2020届山西省晋城市高三第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)5662.pdf-淘文阁

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2、xx.故选:D【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题.3经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为2:3:5，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人人数为 9，则n（）A30 B40 C60 D80【答案】A【解析】根据用分层抽样的方法特点，各层比例相等，即可求出答案.第 2 页共 19 页【详解】老年人、中年人、青年人的比例为2:3:5，用分层抽样的方法中年人人数为 9，所以93,3010nn.故选:A【点睛】本题考查分层抽样，解题关键是各层按比例分配，属于基础题.4已知na是正项等比数列，283716a aa a，则5a（

3、）A2 B2 C2 2 D4【答案】C【解析】根据等比数列的下标和性质解得.【详解】解：由283716a aa a，得228375216a aa aa，由na是正项等比数列,得52 2a.故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题.5甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（）A甲得分的平均数比乙的大 B乙的成绩更稳定 C甲得分的中位数比乙的大 D甲的成绩更稳定【答案】B【解析】根据图形中的数据，可求出甲乙的平均数，中位数，分析数据的离散程度，确定方差大小，即可求解.【详解】甲、乙得分的平均数均为 13，中位数均为 13，第 3 页共 19 页甲得分的方差明显比乙大.故选

4、:B【点睛】本题考查数据的处理以及数据的分析，属于基础题.6已知,l m是两条不同的直线，,是两个不同的平面，且l，m，则下列命题中为真命题的是（）A若，则l B若，则lm C若lm，则l D若，则m【答案】D【解析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择.【详解】选项 A,C 直线l可能在平面内，故不正确；选项 B,若，m，则，m或m在平面内，而l，故l与m可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项 D：由 m，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线m，故为正确.故选：D【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属

5、于基础题.7函数ln|cos()sinxxf xxx在,0)(0,的图像大致为（）A B C D【答案】D【解析】根据函数的奇偶性和特殊值可判断.【详解】第 4 页共 19 页解：因为ln|cos()()sinxxfxf xxx ，所以()f x为奇函数，关于原点对称，故排除A，又因为()10f，()02f，()03f，()0f ，故排除B、C,故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.8斜率为33的直线l过抛物线2:2(0)C ypx p的焦点F，若l与圆22:(2)4Mxy相切，则p（）A12 B8 C10 D6【答案】A【解析】由直线的

6、斜率为33可得倾斜角为30，数形结合分析可得.【详解】解：因为直线的斜率为33，所以倾斜角为30，即30MFA 结合题意作图，由图可得|2|4MFAM，2242pr，解得12p.故选：A【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，以及抛物线的标准方程，属于基础题.9将函数()sin(3)6f xx的图像向右平移(0)m m 个单位长度，再将图像上各点第 5 页共 19 页的横坐标伸长到原来的 6 倍（纵坐标不变），得到函数()g x的图像，若()g x为奇函数，则m的最小值为（）A9 B29 C18 D24【答案】C【解析】根据三角函数的变换规则表示出()g x，根据()g x是奇函数，可得m的取

7、值，再求其最小值.【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f xx的图像向右平移(0)m m 个单位长度，得sin 36yxm，再将sin 336yxm图像上各点的横坐标伸长到原来的 6 倍（纵坐标不变），得到函数()g x的图像，1()sin(3)26g xxm，因为()g x是奇函数，所以3,6mkkZ，解得,183kmkZ，因为0m，所以m的最小值为18.故选：C【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.10 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个顶点分别为1(,0)Aa，2(,0)A a，,P Q的坐标分别为(0,)b，(0,)b，且四边形12A

8、PA Q的面积为2 2，四边形12APA Q内切圆的周长为2 63，则C的方程为（）A2212xy B2212yx 或2212xy C22142xy D2212yx 或22142xy【答案】B【解析】根据四边形12APA Q的面积为2 2，得到2ab，由12APA Q内切圆的周长求出内切圆的半径，再次利用四边形12APA Q的面积，求出c的值，得到关于a、b的第 6 页共 19 页方程，解得.【详解】解：因为1(,0)Aa，2(,0)A a，,P Q的坐标分别为(0,)b，(0,)b，122A Aa，2PQb，221212APA QAQA Pabc 又因为四边形12APA Q的面积为2 2

9、，所以142 22a b，得2ab，记四边形12APA Q内切圆半径为r，则2 623r，得63r，所以22 2cr，所以3c，又因为2223cab，得21ab或12ab，所以C的方程为2212xy或2212yx.故选：B【点睛】本题考查双曲线的标准方程，四边形及内切圆的相关性质，属于基础题.11如图，在长方体1111ABCDABC D中，8AB，6AD，异面直线BD与1AC所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（）A98 B196 C784 D13723【答案】B【解析】先做出BD与1AC所成角的角下图中的BOE，设,CEx OE BE用x表示，然后用余弦定理求出x，求出长方体的对

10、角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案.【详解】连AC与BD交于O点,则O为AC中点，取1CC中点E，连,BE OE，则1/ACOE EOB为异面直线BD与1AC所成角,第 7 页共 19 页设,CEx则236BEx，8AB，6AD，25,25OBOCOEx 在OBE中，由余弦定理得 2222362cosBExOBOEOBOEEOB 2223625252 25xxx，解得2 6x 124 6CCx，所以长方体的对角线长为36649614 所以长方体的外接球的半径为7，所以长方体外接球的表面积为196.故选:B【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角

11、，解三角形是解题的关键，属于较难题.12设函数211()(2)lg34(2)xf xxxx，则不等式3(21)()2fxf的解集是（）A13 1(0,)48 2 B13 1(1,)48 2 C13(,)44 D31(1,0)44 【答案】D【解析】函数()f x可由211()lg14xg xxxx向左平移两个单位得到，分析()g x的奇偶性、单调性，可得()f x的单调性，利用函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得.【详解】解：由题意知()f x的图像是由211()lg14xg xxxx的图像向左平移两个单位长第 8 页共 19 页度得到，而()g x是定义域为(1,1)的偶函

12、数，因为函数()m xx与12()lglg(1)11xn xxx在(0,1)上单调递增，且()0m x，()0n x，所以1lg()()1xyxm x n xx 在(0,1)上单调递减，所以()f x的定义域为(3,1)，关于2x 对称，并且在(2,1)上单调递减，所以3(21)()2fxf等价于3211x 且3|212|22x ，即103144xxx 或，故314x 或104x.故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，以及函数的平移，属于中档题.二、填空题 13设,x y满足约束条件20220220 xyxyxy，则3zxy的最小值为_.【答案】6【解析】由约束条件作出可行域，化目标函

13、数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件2 022 022 0 xyxyxy作出可行域如图，化目标函数3zxy为133zyx，第 9 页共 19 页由图可知，当直线133zyx过(0,2)A时，z有最小值为6 故答案为：6【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 14已知向量(1,)am，22(,)22b，若ab，则m _【答案】1【解析】根据垂直向量的坐标关系，即可求解.【详解】由221()022m，得1m.故答案为:1【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.15函数 3359f xxx的图像在点 0

14、0,xf x处的切线垂直于直线4120 xy，则0 x _.【答案】【解析】先求出 295fxx，再解方程 20954ofxx即得解.【详解】因为 2359f xxx.所以 295fxx.因为 20954ofxx.所以01x .故答案为：【点睛】本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在梦溪笔谈中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有 2 个货物，第二层比第一层多 3 个，第三层比第二层多 4 个，以此类推，记第n层货物的个数为na，则数列na的通

15、项公式na _，数列第 10 页共 19 页(2)nnna的前n项和nS _.【答案】(3)2n n 239nn 【解析】由题意可得11nnaan，2n，利用累加法可求数列na的通项公式，求出数列(2)nnna的通项公式，利用裂项相消法求其前n项和.【详解】解：由题意可知12a，213aa，324aa，11nnaan，累加可得(3)23412nn nan，2112()(2)(2)(3)23nnnannnn，1111111122()2()2()2()3445233339nnSnnnn.故答案为：(3)2n n；239nn.【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.

16、三、解答题 17在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且22 cosacbC.（1）求B；（2）若3b，ABC的面积为32，求ABC的周长.【答案】（1）3B；（2）33.【解析】（1）利用正弦定理，把条件等式化成角，再用诱导公式与两角和的正弦公式，即可求出cosB，进而求出B；（2）面积公式结合余弦定理，求出ac，就可得到ABC的周长.【详解】（1）由22 cosacbC，2sinsin2sincosACBC，2sin2sin()2sincos2cossinsin2sincosABCBCBCCBC，12cossinsin,0,sin0,cos2BCCCCB，第 11 页共 1

17、9 页 0,3BB；（2）133sin,2242ABCSacBacac，由余弦定理得，222222cos()3()63bacacBacacac，2()9,3,acacABC周长为33.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，以及诱导公式和两角和的正弦公式，考查计算能力，属于中档题.18“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份 2014 2015 2016 2017 2018 销量（万台）8 10 13 25 24 某机构调查了该地区 30 位购车车主的性别与购车种类情况，得到

18、的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主 6 24 女性车主 2 总计 30 （1）求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；（2）请将上述22列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；参考公式：12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，22()()()()()n adbckab cdac bd，其中nabcd .63525，若0.9r，则可判断y与x线性相关.第 12 页共 19 页附表：20()P Kk 010 0.05 0.025 0.010 0.001 0k

19、 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）0.94r，y与x线性相关（2）填表见解析，有 90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关【解析】（1）计算出x，y，51()()iiixxyy，521()iixx，521()iiyy再代入相关系数公式计算可得；（2）依题意，完善表格计算出2K与参数数据比较可得.【详解】解：（1）依题意，2014201520162017201820165x，8 10 132524165y 故51()()(2)(8)(1)(6)1 92 847iiixxyy 521()4 1 1410iixx ，521()64369816

20、4254iiyy，则51552211()()47470.940.9102542 635()()iiiiiiixxyyrxxyy 故y与x线性相关.（2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主 18 6 24 女性车主 2 4 6 第 13 页共 19 页总计 20 10 30 2230(18 42 6)153.752.70620 10 24 64K 故有 90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.【点睛】本题考查利用相关系数判断两个变量的相关程度，以及独立性检验，考查计算能力，属于基础题.19如图，在直四棱柱1111ABCDABC D中，底面ABC

21、D为梯形，/ABCD，60BAD，1CD，2AD，4AB，点G在线段AB上，3AGGB，11AA.（1）证明：1/DG平面11BBC C；（2）求点C到平面1DC G的距离.【答案】（1）证明见解析（2）3010【解析】（1）连接1C B，通过证明11/DGC B得到1/DG平面11BBC C；（2）利用等体积法求点到面的距离.【详解】（1）证明：连接1C B，因为底面ABCD为梯形，/ABCD，44ABCD，第 14 页共 19 页 3AGGB，则11/GBCDDC，且111GBDC，所以四边形11GBC D为平行四边形，则11/DGC B.又1C B 平面11BBC C，1DG 平面11

22、BBC C，所以1/DG平面11BBC C.（2）因为221112DC，22232 2 3 cos607DG ，221215C G，所以1DCG为直角三角形，所以其面积1102522S.设点C到平面1DC G的距离为d，因为11CDGCC DC GVV，所以1111013 13232d ，解得3010d 即点C到平面1DC G的距离为3010.【点睛】本题考查线面平行的判定，以及点到面的距离的计算，属于中档题.20已知椭圆2222:1(0)xyCabab的半焦距为c，圆222:O xyc与椭圆C有第 15 页共 19 页且仅有两个公共点，直线2y 与椭圆C只有一个公共点.（1）求椭圆C的标

23、准方程；（2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C分别交于,P Q两点，点R的坐标为5(,0)2，证明：RP RQ为定值.【答案】（1）22184xy（2）证明见解析【解析】（1）依题意，得2cb，根据222abc计算可得；（2）对直线l的斜率存在与否分类讨论，当斜率不存在直接计算可得，当斜率存在设直线l的方程为(2)yk x，联立直线与椭圆方程得到方程组，利用韦达定理计算可得.【详解】解：（1）依题意，得2cb，则222448abc，故椭圆的标准方程为22184xy.（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x ，代入22184xy，得22xy .不妨设(2,2)P，(2,2)Q，

24、若5(,0)2R，则1(,2)2RP，1(,2)2RQ，74RP RQ .当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(2)yk x，代入椭圆C的方程，可得2222(21)8880kxk xk，设1122(,),(,)P x yQ xy，则2122821kxxk，21228821kx xk，因为115(,)2RPxy，225(,)2RQxy，所以121255()()22RP RQxxy y 第 16 页共 19 页 212121255()()2()422xxkx xxx 222222258(2)88252(1)421214kkkkkkk 2277724214kk 综上所述，RP RQ为定值74.【

25、点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，向量的数量积的坐标表示，属于中档题.21已知函数()2 ln21f xaxx（其中aR）.（1）讨论函数()f x的极值；（2）对任意0 x，2()2f xa恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1,)【解析】（1）求出函数的定义域、导函数，对0a 和0a 分两种情况讨论可得；（2）由（1）知当0a 时，不符合题意；当0a 时，()f x的最大值为()2 ln21f aaaa要使2()2f xa恒成立，即是使22 ln212aaaa 成立，令2()2 ln23(0)g aaaaaa利用导数分析其单调性，即可求得a的取值范围.【详解

26、】（1）()f x的定义域为(0,)，2()2afxx，当0a 时，()0fx，所以()f x在(0,)上是减函数，()f x无极值.当0a 时，令()0fx，得xa，在(0,)a上，()0fx，()f x是增函数；在(,)a 上，()0fx，()f x是减函数.所以()f x有极大值()2 ln21f aaaa，无极小值.（2）由（1）知，当0a 时，()f x是减函数，令20axe，则0(0,1x，222220()(2)21(2)320aaf xaaeae，不符合题意，当0a 时，()f x的最大值为()2 ln21f aaaa，第 17 页共 19 页要使得对任意0 x，2()(1)

27、f xa恒成立，即要使不等式22 ln212aaaa 成立，则22 ln230aaaa有解.令2()2 ln23(0)g aaaaaa，所以()2ln2g aaa 令()()2ln2h ag aaa，由22()0ah aa，得1a.在(0,1)上，()0h a，则()()h ag a在(0,1)上是增函数；在(1,)上，()0h a，则()()h ag a在(1,)上是减函数.所以max()(1)20h ah ，即()0g a，故()g a在(0,)上是减函数，又(1)0g，要使()0g a 成立，则1a，即a的取值范围为1,).【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，单调性，属于中档题.22

28、在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为6sin6cosxy（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()23.（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于,A B两点，若|4 3PAPB，求直线m的倾斜角.【答案】(1)226xy，340 xy(2)6或56.【解析】（1）利用22sincos1消去参数化曲线C为普通方程，运用cos,sinxy，即可化直线l极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线C方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解

29、.【详解】（1）曲线C的普通方程为226xy，第 18 页共 19 页因为cos()23，所以cos3 sin40，直线l的直角坐标方程为340 xy.（2）点P的坐标为(4,0)，设直线m的参数方程为4cossinxtyt（t为参数，为倾斜角），联立直线m与曲线C的方程得28 cos100tt.设,A B对应的参数分别为12,t t，则121 228cos1064cos400ttt t ，所以1212|8|cos|4 3PAPBtttt，得3cos2，且满足，故直线m的倾斜角为6或56.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属

30、于中档题.23已知函数()|31|33|f xxx.（1）求不等式()10f x 的解集；（2）正数,a b满足2ab，证明：()f xab.【答案】(1)4(,2,)3 (2)证明见解析【解析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；（2）要证不等式两边平方，等价转化证明()2f xabab，即证min()2f xabab，根据绝对值的不等式求出min()f x，运用基本不等式即可证明结论.【详解】（1）当1x 时，()1 3336210f xxxx ，解得2x，所以2x；第 19 页共 19 页当113x 时，()1 333410f xxx，x；当13x 时，()31 336210f xxxx，解得43x，所以43x.综上，不等式()10f x 的解集为4(,2,)3.（2）证明：因为,a b为正数，则()f xab 等价于()2f xabab对任意的xR恒成立.又因为()|31|33|4f xxx，且2ab，所以只需证1ab，因为12abab，当且仅当1ab时等号成立.所以()f xab成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.

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