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1、ACADAB654321012345株洲市 2023 届高三年级教学质量统一检测（一）数学 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合240Ax xx=+，集合21,Bn nkkZ=，则AB=（）A.3,1 B.1,3 C.1,1 D.3,1,1,3 2.已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足23z ii=+，则在复平面内 z 对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知四边形 ABCD 是平行四边形，3AEEB=，若ECaABbAD=+（a，bR），则ab+=（）A.12 B.
2、34 C.54 D.32 4.已知三棱锥ABCD的侧面展开图放在正方形网格中的位置如图所示，那么在三棱锥ABCD中，AB 与 CD 所成的角为 A.6 B.3 C.4 D.2 5.在平面直角坐标系中，已知两点()0,0O，()3,4A到直线 l 的距离分别是 1 与 4，则满足条件的直线 l 共有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 6.今年 11 月，为预防新冠疫情蔓延，株洲市有1M，2M，3M三个小区被隔离；从菜市场 M 出发的专车必须每天准时到这 3 个小区运送蔬菜，以解决小区居民的日常生活问题.M，1M，2M，3M之间的行车距离用表中的数字表示.若专车从 M 出发，每个小区
3、经过且只经过一次，然后再返回 M，那么专车行驶的最短距离是（）M 1M 2M 3M M 0 7 6 3 1M 7 0 5 4 2M 6 5 0 8 3M 3 4 8 0 A.17 B.18 C.23 D.25 7.已知曲线1xy=为双曲线，则该双曲线的焦距为（）A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 8.已知0.1ae=，1110b=，101.9c=，则（）A.cba B.bac C.abc D.acb 二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.）9.已知各项均为正数的等差
4、数列 na，且1nnaa+，则（）A.3746aaaa+=+B.3746aaaa C.数列21na+是等差数列 D.数列2na是等比数列 10.关于函数()cossinfxxax=+（0a）有以下四个选项，正确的是（）A.对任意的 a，()fx都不是偶函数 B.存在 a，使()fx是奇函数 C.存在 a，使()()fxfx+=D.若()fx的图像关于4x=对称，则1a=11.已知三棱锥ABCD的所有棱长均相等，其外接球的球心为 O.点 E 满足AEAB=（01），过点 E 作平行于 AC 和 BD 的平面，分别与棱 BC，CD，AD 相交于点 F，G，H，则（）A.当12=时，平面经过球心 O
5、 B.四边形 EFGH 的周长随的变化而变化 C.当23=时，四棱锥AEFGH的体积取得最大值 D.设四棱锥OEFGH的体积为()V（12），则()()1VV=12.已知sin15是函数()43243210f xa xa xa xa xa=+（43210,a a a a aZ，40a）的零点，则下列说法正确的是（）A.4016aa=B.()cos150f=C.()()fxfx=D.()min3fx=三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13.在()4211xxx+的展开式中，常数项等于_.（用数字作答）14.已知()sinfxx=（N+），若在区间0,2上存在两个不相等
6、的实数 a，b，满足()()2f af b+=，则可以为_.（填一个值即可）15.过原点的直线 l 与曲线1xye=交于不同的两点 A，B，过 A，B 作 x 轴的垂线，与曲线lnyx=交于 C，D 两点，则直线 CD 的斜率为_.ABCD图(2)图(1)BDCOACBAD16.已知椭圆 C：22221xyab+=（0ab）的左右焦点为1F，2Fl，过1F的直线交椭圆 C 于P，Q 两点，若1143PFFQ=，且212PFFF=，则椭圆 C 的离心率为_.四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD中
7、，90DABDCB=，60ABC=，2 3AB=，4AD=.（）求cosDBC的值；（）求 AC 的长度.18.（本小题满分 12 分）2023 年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为 A、B 两档，当预定 A 档未成功时，系统自动进入 B 档预定已知获得 A 档门票的概率是15，若未成功，仍有14的概率获得 B档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概率均为12，且获得每张门票之间互不影响.甲预定了一张 A 档开幕式 2 门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票.（）求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；（）求乙获得的门票数比甲多的概率 1
8、9.（本小题满分 12 分）如图（1），已知菱形 ABCD 中60DAB=，沿对角线 BD 将其翻折，使90ABC=，设此时 AC 的中点为 O，如图（2）.（）求证：点 O 是点 D 在平面 ABC 上的射影；（）求直线 AD 与平面 BCD 所成角的余弦值.20.（本小题满分 12 分）数列 na满足13a=，212nnnaaa+=，21nbna=+.（）求证：nb是等比数列；（）若1nnncb=+，nc的前 n 项和为nT，求满足100nT 的最大整数 n.21.（本小题满分 12 分）已知曲线 M：24xy=与曲线 N 关于直线yx=对称，且123A A A的顶点在曲线 N 上.（）若123A A A为正三角形，且其中一个顶点为坐标原点，求此时该三角形的面积；（）若123A A A三边所在的三条直线中，有两条与曲线 M 相切，求证第三条直线也与曲线 M 相切.22.（本小题满分 12 分）已知函数()21328xf xaex=有两个极值点1x，2x（12xx）.（）若()10fx=，求 a 的值；（）若212xx，求 a 的取值范围.