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1、杭州学军中学 2022 学年第一学期期中模拟考试高二数学试题卷一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 已知(2,1,3)a，(4,2,)bx，且a b，则=x（）A 103B 103C 6D 62如果方程22216xyaa表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）A 3a B 2a C 3a 或2a D 23a 3 在底面半径为 1 的圆柱1OO中，过旋转轴1OO作圆柱的轴截面 ABCD，其中母线 AB=2，E是弧 BC 的中点，F是 AB 的中点，则（）A AE=CF，AC 与 EF 是共面直线B AE CF，AC
2、 与 EF 是共面直线C AE=CF，AC 与 EF 是异面直线D AE CF，AC 与 EF 是异面直线4 在圆22:424 0M xyxy 内，过点 0 0O，的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A 24B 12C 10D 85 已知双曲线2222:10,0 xyCabab，直线y a与双曲线 C交于 M，N两点，直线yb 与双曲线 C交于 P，Q两点，若2MNPQ，则双曲线 C的离心率为（）A 2 33B 3C 5 12D 56 如图，在三棱台1 1 1ABCA B C-中，下底面ABC是直角三角形，且90BAC，侧面1 1ACC A与1 1BCC B都是直角梯
3、形，且1122,4AC CCCAA，若异面直线 AC 与1 1B C所成角为3，则BC 与平面1 1ABBA所成角的余弦值为（）A 12B 22C 32D 1447 已知 F为抛物线2yx的焦点，点 A，B在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，6OAOB（其中 O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是（）A 17 28B 3C 328D 31328 为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠如图，四个半径都是 1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）A 25 33 c m3B 345 33
4、c m3C 325 33cmD 385 33 c m3二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9 己知(2,2,0),(0,2,2),(2,0,2)ABC，则以下坐标表示的点在平面 ABC内的是（）A(2,1,1)B 444,333C(1,1,1)D(2,3,3)10 瑞士著名数学家欧拉在 1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上 这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作ABC，=ABAC，点(1,3)B，点(4,2)C，且其“欧拉线”与圆
5、222:(3)Mxyr相切，则下列结论正确的是（）A ABC的“欧拉线”方程为1y x B 圆M上点到直线2 0 x y 的最大距离为322C 若点(,)xy在圆M上，则3xy的最小值是3 42D 若点(,)xy在圆M上，则1yx的最大值是711已知抛物线24yx的焦点为 F，过点 F的直线交该抛物线于11,Axy，22,Bx y两点，点 T（-1，0），则下列结论正确的是（）A 1 24y y B 111AF BFC 若三角形 TAB的面积为 S，则 S 的最小值为42D 若线段 AT 中点为 Q，且2ATBQ，则4AF BF12如图，在五面体PQABCD中，底面ABCD为矩形，ADP和BC
6、Q均为等边三角形，/PQ平面ABCD，7AB，23AD，且二面角P ADC和Q BC A的大小均为(0,)设五面体PQABCD的各个顶点均位于球O的表面上，则（）A 有且仅有一个，使得五面体PQABCD为三棱柱B 有且仅有两个，使得平面ADP 平面BCQC 当1cos4 时，五面体PQABCD的体积取得最大值D 当cos0时，球O的半径取得最小值三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13圆心在直线y x上，并且经过点 2,0A，与直线2 0 x y 相切的圆的方程为_14已知正四棱柱1 1 1 1ABCD A B CD，11AA，2AB，则直线1AA与平面11B CD所成角
7、的正弦值为_15 四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，=90BAD，112PA AB BCAD，/BCAD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角Q PD A的平面角大小为6，则动点Q的轨迹的长度为_16已知椭圆22143xy，1F，2F为其左右焦点，动直线 l 为此椭圆的切线，右焦点2F关于直线 l 的对称点11,Pxy，113424Sxy，则 S 的取值范围为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知圆()()22:124C xy-+-=（1）若直线 l 与 C交于 A，B两点，线段 AB 的中点为（2，2），求|AB|；
8、（2）已知点 P的坐标为（3，1），求过点 P的圆 C的切线 l 的方程.18（12 分）如图，在四棱台1 1 1 1ABCD A B CD中，底面ABCD是正方形，若1 124ABA B，13BB，115CC DD（1）证明：平面1 1DCC D平面ABCD；（2）求二面角1A CC D的余弦值19（12 分）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如：正四面体在每个顶点有 3 个面角，每个面角
9、是3，所以正四面体在各顶点的曲率为233 ，故其总曲率为4（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2，证明：这类多面体的总曲率是常数20（12 分）已知双曲线2222:1xyCab经过点 2,3，两条渐近线的夹角为60，直线l交双曲线于,AB两点.（1）求双曲线C的方程.（2）若动直线l经过双曲线的右焦点2F，是否存在x轴上的定点,0M m，使得以线段AB为直径的圆恒过M点？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由.21（12 分）正方形 ABCD中，4AB，点 O为正方形内一个动点，且2OA，设,0,2OAB（1）当3时，求22OB OD的值；（2）若 P为平面 ABCD外一点，满足,22POA POB PODPO ，记cos()BPDf，求()f的取值范围.22（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCa bab 过点31,2A，且以长轴和短轴为对角线的四边形面积为24 b.（1）求C的方程；（2）已知椭圆22122:xyCab，在椭圆1C上任取三点,BCD，是否存在使得BCD与椭圆C相切于三角形三边的中点，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.