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1、-1-重庆市一中 2018-2019 学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1.已知集合4,30Ax xBx x，则AB （）A.4x x B.43xx C.34xx D.34x xx 或【答案】A【解析】【分析】解出集合A、B，再利用集合的交集运算规律可得出集合AB。【详解】444Ax xxx，303Bx xx x，4ABx x，故选：A。【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键在于集合并集运算律的应用，在处理无限集之间的运算时，可以利用数轴来强化理解，考查计算能力，属于基
2、础题。2.双曲线2214xy的离心率为（）A.12 B.22 C.32 D.52【答案】D【解析】【分析】从双曲线的标准方程中得出a、c，即可求出双曲线的离心率cea。【详解】由题意可知，2a，1b，225cab，因此，双曲线的离心率为-2-52cea，故选：D。【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，在利用双曲线的方程求双曲线的离心率时，应将双曲线的方程化为标准式，从方程中得出a和c，意在考查学生对双曲线标准方程的理解和掌握，属于基础题。3.“是第二象限的角”是“是钝角”的（）条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】利用举特例来判断两条件之间
3、的充分必要性关系。【详解】取480，则是第二象限角，但不是钝角，若是钝角，则是第二象限角，因此，“是第二象限的角”是“是钝角”的必要不充分条件，故选：B。【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为集合间的关系来进行判断，其关系如下：（1）AB，则“xA”是“xB”的充分不必要条件；（2）AB，则“xA”是“xB”的必要不充分条件；（3）AB，则“xA”是“xB”的充要条件；（4）,AB BA，则“xA”是“xB”的既不充分也不必要条件。4.下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是 （）A.3yx B.cosyx C.xye D.1yx【答案】D -3-【解析】【分析】根据幂函数和
4、指数函数和三角函数的奇偶性，以及单调性得到结果.【详解】3yx是奇函数，故 A 排除；xye是非奇非偶函数，C 排除；cosyx是偶函数，但在0,上有增也有减，B 排除，只有 D 正确.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性以及单调性的判断，属于基础题.5.若cos2sin11sincos，则tan（）A.35 B.43 C.45 D.34【答案】B【解析】【分析】在分式cos2sinsincos的分子分母中同时除以cos，将等式转化为有关tan的方程，可解出tan的值。【详 解】由 题 意 可 知，cos2sincos2sin1 2tancos11sincossincostan1c
5、os，解 得4tan3，故选：B。【点睛】本题考查正弦、余弦分式齐次式求值问题，关键是通过除法运算结合弦化切思想求解，是常考题型，属于基础题。6.函数2()2lnf xxx的单调递增区间是（）A.(0,1 B.1,)C.(,1,(0,1 D.1,0),(0,1【答案】A -4-【解析】【分析】先求出函数 yf x的定义域，求导，然后解不等式 0fx可得出所求的单调递增区间。【详解】函数 yf x的定义域为0,，22 122xfxxxx，0 x，解不等式 0fx，即210 x，解得01x，所以，函数 yf x的单调递增区间为0,1，故选：A。【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，解题时注意导
6、数符号与函数单调区间之间的关系，再者就是求出导数不等式的解集后必须与定义域取交集才行，考查计算能力，属于中等题。7.已知13logxe(其中e为自然对数的底)，sin12y，lg3z，则（）A.xyz B.xzy C.zxy D.yxz【答案】B【解析】【分析】先将三个数与零进行大小比较，确定三个数的正负，再将两个正数与1进行大小比较，从而可得出三个数x、y、z的大小关系。【详解】函数13logyx在其定义域上是增函数，则1133loglog 10 xe，函数2xy 在其定义域上是增函数，且sin10，sin10221y，函数lgyx在其定义域是增函数，则lg1lg3lg10，即01z，因此，
7、xzy，故选：B。【点睛】本题考查比较数的大小，考查指数函数与对数函数的单调性，这类问题一般采用中间值0、1建立大小关系并结合不等式的传递性来得出数的大小关系，是常考题型，属于中等题。-5-8.已知函数()ln1f xxmx的极大值为1，则实数m的值为（）A.1 B.1 C.e D.1e（其中e为自然对数的底）【答案】C【解析】【分析】对函数 yf x求导，求方程 0fx的根，讨论函数 yf x的单调性，得出极大值点，求出极大值，即可得出m的值。【详解】函数 yf x的定义域为0,，11mxfxmxx.由于函数 yf x有极大值，则0m，令 0fx，得1xm，则10m，0m.当10 xm时，0
8、fx；当1xm时，0fx.所以，函数 yf x在1xm处取得极大值，且极大值为11ln1fmm，解得me.故选：C。【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，利用导数取出极值点后，还要讨论函数在该点左右附近的单调性，确定导数极值点的属性，考查运算求解能力，属于中等题。9.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 -6-【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥PABCD，在四棱锥PABCD中，2,2,2,1PDADCDAB，由勾股定理可知：2 2,2
9、2,3,5PAPCPBBC，则在四棱锥中，直角三角形有：,PADPCDPAB共三个，故选 C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.10.已知201911,0()2log,0 xxf xx x，若存在三个不同实数,a b c使得()()()f af bf c，则abc的取值范围是（）A.(0,1 B.2,0)C.(2,0 D.(0,1)【答案】C【解析】【分析】作出函数 yf x的图象，令 f af bf ct，设abc，由对数的运算性质得出1bc，并求出a
10、的取值范围，从而得出abc的取值范围。-7-【详解】令 f af bf ct，则a、b、c可视为直线yt与曲线 yf x的三个交点的横坐标，如下图所示：当01x时，20192019loglogf xxx；当1x 时，由 20192019loglogf xxx.由 f bf c可得20192019loglogbc，得20192019loglogbc，即20192019loglog0bc，所以，1bc.结合图象可知，20a，2,0abca，因此，abc的取值范围是2,0，故选：C。【点睛】本题考查函数零点的取值范围，考查对数的运算性质，解本题的关键就是计算时去绝对值，并充分利用了对数的运算性质，其
11、次再解这类问题时，可充分利用参数来表示零点，并构造新函数来求解。11.在四面体ABCD中，1ABBCCDDA，62AC，2BD，则它的外接球的表面积(S )A.4 B.83 C.43 D.2【答案】D【解析】【分析】由勾股定理得出90BADBCD，得知BD为该三棱锥外接球的直径，再利用球体的表面积公式可计算出该外接球的表面积。【详解】如下图所示：-8-1ABBCCDDA，2BD，222ABADBD，222BCCDBD，所以，90BADBCD，12OAOCBCOBOD，O为该三棱锥的外接球球心，BD为球的直径，设其半径为R，则222BDR，因此，三棱锥ABCD外接球的表面积为242SR，故选：D
12、。【点睛】本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，解本题的关键在于找出外接球球心的位置，找出外接球的一条直径，考查逻辑推理能力，属于中等题。12.已知函数 321162f xxbxcx的导函数 fx是偶函数，若方程 ln0fxx在区间1,ee(其中e为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是（）A.2111,2e2 B.2111,2e2 C.2111e,22 D.2111e,22【答案】B【解析】【分析】由导函数为偶函数，得出0b，由 ln0fxx，得出21ln2cxx，将问题转化为当直线yc与函数 21ln2g xxx在区间1,ee上的图像有两个交点时，求实数c的取值
13、范围，然后作出函数 yg x在区间1,ee上的图象，利用数形结合思想求出实数c的取值范-9-围。【详解】321162fxxbxcx，212fxxbxc，导函数 yfx的对称轴为直线xb，由于该函数为偶函数，则00bb，212fxxc，令 ln0fxx，即21ln02xcx，得21ln2cxx.问题转化为当直线yc与函数 21ln2g xxx在区间1,ee上的图像有两个交点时，求实数c的取值范围。211xgxxxx，令 0g x，得1x，列表如下：x 1,1e 1 1,e g x 0 g x 极大值 所以，函数 yg x在1x 处取得极大值，亦即最大值，max112g xg，又21112gee
14、，212eg e ，显然，1g ege，如下图所示：结合图象可知，当 11gcge时，即当211122ce 时，直线yc与函数-10-yg x在区间1,ee上有两个交点，因此，实数c的取值范围是2111,22e。故选：B。【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，本题的关键在于利用参变量分离的方法，将问题转化为直线yc与函数 yg x的图象的交点个数，在画函数的图象中，需要用到导数研究函数的单调性、极值以及端点值，通过这些来确定函数图象，考查数形结合思想，属于中等题。二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.复数1ii（其中i为虚数单位）的共轭复数为_.【答案】1
15、 i【解析】【分析】先利用复数的除法将复数表示为一般形式，然后利用共轭复数的定义得出答案。【详解】211111i iiiiii ，因此，复数1ii的共轭复数为1i，故答案为：1i。【点睛】本题考查共轭复数，考查复数的除法，对于复数问题，一般要通过复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部，考查计算能力，属于基础题。14.已知()f x是R上的偶函数，且在0，)单调递增，若(3)(4)f af，则a的取值范围为_【答案】17a 【解析】【分析】由偶函数的性质 f xfx将不等式表示为 34faf，再由函数 yf x在区间0,上的单调性得出3a与4的大小关系，解出不等式即可。【详
16、解】函数 yf x是R上的偶函数，所以 f xfx，-11-由 34f af，得 34faf，函数 yf x在区间0,上单调递增，34a，得434a ，解得17a，因此，实数a的取值范围是1,7，故答案为：1,7。【点睛】本题考查函数不等式的求解，对于这类问题，一般要考查函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为 12f xf x（若函数为偶函数，可化为 12fxfx），结合单调性得出1x与2x的大小（或1x与2x的大小）关系，考查推理能力与分析问题的能力，属于中等题。15.将函数sin3cosyxx的图象向左平移3个单位长度，得到函数()yg x的图象，则5()6g=_.【答案】1【解析】【分析】
17、先利用辅助角公式将函数解析式进行化简，利用三角函数变换规则得出函数 yg x的解析式，即可得出56g的值。【详解】sin3cos2sin3yxxx，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到函数 2sin2sin33g xxx，552sin2sin2sin16666g，故答案为：1。【点睛】本题考查三角函数图象变换，在解题时要将函数解析式化为sin0yAxb或cos0yAxb的形式，然后由变换规则求出所得函数的解析式，考查分析问题的能力，属于中等题。-12-16.已知椭圆C:22143xy的右焦点为F，A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上异于A的动点，直线AP与直线:4l x 交于第一象限的点M.若
18、PAF与PMF的面积之比为15，则点M的坐标为_.【答案】(4,9)【解析】【分析】设直线PA的方程为2xmy，设点11,P x y、64,Mm，求出直线PA与椭圆C的交点坐标，由PAF与PMF的面积比为112145xx，可求出m的值，于此可得出点M的坐标。【详解】易知点2,0A，设直线PA的方程为20 xmym，设点11,P x y，则点64,Mm，将直线PA的方程与椭圆C的方程联立222143xmyxy，消去x，化简得2234120mymy，易知10y，121234mym，211268234mxmym，则点P的坐标为2226812,34 34mmmm，-13-由于PAF和PMF的面积之比为
19、112145PAxPMx，得21268134mxm，解得23m，所以，63692m，因此，点M的坐标为4,9，故答案为：4,9。【点睛】本题考查直线与椭圆中的三角形的面积比值问题，在求解有关三角形面积的比问题，共顶点的两个三角形的面积比可转化为底边长之比，考查转化与化归思想，考查计算运算求解能力，属于中等题。三、解答题;共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(3,3)P.（）求tan()sin()2cos()sin(3
20、)的值；（）求tan2tan2的值.【答案】（）23；（）2 -14-【解析】【分析】（）根据三角函数的定义求出cos、sin、tan的值，再利用诱导公式将所求代数式化简，将角的三角函数值代入进行计算可得出结果；（）利用二倍角公式求出tan2的值，利用半角公式sintan21 cos求出tan2的值，再代入所求代数式进行计算即可。【详解】（）由题意得：133sin,cos,tan.223 原式tancos(cos)sin3323233122 （）22tantan231tan，1sin2tan23.21 cos312 tan2tan2=2。【点睛】本题考查三角函数定义、诱导公式、二倍角公式以及半
21、角公式，在三角求值时，充分利用相关公式进行化简，朝着已知角进行化简计算，着重考察学生对三角公式的掌握和应用水平，属于中等题。18.二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数 x(010)x与销售价格 y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：使用年数 2 4 6 8 10 售价 16 13 9.5 7 4.5 （）试求 y 关于 x 的回归直线方程；-15-（参考公式：1221niiiniix ynxybxnx，aybx；参考数据：51242iiix y）（）已知每辆该型号汽车的收购价格为 w0.05x21.75x17.2 万元，根据（）中所求的回归方程，预测 x 为何值时
22、，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大？【答案】（I）1.4518.7yx；（II）预测当3x 时,销售利润取得最大值【解析】分析：（1）按所给系数公式计算系数即得；（2）由利润zy得x的二次函数，由二次函数性质可得 详解：1由已知：6,10 xy55211,242,220iiiiix yx，则12211.45niiiniix ynxybxnx，18.7aybx 所以回归直线的方程为y1.4518.7x 221.4518.70.051.7517.2zxxx 20.0520.31.5xx 20.05(3)1.95x，所以预测当3x 时，销售利润z取得最大值 点睛：本题考查线性回归直线方程
23、，求此方程只要按所给公式计算出各系数即可，19.如图所示的五面体ABCDEF中，平面ADE平面ABCD,AEDE,AEDE,ABCD，ABBC,60DAB，4ABAD -16-（）求证：EF平面ABCD；（）求四棱锥FABCD的体积.【答案】（）见解析；（）4 3【解析】【分析】（）由/AB CD可证明出/CD平面CDEF，再利用直线与平面平行的性质定理得出/EF CD，再利用直线与平面平行的判定定理可证明/EF平面ABCD；（）取AD中点N，连接EN，由平面与平面垂直的性质定理得出EN平面ABCD，由/EF平面ABCD，得知点F到平面ABCD的距离等于EN，并计算出四边形ABCD的面积，然后
24、利用锥体的体积公式可计算FABCDEABCDVV，可得出答案。【详解】（）因为ABCD，AB平面ABFE，CD 平面ABFE，所以CD平面ABFE 又因为CD 平面CDEF，平面ABEF平面CDEFEF，所以CDEF因为CD 平面ABCD，EF 平面ABCD，所以EF平面ABCD（）取AD中点N，连接EN在ADE中，AEDE，所以ENAD.因为平面ADE 平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD，EN 平面ADE,所以EN平面ABCD 又因为AEDE，4AD，所以2EN.因为ABCD，ABBC，60DAB，4ABAD，所以6 3ABCDS梯形.所以16 324 33FABCDE ABCDVV-
25、.【点睛】本题考查直线与平面平行，以及锥体体积的计算，在计算锥体体积时，若高不方便计算时，可以利用直线与平面平行，将所求的点利用平行线进行转移，利用等高来进行处理，-17-考查计算能力与逻辑推理能力，属于中等题。20.已知点1,2P到抛物线2:20C ypx p准线的距离为 2.（）求C的方程及焦点F的坐标；（）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点,A B，求直线PA与PB的斜率之积.【答案】（）24yx，F的坐标为1,0；（）2【解析】【分析】（）利用已知条件得出p的值，可得出抛物线C的方程，并求出抛物线C的焦点F的坐标；（）求出点Q的坐标，设直线AB的方程为
26、120yk xk，将直线AB的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理求出直线PA与PB的斜率之积。【详解】（）由已知得122p，所以2.p 所以抛物线C的方程为24yx，焦点F的坐标为1,0；（II）设点11(,)A x y,22(,)B xy，由已知得(1,2)Q，由题意直线AB斜率存在且不为 0.设直线AB方程为12(0)yk xk.由2412yxyk x，得24480kyyk，则121248,4yyy ykk,因为点,A B在抛物线C上，所以2114yx，2224yx，1121112241214PAyykxyy，22224.12PBykxy 故 1212124
27、416222()4PAPBkkyyy yyy16284424kk.-18-【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程以及直线与抛物线中的定值问题，常用韦达定理设而不求法来求解，本题中，计算斜率时，充分利用抛物线方程，将点的坐标进行转化，能起到简化计算的作用，考查运算求解能力，属于中等题。21.已知函数()sinf xxx（）求曲线()yf x在点(,()22f处的切线方程；（）若不等式()f xax对任意0,2x恒成立，求实数a的取值范围【答案】（）1yx；（）见解析【解析】【分析】（）利用导数求出2f的值，作为切线的斜率，求出2f，确定切点坐标，再利用点斜式写出所求切线方程；（）由不等式 f x
28、ax对任意的0,2x恒成立转化为sin1xax 对任意的 0,2x恒成立，并构造函数 sin1xg xx，利用导数求出函数 yg x在区间 0,2上的最小值，于此可求出实数a的取值范围。【详解】（）因为()sinf xxx，所以()1cosfxx，()12f，()122f，所以曲线()yf x在点(,()22f处的切线方程1yx；（）即sinxxax对任意0,2x恒成立.当0 x 时，显然成立，aR 当(0,2x时，等价于sin1xax，令sin()1xg xx，(0,2x.则/2cossin()xxxgxx -19-令()cossinh xxxx，则/()sinh xxx 0对任意(0,2x
29、恒成立，故()h x在(0,2单减，于是()(0)0.h xh即/()0gx.从而()g x在(0,2单减，故min2()()1.2g xg 所以21.a 综上所述，21.a 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，通常利用参变量分离法进行转化为定函数的最值问题来求解，考查分析问题的能力与计算能力，属于难题。选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，(0,3)M，1AM 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点B为曲线29:54cos2C上一点（）求动点A的轨迹的极坐
30、标方程；（）求AB的最大值【答案】（）26cos80；（）max3 34|14AB【解析】【分析】（）先求出点A的轨迹方程，再由222sinxyy代入并化简得出动点A的轨迹的极坐标方程；（）将曲线C的方程化为普通方程，并设点B的坐标为,x y，将点B的坐标代入曲线C的普通方程得229 1xy，代入2BM，利用二次函数可得出BM的最大值，可得出 maxmax1ABBM.【详解】（）设点A的直角坐标为(,)x y，则由1AM 得：22(3)1xy，其极坐标方程为26cos80；（）曲线29:54cos2C的直角坐标方程为2219xy -20-设点(,)B x y，则222(3)BMxy，又由221
31、9xy229(1)xy，故22299(3)BMyy28618yy（11y），所以当38y 时，max3 34.4BM故max3 341.4AB【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的互化，考查椭圆上一点到圆上一点距离的最值，在解题时充分利用圆的几何性质，结合椭圆的范围以及二次函数的最值来求解，充分利用数形结合思想求解，属于中等题。23.已知0abcd，adbc（）证明：adbc；（）证明：abcbcaa b ca b c【答案】（）见解析；（）见解析【解析】【分析】（）由不等式的性质得出0adbc，将不等式平方得出22adbc，并在不等式左边加上4ad，右边加上4bc，化简后可得出所证不等式
32、；（）在所证不等式两边同时除以bcaa b c，将所证不等式转化为1a bb cabbc，利用指数函数的单调性证明出1a bab和1b cbc，于此可证明所证不等式。【详解】（）由abcd0得adbc0，即(ad)2(bc)2，由adbc得(ad)24ad(bc)24bc，即(ad)2(bc)2，故adbc（）abca bb cc abcaa b cabca b c()()a bb cabbc.因为0ab，所以1,0aabb，故()1a bab.同理，()1b cbc.从而()()1a bb cabbc.即abcbcaa b ca b c -21-【点睛】本题考查不等式的证明，常用方法有不等式的性质以及比较法，以及函数单调性等一些基本方法，证明时应该根据不等式的结果选择合适的方法来进行证明，考查分析问题的能力，属于中等题。