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1、 1/19 2020 北京人大附中高二（上）期末 数 学 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（5 分）复数 za+i（iR）的实部是虚部的 2 倍，则 a 的值为（）A B C2 D2 2（5 分）已知向量（1，2，1），（1，0，4），则+2（）A（1，2，9）B（1，4，5）C（1，2，7）D（1，4，9）3（5 分）若 a0，则不等式a 等价于（）A0 x Bx0 Cx Dx或 x0 4（5 分）已知等差数列an满足 4a33a2，则an中一定为零的项是（）Aa6 Ba8 Ca10 Da12 5（5 分）
2、设曲线 C 是双曲线，则“曲线 C 的方程为 x21”是“曲线 C的离心率为 2”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6（5 分）已知 x，y0且 x+y4，则下面结论正确的是（）Axy 的最大值是 4 Bxy 的最小值是 4 Cx，y，x+y Dx，y，x+y2 7（5 分）某企业为激励员工创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司 2020 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该企业全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是（）A2022 年 B2023 年 C2024 年 D2025 年 2/1
3、9 8（5 分）在棱长为 2的正方体 ABCDA1B1C1D1中，若点 P 是棱上一点（含顶点），则满足的点P 的个数为（）A6 B8 C12 D24 二、填空（本大题共 6小题，每小题 5 分，共 30 分）9（5 分）已知双曲线1，（a0）的左焦点是（2，0），则 a 的值为 10（5 分）已知复数 z满足 z（1+i）24i，那么 z 11（5 分）已知数列an满足，且 a515，则 a8 12（5 分）设 a，b，c是任意实数，能够说明“若 cba且 ac0，则 abac”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为 13（5 分）已知三角棱 OABC，M，N 分别是对边 OA，BC 的
4、中点，点 G在 MN 上，且 MN2GN，设，则 （用基底（，）表示）14（5 分）如图，曲线 C1：y24x（y0）和曲线 C2：x24y（x0）在第一象限的交点为 C，已知 A（1，0），B（0，1），直线 x+ym，m（0，8）分别与 C1和 C2交于 M，N 两点，且 M，N，A，B 不共线以下关于四边形 ABMN 描述中：m（0，8），四边形 ABMN 的对角线 AMBN；m（0，8），四边形 ABMN为正方形；m（0，8），使得|MN|其中所有正确结论的序号是：3/19 三、解答题（本大题共 3 小题，共 30 分.解答应写出文字说明过程或演算步骤.）15（8 分）在等比数列an中
5、，a21，a58，nN*（）求数列an的通项公式；（）设数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn100，求 n的最大值 16（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，ABPA1，F 是 PB 的中点，E 为 BC 上一点（）求证：AF平面 PBC；（）若 BE，求直线 PB 和直线 DE 所成角的余弦值；（）当 BE 为何值时，直线 DE 与平面 AFC 所成角为 45？17（10 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的离心率为，过 C 的左焦点作 x 轴的垂线交 C 与 P、Q两点，且|PQ|1 4/19（）求椭圆 C 的标准方程；（）椭圆 C 的
6、短轴的上下端点分别为 A，B，点 M（m，），满足 m0，且 m，若直线 AM，BM 分别与椭圆 C 交于 E，F 两点，试判断：是否存在点 M，使得ABF 的面积与BOE 的面积相等？若存在，求 m的值：若不存在，说明理由 二、不定项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分在每小题列出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的）18（6 分）不等式组的解集记为 D，下列四个命题中真命题是（）A（x，y）D，x+2y2 B（x，y）D，x+2y2 C（x，y）D，x+2y3 D（x，y）D，x+2y1 19（6 分）已知 a、bR，“ab”是“2a3b”的（）A充分而不必要条
7、件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 20（6 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是对角线 AC1上一动点，在点 P 从顶点 A 移动到顶点 C1的过程中，下列结论中正确的有（）A二面角 PA1DB1的取值范围是0，B直线 AC1与平面 A1DP所成的角逐渐增大 C存在一个位置，使得 AC1平面 A1DP D存在一个位置，使得平面 A1DP平面 B1CD1 二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，）21（6 分）若复数 z满足：z22az+a2+40，且|z|，则实数 a 5/19 22（6 分）已知集合 Ax|xa330+
8、a231+a132+a033，其中 ak0，1，2，k0，1，2，3，将集合 A中的元素从小到大排列得到数列bn，设bn的前 n项和为 Sn，则 b3 ，S15 23（6 分）曲线 C 是平面内与三个顶点 F1（1，0），F2（1，0）和 F3（0，1）的距离的和等于 2的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线 C 关于 x 轴、y 轴均对称；曲线 C 上存在一点 P，使得|PF3|；若点 P 在曲线 C 上，则F1PF2的面积最大值是 1 其中所有真命题的序号是：6/19 2020 北京人大附中高二（上）期末数学 参考答案 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分在每小题列出
9、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1【答案】D【分析】直接利用复数的基本概念求解【解答】解：复数 za+i（iR）的实部是虚部的 2 倍，a2 故选：D【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题 2【答案】A【分析】利用向量坐标运算性质即可得出【解答】解：+2（1，2，1）+2（1，0，4）（1，2，9）故选：A【点评】本题考查了向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3【答案】D【分析】根据a 可得，再结合 a0得到其等价形式即可【解答】解：a0，当a 时，有 x（ax1）0 x或 x0 故选：D【点评】本题考查了分式不等式的解法，属基础题 4【答案】A【分析】利用通项
10、公式即可得出 7/19【解答】解：设等差数列an的公差为 d，4a33a2，4（a1+2d）3（a1+d），可得：a1+5d0，a60，则an中一定为零的项是 a6 故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 5【答案】A【分析】根据双曲线的离心率结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若曲线 C 的方程为 x21，则 a21，b23，c2a2+b21+34，即 c2，所以双曲线 C 的离心率 e2，所以曲线 C 的方程为 x21”是“曲线 C 的离心率为 2”的充分条件，若曲线 C 的离心率为 2，则 e2，所以 b23a2，当 a22，b
11、212，曲线 C 的方程为，所以曲线 C 的方程为 x21”是“曲线 C 的离心率为 2”不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的渐近线的性质是解决本题的关键 8/19 6【答案】A【分析】结合基本不等式即可判断各选项【解答】解：因为 x，y0 且 x+y4，由基本不等式可得 xy4，当且仅当 xy2 时取等号，即 xy的最大值 4，根据基本不等式可得，x，y0 时，都有 x+y 故选：A【点评】本题主要考查了基本不等式的简单应用，属于基础试题 7【答案】C【分析】设 n 年开始超过 200 万元，则 130（1+12%）n2020200，解出 n 即可【
12、解答】解：设 n 年开始超过 200 万元，则 130（1+12%）n2020200，（n2020）lg1.12lg2lg1.3，n2020，n2023.8，从 2024 年开始超过 200 万元，故选：C【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题 8【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，则点 A（2，0，0），C1（0，2，2），考虑 P 在上底面的棱上，设点 P 的坐标为（x，y，2），则由题意可得 0 x2，0y2，计算x22x+y22y（x1）2+（y1）221，即可得出结论【解答】解：如图所示：以点 D为原点，以 DA 所在的直线为 x 轴，以 DC 所在的直线为 y 轴，以 D
13、D1所在的直线为 z轴，建立空间直角坐标系 则点 A（2，0，0），C1（0，2，2），考虑 P 在上底面的棱上，设点 P 的坐标为（x，y，2），则由题意可得0 x2，0y2（2x，y，2），（x，2y，0），9/19 x（2x）y（2y）+0 x22x+y22y（x1）2+（y1）221，点 P 是棱上一点（含顶点），（x1）2+（y1）21 与正方形 A1B1C1D1切于 4 个点，同理 P 在右侧面的棱上，也有 4 个点，下底面中 P（2，1，0），（0，1，0）（2，1，2）1，P（0，1，0），（2，1，0）（0，1，2）1，内侧面，P（0，0，1），（2，0，1）（0，2，1）1
14、，P（0，2，1），（2，2，1）（0，0，1）1，满足的点 P 的个数为 12 故选：C 【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题 二、填空（本大题共 6小题，每小题 5 分，共 30 分）9【答案】见试题解答内容【分析】本题根据可得 c24，b23，再根据 a2b2+c2即可计算出结果【解答】解：由题意，可知 c2，即 c24 b23，a2b2+c23+47 a 故答案是：10/19【点评】本题主要考查椭圆的基础知识及基本计算本题属基础题 10【答案】见试题解答内容【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解
15、答】解：由 z（1+i）24i，得 故答案为：13i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题 11【答案】见试题解答内容【分析】利用递推关系式，通过累积法求解即可【解答】解：数列an满足，可得，可得 a8a524 故答案为：24【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力 12【答案】见试题解答内容【分析】根据不等式的关系判断出 a0，c0，b 任意，利用特殊值法进行判断即可【解答】解：若 cba 且 ac0，则 a0，c0，b 任意，则取 a1，b0，c1，则满足条件，但 abac不成立，故答案为：1，0，1【点评】本题主要考查命题的真假判断，利用特殊值法是
16、解决本题的关键比较基础 13【答案】见试题解答内容 11/19【分析】可画出图形，根据条件可知 G为 MN 的中点，然后连接 ON，从而可得出，根据 M，N 是边 OA，BC 的中点即可用表示出【解答】解：如图，点 G在 MN 上，且 MN2GN，G为 MN 的中点，连接 ON，且 M，N 分别是对边 OA，BC 的中点，则：故答案为：【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题 14【答案】见试题解答内容【分析】A（1，0），B（0，1），可得|AB|，kAB1两点 A，B 关于直线 yx 对称直线 MN 方程为：x+ym，m（0，8），斜率 k
17、MN1，且 M，N，A，B 不共线MNAB由曲线 C1：y24x（y0）和曲线 C2：x24y（x0），可得：两条曲线关于直线 yx 对称可得四边形 ABMN 为等腰梯形或矩形即可判断出正确联立，解得 M 坐标，得出点 M 到直线 yx 的距离 d，可得|MN|2d|m+44|，进而判断出是否正确【解答】解；A（1，0），B（0，1），|AB|，kAB1两点 A，B 关于直线 yx 对称 直线 MN方程为：x+ym，m（0，8），斜率 kMN1，且 M，N，A，B 不共线 12/19 MNAB 由曲线 C1：y24x（y0）和曲线 C2：x24y（x0），可得：两条曲线关于直线 yx 对称 可
18、得四边形 ABMN 为等腰梯形或矩形 因此m（0，8），四边形 ABMN 的对角线 AMBN，正确；联立，解得 xMm+22，yM22，点 M 到直线 yx 的距离 d，|MN|2d|m+44|，令|MN|AB|，可得：|m+44|1，解得：m3，可得 M（1，2），kMB1，MBAB|MA|AB|，因此m（0，8），四边形 ABMN 为正方形 因此正确 令|MN|m+44|，无解 因此不存在 m（0，8），使得|MN|其中所有正确结论的序号是：【点评】本题考查了抛物线的图象与性质、图象的对称性、方程的解法，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共 3 小题，共
19、 30 分.解答应写出文字说明过程或演算步骤.）15【答案】见试题解答内容【分析】（I）由已知结合等比数控的性质可求公比 q，然后结合通项公式即可求解；（II）结合等比数列的通项公式，即可求解 n【解答】解：（I）因为 a21，a58，所以 q38，故 q2，13/19 an2n2，（II）Sn100，则 2n201，由于 27128，28256 满足条件的 n7【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于中档试题 16【答案】见试题解答内容【分析】（）推导出 BCAB，BCPA，从而 BC平面 PAB，进而 BCAF，推导出 AFPB，由此能证明AF平面 PBC（）以
20、A 为原点，AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 PB 和直线 DE 所成角的余弦值（）求出平面 AFC 的法向量，利用向量法能求出 BE【解答】解：（）证明：在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，BCAB，BCPA，ABBCB，BC平面 PAB，AF平面 PAB，BCAF，ABPA1，F 是 PB的中点，AFPB，BCPBB，AF平面 PBC（）解：以 A 为原点，AD 为 x 轴，AB 为 y 轴，AP 为 z轴，建立空间直角坐标系，BE，P（0，0，1），B（0，1，0），D（1，0，0），E（，1
21、，0），（0，1，1），（，1，0），设直线 PB 和直线 DE 所成角为，14/19 则 cos 直线 PB和直线 DE 所成角的余弦值为（）解：设 BEt，（0t1），则 E（t，1，0），F（0，），C（1，1，0），（0，），（1，1，0），（1t，1，0），设平面 AFC 的法向量（x，y，z），则，取 x1，得（1，1，1），直线 DE 与平面 AFC 所成角为 45，sin45，由 0t1，解得 t，BE 【点评】本题考查考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 17【答案】见试题解答内容【
22、分析】（）由题可知，点 P 的坐标为，代入椭圆中，再结合离心率为和 a2b2+c2，即可求得椭圆标准方程；（）由 A、M 两点的坐标写出直线 AE 的方程，由 B、M 两点的坐标写出直线 BF 的方程，再分别与椭圆联立解出 x 的值即可得到 xE和 xF，然后结合ABF 的面积与BOE 的面积相等，列出关于 m的方程，解之即可 15/19【解答】解：（）过 C 的左焦点作 x 轴的垂线交 C 与 P、Q两点，且|PQ|1，不妨设点 P 的坐标为，代入椭圆方程有，又离心率为，且 a2b2+c2，a24，b21，故椭圆方程为（）由 A（0，1）和 M（m，）可知直线 AE 的方程为，与椭圆联立得，
23、解得 x0 或，同理可得，直线 BF 的方程为，ABF 的面积与BOE 的面积相等，解得 故存在点 M 符合题意，此时【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是由椭圆与直线联立得出点 E、F 的横坐标，考查了学生分析问题的能力和运算能力，属于中档题 二、不定项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分在每小题列出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的）18【答案】AB【分析】作出不等式组的表示的区域 D，对四个选项逐一分析即可【解答】解：作出图形如下：16/19 由图知，区域 D为直线 x+y1与 x2y4 相交的上部角型区域，A：区域 D在 x+2y2 区域的上方
24、，故：（x，y）D，x+2y2 成立；B：在直线 x+2y2 的右上方和区域 D重叠的区域内，（x，y）D，x+2y2，故 p2：（x，y）D，x+2y2正确；C：由图知，区域 D有部分在直线 x+2y3 的上方，因此 p3：（x，y）D，x+2y3 错误；D：x+2y1 的区域（左下方的虚线区域）恒在区域 D下方，故 p4：（x，y）D，x+2y1 错误；故选：AB【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题 19【答案】D【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若 a3，b2，则满足“2a3b”，但 ab 不成
25、立，即必要性不成立，若 a3，b2，满足 ab，但“2a3b”不成立，即充分性不成立，故，“ab”是“2a3b”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键 20【答案】ACD【分析】点 P 由 A 点移动到 AC1中点的过程中，二面角 PA1DB1逐渐由 90减小至 0，再由对称性即可判断A 选项；找特殊点，令点 P 分别与点 A 和点 C1重合，找出相应位置的线面角，并比较二者大小即可判断 B 选项；17/19 当点 P 为平面 A1BD与直线 AC1的交点时，根据空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理可判断 CD选项【解
26、答】解：对于 A，当 P 与 A 重合时，二面角 AA1DB1为 90，点 P 由 A 点移动到 AC1中点的过程中，二面角 PA1DB1逐渐减小至 0，由对称性可知，当 P 由 AC1中点移动到点 C1的过程中，二面角 PA1DB1由 0 逐渐增大至 90，即 A 正确；对于 B，当点 P 与 A 重合时，C1AD1即为所求，此时有 tanC1AD1，当 P 与 C1重合时，连接 AD1，A1D相交于点 M，则AC1M 即为所求，此时有 tanAC1M，所以AC1MC1AD1，即直线 AC1与平面 A1DP所成的角并不是逐渐增大，所以 B 错误；对于 C，当点 P 为平面 A1BD 与直线
27、AC1的交点时，连接 AD1，则 A1DAD1，又因为 C1D1平面 ADD1A1，A1D平面 ADD1A1，所以 A1DC1D1，又 C1D1AD1D1，所以 A1D平面 AC1D1，所以 AC1A1D同理可得，AC1A1B 因为 A1DA1BA1，A1D平面 A1DP，A1B平面 A1DP，所以 AC1平面 A1DP，即 C 正确；对于 D，当点 P 为平面 A1BD 与直线 AC1的交点时，因为 BDB1D1，BD平面 B1CD1，B1D1平面 B1CD1，所以 BD平面 B1CD1，同理可得，A1B平面 B1CD1，又因为 BDA1BB，BD平面 A1DP，A1B平面 A1DP，所以平
28、面 A1DP平面B1CD1，即 D正确 18/19 故选：ACD【点评】本题考查空间立体几何的综合问题，包含二面角、线面角与线面位置关系等，知识面比较广，考查学生空间立体感和推理论证能力，属于中档题 二、填空题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，）21【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，设 zx+yi（x，yR）是 z22az+a2+40的一个根，由复数的性质可得 xyiz22az+a2+40的另外一个根，进而可得 z a2+45，解可得 a 的值，即可得答案【解答】解：设 zx+yi（x，yR）是 z22az+a2+40 的一个根，则 xyi 是 z22az+a2+40
29、的另外一个根，则有 z a2+45，即 a21，解可得 a1；故答案为：1【点评】本题考查复数的计算，涉及复数方程的解法，属于基础题 22【答案】见试题解答内容【分析】由题意可知 a0，a1，a2，a3有 3 种取法（均可取 0，1，2），判断求解 b3，求出数列的各项，判断数列的特征，利用数列求和即可求得 A 中 S15之和【解答】解：由题意可知，则 b3030+031+032+233 集合 Ax|xa31+a2+a1+a0，其中 ak0，1，2，k0，1，2，3，将集合 A 中的元素从小到大排列得到数列bn，前 15 项：0，：S150+故答案为：；19/19【点评】本题考查数列的求和，数
30、列的项的求法，以及集合的表示方法，考查转化思想的应用，属于难题 23【答案】见试题解答内容【分析】设曲线 C 上任意一点坐标为 P（x，y），从而得出轨迹方程在中，用x，y 分别代替 x，y即可判断；若|PF3|，则2 即可判断；满足条件的所有点 P 都应该在椭圆 D：内（含边界），找出曲线 C 和椭圆 D的唯一公共点（0，1），即可判断【解答】解：设曲线上任意一点 P 的坐标为（x，y），则，用x，y 分别代替 x，y，可知曲线 C 只关于 y 轴对称，不关于 x 轴对称，即错误；若存在点 P 使得|PF3|，则2，三角形两边之和小于第三边，所以不存在，即错误；，所有的点 P 都应该在椭圆 D：内（含边界）曲线 C 与椭圆 D有唯一公共点 A（0，1），此时三角形面积最大，为 1即正确 故答案为：【点评】本题考查曲线的轨迹方程及其性质，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，属于中档题