题 13 已知m是关于x的方程x22x3=0的一个根，则2m24m=6 【考点】一元二次方程的解【分析】根据 m 是关于 x 的方程 x22x3=0 的一个根，通过变形可以得到 2m24m 值，本题得以解决【解答】解：m 是关于 x 的方程 x22x3=0 的一个根，m22m3=0，m22m=3，2m24m=6，故答案为：6 14一只袋中装有三只完全相同的小球，三只小球上分别标有 1，2，3，第一次从袋中摸出一只小球，把这只小球的标号数字记作一次函数 y=kx+b 中的 k，然后放回袋中搅匀后，再摸出一只小球，把这只小
22、球的标号数字记作一次函数 y=kx+b 中的 b则一次函数 y=kx+b的图象经过一，二，三象限的概率 【考点】列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系【分析】画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再出 k0，b0的结果数，然后根据一次函数的性质和概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中 k0，b0 的结果数为 4，所以一次函数 y=kx+b 的图象经过一，二，三象限的概率=故答案为 15如图，沿矩形 ABCD 的对角线折叠，先折出折痕 AC，再折叠 AB，使 AB 落在对角线 AC 上，折痕 AE，若 AD=8，AB=6则 BE=3 【考点】翻折变换（折叠问题
23、）；矩形的性质【分析】如答图所示 AB 沿 AE 折叠后点 B 的对应点为 F利用勾股定理列式求出 AC，设 BE=x，表示出 CE，根据翻折的性质可得 BE=EF，AF=AB，再求出 CF，然后利用勾股定理列方程求出 x 即可【解答】解：如图所示：AB 沿 AE 折叠后点 B 的对应点为 F 由勾股定理得，AC=10 设 BE=x，则 CE=8x 由翻折的性质得：BE=EF=x，AF=AB=6，所以 CF=106=4 在 RtCEF 中，由勾股定理得，EF2+CF2=CE2，即 x2+42=（8x）2，解得 x=3，即 BE=3 故答案为：3 16如图，已知四边形 ABCD 是边长为 4cm
24、 的菱形，BAD=60，对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 的直线 EF 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，当EOD=30时，CE 的长是 【考点】菱形的性质【分析】根据菱形的对角线平分一组对角求出DAO=30，然后求出AEF=90，然后求出 AO 的长，再求出 EF 的长，然后在 RtCEF 中，利用勾股定理列式计算即可得解【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，BAD=60，DAO=BAD=60=30，EOD=30，AOE=9030=60，AEF=180DAOAOE=1803060=90，菱形的边长为 4，DAO=30，OD=AD=4=2，AO=2，AE=CF=2=3，菱形的
25、边长为 4，BAD=60，高 EF=4=2，在 RtCEF 中，CE=，故答案为：三、解答题（21-22 每题 7 分，23-24 每题 8 分，25-27 每题 10 分，共 60 分）17 先化简，再求代数式的值，其中 x=tan60【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子，本题得以解决【解答】解：=，当 x=tan60=时，原式=18如图，在 88 的方格纸中每个小正方形的边长均为 l，线段 AB的端点在小正方形的顶点上，（所画图形顶点必须在小正方形的顶点上）（1）在图 1 中画一个以 AB 为边的四边形
26、 ABCD 是中心对称图形，且四边形面积是 12；（2）在图 2 中画一个以 AB 为边的四边形 ABMN 是轴对称图形，且只有一个角是直角，面积为 15 【考点】作图旋转变换；作图轴对称变换【分析】（1）根据平行四边形的底边为 4，高为 3，进行画图；（2）以 AB 为直角边、点 A 为直角顶点构建等腰直角三角形，再依据轴对称图形且面积为 15 可得【解答】解：（1）如图所示，ABCD 即为所求；（2）如图 2，四边形 ABMN 即为所求四边形；19 松雷中学九年级某班学生李明为帮助同桌张华巩固“坐标”这一基础知识，他在三张完全相同且不透明的卡片正面分别写上了3，0，2 三个数字，背面向上洗
27、匀后随机抽取一张，将卡片上的数字记为 a，然后放回，再从中随机取出一张，将卡片上的数字记为 b，然后写出点 M（a，b）的坐标（1）请你用树状图帮该同学进行分析，并写出点 M 所有可能的坐标；（2）求点 M 在第二象限的概率【考点】列表法与树状图法；点的坐标【分析】（1）根据题意先画出树状图，再写出可能出现的结果数；（2）根据第二象限点的坐标特征找出点 M 在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解即可【解答】解：（1）根据题意画树状图如下：共有 9 种等可能的结果数，它们是（3，3）、（3，0）、（3，2）、（0，3）、（0，0）、（0，2）、（2，3）、（2，0）、（2，2）；（2）根据（1
28、）可得：只有（3，2）在第二象限，所以点 M 在第二象限的概率是 20在菱形 ABCD 中，P、Q 分别是边 BC、CD 的中点，连接 AP、AQ （1）如图（1），求证：AP=AQ；（2）如图（2），连接 PQ，若B=60，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有余弦值为的角【考点】菱形的性质；三角形中位线定理；解直角三角形【分析】（1）证明 AP 和 AQ 所在的ABP 和ADQ 全等即可；（2）由特殊角的锐角三角函数可知余弦值为的角为 30，所以求出图形中为 30的角即可【解答】解：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC=CD=AD，B=D，P、Q 分别是边 BC、CD
29、的中点，BP=CQ，在ABP 和ADQ 中，ABPADQ（SAS），AP=AQ，（2）因为B=60，所以可求出BAP=DAQ=30，CPQ=CQP=30，即BAP，DAQ，CPQ，CQP 余弦值为 21“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场顺风车行经营的 A 型车 2015 年 6 月份销售总额为 3.2 万元，今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400 元，若今年 6 月份与去年 6月份卖出的 A 型车数量相同，则今年 6 月份 A 型车销售总额将比去年6 月份销售总额增加 25%（1）求今年6月份A型车每辆
30、销售价多少元（用列方程的方法解答）；（2）该车行计划 7 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A、B 两种型号车的进货和销售价格如表：A 型车 B 型车 进货价格（元/辆）1100 1400 销售价格（元/辆）今年的销售价格 2400【考点】一次函数的应用；分式方程的应用【分析】（1）设去年 A 型车每辆 x 元，那么今年每辆（x+400）元，列出方程即可解决问题（2）设今年 7 月份进 A 型车 m 辆，则 B 型车（50m）辆，获得的总利润为 y 元，先求出 m 的范围，构建一次函数，利用函数性质
31、解决问题【解答】解：（1）设去年 A 型车每辆 x 元，那么今年每辆（x+400）元，根据题意得，解之得 x=1600，经检验，x=1600 是方程的解 答：今年 A 型车每辆 2000 元（2）设今年 7 月份进 A 型车 m 辆，则 B 型车（50m）辆，获得的总利润为 y 元，根据题意得 50m2m 解之得 m，y=m+（50m）=100m+50000，y 随 m 的增大而减小，当 m=17 时，可以获得最大利润 答：进货方案是 A 型车 17 辆，B 型车 33 辆 22AB 是O 的直径，C 是O 上任意一点，连接 AC、BC，直径 DEBC 于 F（1）如图 1，求证：AD=CE；
32、（2）如图 2，取 CE 中点 M，连接 MF 并延长，交 OB 于点 N，连接 EN 求证：ENOB；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 AE 交 BC 于点 H，若 DF=2EF，CE=6，求 AH 的长 【考点】圆的综合题【分析】（1）如图 1 中，连接 CD只要证明 ACDE，推出ACD=CDE，得=即可（2）如图 2 中，连接 EB只要证明BEFEBN，即可推出EFB=ENB=90（3）如图 3 中，连接 EB、CD、AF首先证明四边形 ACEF 是平行四边形，推出 AH=HE，求出 AE 即可解决问题【解答】（1）证明：如图 1 中，连接 CD AB 是直径，ACB=90，DE
33、BC 于 F，DFB=ACB=90，ACDE，ACD=CDE，=，AD=CE（2）证明：如图 2 中，连接 EB 在 RtEFC 中，CM=ME，FM=CM=ME，MCF=MFC=BFN，OEBC，=，EBC=ECB=BFN，FNEB，OB=OE，OEB=OBE，OFN=OEB，ONF=OBE，OFN=ONF，OF=ON，EF=NB，在BEF 和EBN 中，BEFEBN，EFB=ENB=90，ENAB（3）解：如图 3 中，连接 EB、CD、AF DE 是直径，DCE=90=CFE，CEF=CED，CEFDEC，=，设 EF=a，则 DF=2a，DE=3a（a0）36=12a2，a=2，EF=
34、2，OE=OD=3，OF=，OA=OB，CF=FB，AC=2OF=2，AC=EF，ACEF，四边形 ACEF 是平行四边形，AH=HE，在 RtAEB 中，AB=6，EC=EB=6，AE=6，AH=AE=3 23如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+2x+c 的图象与 x轴分别交于 A、B 两点，其中点 B 在点 A 的右侧，点 A 的坐标（1，0），抛物线与 y 轴交于点 C（1）求二次函数解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过 P 作 y 轴平行线，交直线 BC 于点 E，设点 P 的横坐标为 t，线段 PE 的长度为 d（d0），求 d 与 t 之间的函数关系式，并直接写出自变量
35、 t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将射线 PE 绕点 P 顺时针旋转 45，交抛物线于点 Q，当 PQ：PE=2：3 时，求 t 的值 【考点】二次函数综合题【分析】（1）利用待定系数法，把点 A 坐标代入抛物线的解析式解方程即可（2）首先求出直线 BC 的解析式，设 P（t，t2+2t+3），则 E（t，t+3），分三种情形当 t0 时，d=t+3（t2+2t+3）=t23t 0t3 时，d=t2+2t+3（t+3）=t2+3t t3 时，d=t+3（t2+2t+3）=t23t分别求解即可（3）分两种情形讨论）如图 1 中，当 t0 时，由题意 PQ=PE=（t23t），想办法用 t
36、 表示 Q 点坐标，利用待定系数法即可解决问题如图 2 中，当 0t3 时，方法类似【解答】解：（1）把 A（1，0）代入 y=x2+2x+c 得 0=12+c，c=3，二次函数的解析式为 y=x2+2x+3（2）对于抛物线 y=x2+2x+3，令 y=0，得x2+2x+3=0，解得 x=1或 3，A（1，0），B（3，0），C（0，3），直线 BC 的解析式为 y=x+3，设 P（t，t2+2t+3），则 E（t，t+3），当 t0 时，d=t+3（t2+2t+3）=t23t 0t3 时，d=t2+2t+3（t+3）=t2+3t t3 时，d=t+3（t2+2t+3）=t23t （3）如图
37、1 中，当 t0 时，由题意 PQ=PE=（t23t），EPQ=45，P（t，t2+2t+3），点 Q 是横坐标为 t+（t23t）=t2t，点 Q 的纵坐标为t2+2t+3+（t23t）=t2+3，Q（t2t，t2+3），把点 Q 坐标代入 y=x2+2x+3，得 t2+3=（t2t）2+2（t2t）+3，整理得 2t36t23t+9=0，2t2（t3）3（t3）=0，（t3）（2t23）=0，t=或或 3，t0，t=如图 2 中，当 0t3 时，同法可得 Q（t2t，t2+3），把点 Q 坐标代入 y=x2+2x+3，得 t2+3=（t2t）2+2（t2t）+3，整理得 2t36t23t+9=0，2t2（t3）3（t3）=0，（t3）（2t23）=0，t=或或 3，0t3，t=当 t3 时，射线 PQ 与抛物线没有交点 综上所述，在（2）的条件下，将射线 PE 绕点 P 顺时针旋转 45，交抛物线于点 Q，当 PQ：PE=2：3 时，t=