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1、备战 2021 高考数学全真模拟卷（北京版）第一模拟 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.设集合0,1,2,3,4U，0,1,2,3A，1,2,4B，则()UAC B（）A.0,3 B.1,3 C.1 D.0【答案】A【解析】集合0,1,2,3,4U，1,2,4B，0,3UC B，又0,1,2,3A，()UAC B0,3.故选：A.2.已知1 iiz（i 为虚数单位），在复平面内，复数 z 的共轭复数z对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】1
2、1111,122222iiizizii，复数 z 的共轭复数z对应的点是11,22，在第四象限.故选：D.3.焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为 4 的抛物线的标准方程是（）A.x24y B.y24x C.x28y D.y28x【答案】D【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，设其标准方程为22(0)ypx p，又由焦点到准线的距离为 4，即 p4，故要求抛物线的标准方程为 y28x，故选：D.4.已知10a，0b，则b，ab，2a b的大小关系是（）A.2ba bab B.2baba b C.2a bbab D.2a babb【答案】A【解析】取特殊值：12a ，
3、1b ，则12ab，214a b ，故2ba bab，故选：A 5.某兴趣小组有 3 名男生和 2 名女生，现从中选 2 人参加公益活动，则至少选中一名女生的概率为（）A.110 B.310 C.710 D.910【答案】C【解析】由题知从此兴趣小组中任选 2 人参加公益活动共有2510C 个结果，至少选中一名女生有2112327CC C个结果，所以至少选中一名女生的概率为21123225710CC CC.故选：C 6.已知以4,3C 为圆心的圆与圆221xy相内切，则圆 C 的方程为（）A.224336xy=B.224316xy C.224336xy D.224316xy【答案】C【解析】因
4、为2243251，所以点4,3C 在圆221xy的外部，设以4,3C 为圆心的圆的半径为：r，则221435r ，解得6r，所以所求圆的方程为：224336xy.故选：C 7.已知 f(x)是偶函数，且在(0,+)上单调递增，则函数 f(x)可以是（）A.42()2f xxx B.()2xxeef x C.()sinf xxx D.21()cos3f xxx【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于 A，42()2f xxx，其定义域为R，有42()2()fxxxf x，是偶函数，其导数32()444(1)fxxxx x，在区间(0,1)上，()0fx，()f x为减函数，不符合题意；对于
5、 B，()2xxeef x，其定义域为R，有()()2xxeefxf x，是偶函数，其导数()2xxeefx，在区间(0,)上，()0fx，()f x为增函数，符合题意；对于 C，()sinf xxx，其定义域为R，有()()sin()sin()fxxxxxf x，是偶函数，而()022f，33()022f，在(0,)上不是增函数，不符合题意；对于 D，21cos3f xxx，其定义域为R，有21()()cos()3fxxx21cos3xx()f x，是偶函数，而(0)1f，21()13272f，在(0,)上不是增函数，不符合题意；故选：B 8.九章算术 是我国古代的数学名著，书中有如下问题：
6、“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等 问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,2ad ad a ad ad,则22adadaadad,解得6ad,又225,adadaadad1a,则4422633aadaa ,故选 B.9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A.3(1)3 B.3
7、(1)6 C.3(2)3 D.3(2)6【答案】D【解析】由三视图可知：该空间几何体是一个半圆锥挖去一个三棱锥，因此该几何体的体积为：211113(2)132 1323326V .故选：D 10.已知函数()cos()0,0,|2f xAxA，将函数()f x的图象向左平移34个单位长度，得到函数()g x的部分图象如图所示，则32123xg是1()3f x 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为()cos()f xAx，由函数()f x的图象向左平移34个单位长度，得到3()cos4g xAx，由图知：3731,46124
8、TA，所以T，解得22T，所以3()cos 2sin 24g xxx，又因为()g x的图象经过点7,112，所以7sin16，所以7262k，所以523k，kZ 又因为|2，解得3，所以()sin 23g xx，()cos(2)3f xx，若3sin 2sin=212212363xxgx，则21()cos(2)cos212sin3663 f xxxx，故充分；若1()3f x，即21()cos(2)cos212sin3663 f xxxx，解得 3sin63 g xx，故不必要；所以32123xg是1()3f x 的充分不必要条件.故选：A 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共
9、5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11.已知双曲线2214xym的渐近线方程为22yx，则m 【答案】2【解析】因为该双曲线的焦点在 x 上，所以其渐近线方程为2myx，所以222m,解得 2m，故答案为：2 12.已知an为等差数列，其公差为 2，且7a是3a与9a的等比中项，Sn为an前 n 项和，则10S的值为_.【答案】110【解析】因为7a是3a与9a的等比中项,故3729aaa,即 1112628aaaddd,即2211211212361016aaaadddd,化简得1100add.又2d 所以120a.故1010 9102021102S .故答案为：110 13.在边长为
10、2 的正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，AE 交 BD 于 F.若23AFxAByAD，则xy_.【答案】718【解析】因为在正方形中，E 为 CD 中点，所以AEADDE1122ADDCADAB，又为EFDAFB，所以2AFABFEED，所以2AFFE，23AFAE，所以23AFAE2122121()33333ADDCADABADDC，又已知23AFxAByAD，根据平面向量基本定理可得16x，29y，所以1276918xy，故答案为：718 14.如图，在ABC 中，D 为 BC 边上近 B 点的三等分点，45ABC，ADC60，2AD，则BD _，AC _.【答案】622；33
11、【解析】在ABD中，15BADADCABC，则62sinsin 6045sin60 cos45cos60 sin454BAD，由正弦定理sinsinADBDABCBAD，得622sin624sin222ADBADBDABC，在ACD中，262CDBD，2AD，ADC60，由余弦定理得2222cos126 3ACADCDAD CDADC，因此，22126 332 33333AC .故答案为：622；33.15.已知函数2122,01()2,10 xxxmxf xxmx 若在区间1,1上方程()1f x 只有一个解，则实数 m 的取值范围为_【答案】1|12mm 或1m 【解析】当01x时，由()
12、1f x，得221xxm，即212xxm；当10 x 时，由()1f x，得1221xxm，即1221xxm.令函数11,01()221,10 xxxg xx ，则问题转化为函数11,01()221,10 xxxg xx 与函数()h x 2xm的图像在区间 1,1上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10 xxxg xx 与2yxm在区间函数 1,1上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h，即1m 时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2hgmhg 时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m的取值范围是1|112mmm
13、 或.三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16（本小题满分 14 分）在ABC 中，32a，3b，31cosA（）求Bsin；（）设BC的中点为D，求中线AD的长【解析】（）由1cos3A 知，且0A 所以2sin1cosAA2 23 由正弦定理及题设得sinsinabAB，即2 33sin2 23B 所以6sin3B （）因为ba，所以B为锐角所以23cos1sin3BB 因为ABC ，所以coscos()=coscossinsinCABABAB 所以132 265 3cos33339C 在ACD中，D为BC的中点，所以3CD 由余弦定理及题设得22
14、2+2cosADACCDAC CDC225 33+(3)2339 2 所以中线2AD 17（本小题满分 14 分）某大型超市拟对店庆当天购物满 288 元的顾客进行回馈奖励规定：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图），待转盘停止转动时，若指针指向扇形区域，则顾客可领取此区域对应面额（单位：元）的超市代金券假设转盘每次转动的结果互不影响 （）若060 x，求顾客转动一次转盘获得 60 元代金券的概率；（）某顾客可以连续转动两次转盘并获得相应奖励，当020 x 时，求该顾客第一次获得代金券的面额不低于第二次获得代金券的面额的概率；（）记顾客每次转动转盘获得代金券的面额为X，当0 x取何值时，
15、X的方差最小？（结论不要求证明）【解析】（）设事件A为“顾客转动一次转盘获得 60 元代金券”，由题意知41()123P A （）设事件B为“顾客第一次获得代金券面额不低于第二次获得的代金券面额”，设事件iC为“该顾客第i转动转盘获得的超市代金券面额为 60”，1,2i 由题意知，1()3iP C，1,2i 因此112()()()P BP CP C C 111(1)(1)333 79 （）036x 18（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱111ABCA BC中，平面11BCC B 平面ABC，四边形11BCC B为菱形，点M是棱AC上不同于A，C的点，平面1B BM与棱11AC交于点N，2A
16、BBC，90ABC，1160BBC （）求证：1B N平面1C BM；（）求证：1BC 平面1ABC；（）若二面角1ABCM为30，求AM的长【解析】（）因为在三棱柱111ABCA BC中，平面ABC 平面111A BC，平面1B BM平面ABCBM，平面1B BM平面1111=A B CB N，所以BM 1B N 又因为1B N 平面1C BM，BM 平面1C BM，所以1B N 平面1C BM （）因为90ABC，所以ABBC，又因为平面11BCC B 平面ABC，所以AB 平面11BCC B所以1ABB C 因为四边形11BCC B为菱形，所以11B CBC所以1B C 平面1ABC （
17、）取线段11B C中点D，因为菱形11BCC B中，1160BBC，所以BD 11B C 又因为BC11B C，所以BDBC 又因为AB 平面11BCC B如图，以B为原点，建立空间直角坐标系-B xyz，则11(2,0,0),(0,0,0),(0,1,3),(0,2,0),(0,1,3)ABBCC，所以1(0,3,3)B C，1(0,1,3)BC，(2,0,0)BA，(2,2,0)AC 设AM=AC，（10），(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)BMBA+AM=BAAC，设平面1BC M的法向量为(,)nx y z，则100BCnBM n，即30(22)20yzxy，令=3z，则-3
18、y，=31x所以3(,3,3)1n 由（）知，1(0,3,3)B C 是平面1ABC的一个法向量则 因为二面角1ABCM为30，1121123cos30|cos,|2|3()12121BC nBC n=BCn 解得2=5，或=2（舍）所以224 2555AM=AC=AC，即AM的长为4 25 19（本小题满分 14 分）设函数2()()e()xf xxaxaaR（）当0a 时，求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（）设2()1g xxx，若对任意的0,2t，存在0,2s使得()()f sg t成立，求a的取值范围【解析】（）当时，因为，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即
19、 （）“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大值大于或等于的最大值”因为2215()1()24g xxxx，所以在上的最大值为(2)1g 2()(2)e()exxfxxaxaxa 令，得或 当，即时，在上恒成立，在上为单调递增函数，的最大值为,由，得 当，即时，当(0,)xa时，为单调递减函数，当(2)xa ，时，()0fx，为单调递增函数 所以的最大值为或,由，得；由，得 又因为，所以 当，即时，0a 2()exf xx2()(2)exfxxx(1)3ef(1)ef()yf x(1,(1)fe3e(1)yx3e2e0 xy0,2t0,2s()()f sg t0,2()f x()g
20、x()g x0,22e(2)2 xxaxae(2)()xxxa()0fx2xxa0a0a()0fx0,2)(xf0,2()f x21(2)(4)efa21(4)1ea2e4a02a20a()0fx()f x()f x()f x(0)fa21(2)(4)efa1a1a21(4)1ea2e4a20a21a2a2a在上恒成立，在上为单调递减函数，的最大值为，由，得，又因为，所以 综上所述，实数的值范围是或 20（本小题满分 15 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长为2 3，右焦点为(1,0)F，点M是椭圆C上异于左、右顶点,A B的一点（）求椭圆C的方程；（）若直线AM与直线2x交
21、于点N，线段BN的中点为E证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF上【解析】（）由题意得 解得 所以椭圆的方程为 （）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”6 分 设直线的方程为，则 设点，由得，得 当轴时，此时()0fx0,2()f x0,2()f x(0)fa1a1a2a2aa1a2e4a2223,1,.bcabc2a C22143xyBEFMFEFMFBAM(2)(0)yk xk(2,4),(2,2)NkEk00(,)M xy22(2),1,43yk xxy2222(34)1616120kxk xk2020286,3 412.3 4kxkkykMFx01x12k所以 此时，点在的角
22、平分线所在的直线或，即平分 当时，直线的斜率为，所以直线的方程为24(41)40kxkyk 所以点到直线的距离 2222|82(41)4|16(41)kkkkdkk222|42(41)|(41)kkkk 22|2(41)|41|kkk|2|kBE 即点B关于直线EF的对称点在直线MF上 21（本小题满分 14 分）对于n维向量12(,)nAa aa，若对任意1,2,in均有0ia或1ia，则称A为n维T向量对于两个n维T向量,A B，定义1(,)|niiid A Bab（）若(1,0,1,0,1)A，(0,1,1,1,0)B，求(,)d A B的值（）现有一个5维T向量序列：，若1(1,1,1
23、,1,1)A 且满足：1(,)2iid A A，*iN求证：该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0)（）现有一个12维T向量序列：，若112(1,1,1)A个 且满足：1(,)iid A Am，*mN，1,2,3,i，若存在正整数j使得12(0,0,0)jA个，jA为12维T向量序列中的项，求出所有的m【解析】（）由于(1,0,1,0,1)A，(0,1,1,1,0)B，由定义1(,)|niiid A Bab，可得(,)4d A B （）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维向量序列，使得1(1,1,1,1,1)A，(0,0,0,0,0)mA 3(1,),(2,2),(2,1)2MNEEB
24、FM1yx1yxEFMFB12kMF020411 4MFykkxkMFEMF123,A A A123,A A AT123,mA A AA因为向量1(1,1,1,1,1)A的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A的第(1,2,3,4,5)i i个分量1变化了21in次之后变成0，所以将1A中所有分量1 变为0 共需要 12345(21)(21)(21)(21)(21)nnnnn 123452(2)1nnnnn次，此数为奇数 又因为*1(,)2,iid A AiN，说明中的分量有个数值发生改变，进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾 所以该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0)（）此时 易见当为 12 的因子时，给(1 分)答出给(1 分)答出中任一个给(1 分)，都对给。iA21iA2(1)m1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12mm1,2,3,4,6,125,8,10m7,9,11m