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1、 第 1 页 共 8 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2021 年 1 月测试 理科数学试卷（一卷）参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C D D A A A D B B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1322,0 1414 15()863+1623 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 22、23 题为选考题，考生
2、根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17解：（1）()()2313sincoscossin2cos2122f xx xxxx=+=+1sin 262x+.2 分 由222=T，解得2=，所以函数()2164sin+=xxf.3 分 因为247,12x，所以34646+x，所以232164sin231+x，即函数()xf在247,12x上的值域是23,231.5 分 第 2 页 共 8 页 （2）由题意得()2652sin+=xxg.7 分 因为()1mxg成立的充分条件是1250 x，所以当50,12x时，()()11g xmg x+恒成立，所以只需()()maxmin11g xmg x+
3、，转化为求()xg的最大值与最小值.9 分 当125,0 x时，+35,65652x，所以()()()maxmin1502,121223g xgg xg=+=+=，从而()()maxmin31,122g xg x=+=，即223 m.所以m的取值范围是2,23.12 分 18解：（1）证明：过点A在平面ADE内做DE的垂线，垂足为P 因为平面ADE 平面CDEF，平面ADE 平面CDEFDE=，所以AP 平面CDEF，所以APCD2 分 又因为四边形ABCD是正方形，所以CDAD.3 分 90EDA，又AADAP=，从而CD 平面ADE，而CD平面ABCD，所以平面ADE 平面ABCD.5 分
4、（2）在平面ADE内，过点E作AD垂线，垂足为M，与（1）同理得，EM 平面ABCD，过F作EMFH/，交平面ABCD于H，连接CH FH平面ABCD，CH是FC在平面ABCD内的射影 FCH为CF与平面ABCD所成角,CD平面,ADE ED 平面,ADECDED，即90=EDC.7 分 第 3 页 共 8 页 由2,2,1CDABEDEF=，得5CF=.8 分 CF与平面ABCD所成角的正弦值为155，所以15535FH=.9 分 因为/,EFCD EF 平面,ABCD CD 平面ABCD，所以/EF平面ABCD，所以3EMFH=，又2ED=，所以60EDA=，从而ADE是正三角形，可得：3
5、232221=ADES.10 分 因为CD 平面,/ADE EFCD，所以EF 平面ADE，所以这个多面体的体积 33513313431=+=+=ADEFABCDFVVV三棱锥四棱锥.12 分 19解：（1）111aS=得112a=.1 分()()111111nnnnnnnaSSaaaa+=，所以nnaa211=+，可得 na为等比数列，所以1111222nnna=.3 分()112211222nnnnTSaSaSaaa+nnnan2112221221+=+=+.6 分（2）因为1nnnnncSTaT=+=+，由（1）代入可得：nncnnn22112211=+=.8 分，()1nRn n=+.
6、9 分()()()()()222222222221211211121111nnnnnnTnRnnnnnnnn+=+，第 4 页 共 8 页 所以()122222121111111nnTTTRRRn+)，则kaBFkaAF=2,2211，在1AFB中，由余弦定理得()()()()()222432222 2225kakakakak=+，整理得222390aakk=，解得ka3=.2 分 所以,3,5,411kABkBFkAF=所以1290F AF=，在12Rt AFF中，2212221FFAFAF=+，即()()()222422kkc+=，解得5ck=.3 分 又因为1 21 2222AF FBF
7、 FSAFSF B=，故1 21 21 2212112,42422AF FBF FAF FSSSAFAFkkk=，故244k=，即1,5,3,2,kcab=所以椭圆C的方程是22194xy+=.5 分（2）由()=+=149122yxxky得()22249189360k xk xk+=设()()2211,yxNyxM，则有()2212121212222189368,2494949kkkxxx xyyk xxkkk+=+=+=+.7 分 所以线段MN的中点坐标为+222944,949kkkk，则线段MN的垂直平分线方程为+=+2229491944kkxkkky，令,0=x则2945kky+=，于
8、是线段MN的垂直平分线与y轴的交点+2945,0kkQ，又点()kP,0，第 5 页 共 8 页 所以()2229419945kkkkkkPQ+=+=.9 分 又()()22221294211241kkkxxkMN+=+=，于是()()11138113821381321822222242222+=+=+=+=kkkkkkkkkkkkPQMN，因为1,2k，所以+23,20911122kk，所以PQMN的取值范围为364554，.12 分 21解：（1）()xeaxfax212=，则()212112=eeafa2 分 当1=x时，()111=eaefa，所以切点坐标为()1,1e，则切线方程为(
9、)1112yexe+，即y=1122ex4 分（2）()xexaxeaxfaxax2122122=，记()()221,0,axg xaxeag x=在()0,+单调递增，记()()01xxp xeexpxeex=，当1x时，()()x,pxp0单调递增；当10 x时，()()x,pxp0aeg，又()()010,gg x=，存在唯一正根t，使得：()0g t=，且在()0,t上()0 xg，在()0,xt时，第 6 页 共 8 页 ()0fx，且()0ft=，即()fx存在唯一正根t，故()xf定有极小值点0 xt=.8 分 由()00g x=，可知()0020001210,2axaxg xa
10、x eaea x=，又()axf xaex=存在零点1212,()x x xx，()00000001 21022axaxf xaexxa xa x=，01322220102121212axxa ea eaea=，可得3102aex时，()()0rx,r x单调递增；当0 x时，()()0rx,r x+=，,0a()3101022exxx x+，2220101xxxx+()22230101xxxx+xx12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号 22解：（1）由参数方程2+2cos1+2sinxy=，可得1C的普通方
11、程为()()22212xy+=.4 分（2）()()22212xy+=，令0y=，第 7 页 共 8 页 可得：()()21,0,21,0AB+.5 分 因为,P Q两点在圆O：221xy+=上，所以设()()cos,sin,cos,sinPQ，则()()()22cos21sin422221 cosPA=+=()()2212cos.7 分 同理可得，PB=()()22+12cos所以21=2121PAPB=+.9 分 同理可得，1=2+121QBQA=，所以+=2 2PAQBPBQA为定值.12 分 23解：（1）()33,15,1233,2xxf xxxxx+=+1 分 当1x 时，334x+，可得：1,13xx .2 分 当12x 时，54x+，可得：111xx +，第 8 页 共 8 页 而()124f xxx=+33,15,1233,2xxxxxx+=+，可得最小值为 3，当且仅当2x=时取到，综上可知，对任意xR有不等式()23f xabc+恒成立.10 分