一题多解与思维能力的研究23542.pdf

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1、一题多解与思维能力的研究 在现代数学教育理论中，数学教学主要是关于思维活动的教学。因此，在实际教学活动的开展中，如何培养学生的数学思维能力在现代数学教育中是一个非常重要的研究方向。而一题多解的教学，正好是通过向多向探索、思维发散的鲜明特征，使得学生对于数学这一学科以及学科知识的理解与认识逐步深入，数学思路日益开阔的一种教学形式。一题多解对于培养学生的思维能力能够产生独到的积极作用。本文将从五个方面，浅谈初中数学教育中的一题多解与思维能力的研究。一、从不同的认识层次探索一题多解，培养学生思维的深刻性 当一项新知识被学生初步接受后，学生的求知欲望将会得到暂时的满足，这是一种再正常不过的心理现象。然

2、而，当这种满足情绪滞留的时间过长，则会严重阻碍学生对知识的进一步理解和掌握，对往后的学习必将造成不良影响。因此，教师应在教学过程中进行精心设计，以不同角度的认识层次探索一题多解的例题，激发学生不断产生新的求知欲望，促进学生的认识步步深入，努力培养思维的深刻性。如下例 1：如图，在ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DE=DF。通过引导学生分析题目给出的条件，可分为三个知识点：.AB=AC .D 为 BC 中点.DEAB，DFAC 根据已知知识点及学习经验，学生很容易想到证明 BDECDF，这也是大部分学生能解决的。当学生能够圆满解答后，教师又

3、提出一个新的问题，大家思考一下，此题能运用今天所学的知识解答吗？约一分钟，有同学就提出了自己的构想和解题的思路：连结 AD，有 AB=AC，D 为 BC 中点的条件，根据等腰三角形三线合一，可得到 AD 平分BAC，从而有点 D 是BAC 平分线上的点，又知 DEAB，DFAC，运用今天所学的角平分线的性质，就可得 DE=DF。在完成解答过程后，教师细问了一句：“还有谁有其它思路吗？”由于受第二种方法的启发，又有学生提出了第三个方法：连结 AD，证明ADEADF，从而得到 DE=DF。通过这样的教学，不仅培养了学生分析思维能力，而且让学生在学习新知识的同时温故了前面的知识;开阔了学生的解题思路

4、，也活跃了课堂气氛；让学生学到了新的基础知识，也让学有余力的学生展示了能力发展的空间，真可谓是一举多得。二、从不同的观察角度探求一题多解，培养学生思维的广阔性 许多解题能力较差的学生，往往会表现出思路较为单一的模式，不能从多方面多角度去分析和研究一个问题。究其原因就是因为这些学生所掌握的知识缺乏必要的联系，广泛联想的能力更差。那么如何解决这一问题，在教学实践中，用不同的角度去探求一题多解，对培养学生思维的广阔性是非常有成效的。例 2：如图，在ABC 与ABD 中，AD 与 BC 相交与点 O，1=2，请你添加一个条件（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），使 AC=BD，并给出证明。你添

5、加的条件是 。从题目的问题和图形我们就可以看出答案不是唯一的，这就要求学生能放开思想，结合已知条件、图形及需要探讨的结论充分发挥自己的空间想象力。约 5 分钟的思考，就有部分学生想出了多种方案，归纳如下：.C=D；.CAB=DBA；.BC=AD；.OC=OD 这是一道条件开放性的逆向思维的习题，上述答案是怎么样得出来的呢？我们可以先从结论 AC=BD 入手，观察图形发现 AC、BD 分别在两个三角形中，要证这两条线段相等，首先就应该想象得出，需从证明两个三角形全等入手，AC、BD 在那些三角形中呢？在头脑中就必须将 AC、BD 所在三角形从原图形中分离出它们所在的基本图形，有：AOC 和BOD

6、，或ABC 和BAD。再想象一下，需证明AOCBOD，头脑中就要思维出从 S.S.S，S.A.S，A.S.A，A.A.S 中选出可满足的条件。经过思维与想象发现 S.A.S 和 A.A.S 都是入选的对象，因为由1=2 可推得 OA=OB，而3=4 是对顶角，故需添加 OC=OD 或C=D，就可得到AOCBOD。而要证ABCBAD,经过思维和想象发现 S.A.S，A.S.A，A.A.S 都是可以的，因1=2,边 AB 公共，故可添加 AD=BC，或CAB=DBA，或C=D。综上所述，可添加的条件就有上述的四种情形。在课堂教学中的一个重要任务就是如何打开学生的智慧之门，使得学生的思路畅通无阻。因

7、此，我们在教学中，应该积极鼓励和引导学生从各个角度，用多种方法联想思考问题，若此处不通，另寻他处，一方不行再找一方，即使这一处通了，也不妨另寻新路，以求殊途同归。这样就能更好的培养学生目光远大，思路开阔的思维品质。三、从不同的数学方法探求一题多解，培养学生思维的灵活性 例 3：解不等式53-23x 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-2x时，不等式可化为53-23 x43 x（2）当03-2x时，不等式可化为0 x-153-2x3 综上：解集为0 x1-43或xx 解法二：转化为不等式组求解 原不等式等价于 014353-233-2xxxx或且 综上：解集为0 x1-43或

8、xx 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于 -33-2x5-53-23或x，即0 x1-43或x 解集为0 x1-43或xx 解法四：利用绝对值的集合意义 原不等式可化为 2523-23 x，不等式的几何意义时数轴上的点23到x的距离大于23，且小于25，由图得，解集为0 x1-43或xx 解法分析：本题利用了定义法、等价转化及数形结合等常用解题方法。例 4：求函数)0(1)(xxxxf的值域 解法一：判别式法 设xxy1，则01yx-2x，由2y-204y 当2y时，2x-012x1 x，因此当1x时，)0(1)(xxxxf有最小值 2，即值域为,2 解法二：单调性法 先判断函数)0(1)

9、(xxxxf的单调性 任取210 xx，则21212121)1-)(-()(-)(xxxxxxxfxf 当2021xx 时，即)()(21xfxf，此时)(xf在(10,上时减函数 当212xx 时，)()(21xfxf)(xf在,2上是增函数 由)(xf在1,0上是减函数，)(xf在,1上是增函数，知 1x时，)(xf有最小值 2，即值域为,2 解法三：配方法 2)1-(1)(2xxxxxf，当01-xx时，1x，此时)(xf有最小值 2，即值域为,2 解法四：基本不等式法 xxxf1)(212)1()(22xxxx)(xf有最小值 2，即值域为,2 解法分析：本题利用了函数的性质，一元一次

10、方程解的判断和已知不等式转化成等价问题。例 5：设10lgaa，1010 bb，求ba 的值。解法一（构造函数）：设xxxflg)(，则)10(1010lg1010)(bbbbfbaf，由于)(xf在),0(上是 单调递增函数，所以ba10，故1010bbab。解法二（图象法）因为a是方程10lgxx的一个根，也就是方程xx-10lg的一个根 是方程1010 xx的一个根，也就是方程x-1010 x的一个根 令xxglg)(，xxh10)(，xx-10)(，在同一坐标系中作出他们的图象，如图所示：a是方程)()(xxg的根，即图中 OA=a b是方程)()(xxh的根，即图中 OB=b 易得

11、OA+OB=10，所以10ba 解法三：方程10lgxx，1010 xx的根为a，b由1010 xx，得xx-1010，x)-10lg(x，又10lgxx10lgxx)-10lg(，1010 x)-x(10即，01010 x-102x即 1021 xx )0(虚根 解法分析：本题利用了函数法、图像法和方程法等方法。上面为大家展示了若干个问题转换方法，另外还有许多其他方法，108642-5510BAAC此处不一一列举，教师在教学的过程中及学生在学习的过程中应慢慢渗透、掌握和熟练运用这些方法，一达到较佳的教学效果和学习效率。四、从一题多解的类比或发现中，培养学生思维的创造性 在实际数学教学中，探求

12、一题多解不是目的，并不是一道题提供的解法越多越好，因此，在实际数学课堂中，绝对不能单纯的罗列出种种解法，更重要的是解后的总结。从一题多解的类比中发现便捷的解法，再通过引申与联想中发现技巧、规律或新的公式。另外，我们还应该认识到，在一题多解的过程中，方法有一般的，有特殊的，有繁琐的，有简洁的，有失败的，同时也有成功的。但是，繁琐的方法，失败的方法也不是一味的撅弃，也不是一无是处的，而成功的方法也不是万能的。应该培养学生总结的能力，通过总结不同的解法，不同的思维方法，让各种解法各显其能，充分发挥其培养创造性思维的效益。五、从一题多解演变为一题多变，培养学生思维的发散能力 例 6：原题：48)(2x

13、mxxf 的定义域为 R，求 m 的取值范围 解：由题意0482 xmx在 R 上恒成立 0m且0，得4m 变 1：48log)(23xmxxf的定义域为 R，求 m 的取值范围 解：由题意0482+xmx在 R 上恒成立 0m且0m 变 2：)48(log)(23xmxxf的值域为R，求 m 的取值范围 解：令t482 xmx，则要求t 能取到所有大于 0 的实数，当0m时，t 能取到所有大于 0 的实数 当0m时，0m且040m 40m 变 3：18log)(223xnxmxxf的定义域为 R,值域为 2,0，求 m,n 的值 解：由题意，令 9,11822xnxmxy，得0-8-2nyx

14、xmy）（my 时，0016-)(-2mnynmy-1 和 9 时016-)(-2mnynmy的两个根 5 nm 当my 时，08-mnx Rx，也符合题意 5 nm 例 7：原题：:若)0(1)1(2xxxxf,则)(xf 分析:用倒数换元 解:令txxt11则,所以)0()1(11)(2ttttf 将 t 换成 x 得到:)0()1(11)(2xxxtf 变题 1：设)(xf满足关系式,3)1(2)(xxfxf求)(xf的解析式 解：txxt11则 ttftf13)(2)1(将 t 换成 x 得到:xxfxf13)(2)1(与原式联立方程组消去)1(xf得到 2()(0)f xx xx 变

15、题 2：已知()()af xfxbx，其中12a试求)(xf的解析式 解：用相反数换元 令,tx xt 代入到原式当中得到：()()aftf tbt 将 t 换成 x 得到:()()afxf xbx 与原式联立方程组，得到：2(1)()(1)af xb ax 12a 2(1)()(1)1b abf xxxaa 变题 3：已知22(43)(34)2,afxbfxx ab，试求)(xf的解析式 解：令43xt，则232tx 3()()2taf tbft 1 将1 中 t 换t 得到:3()()2taftbf t 与()1联立方程组得到：223()()()22ababf ttab 22ba 13()

16、2()2()f ttabab 13()2()2()f xxabab 变题 4：已知2()()1,nnaf xfxbxan，其中为奇数，求)(xf 解：设nntxtx,代入原式得：()()naf tftb t 将 t 换成t 得到:ntbtftaf)()(与上式联立方程组得到 ntabtfa)1()()1(2 12a 2(1)()(1)1nnb abf xttaa )(xf的解析式为：2(1)()(1)1nnb abf xxxaa 例 8：原题：已知)(xf对于任意实数yx.满足)()()(yfxfyxf，当0 x时，0)(xf 求证)-(-)(xfxf 判断)(xf的单调性 证明（1）令,0

17、yx得)0()0()0(fff 0)0(f 令-yx，得0-x)()()0(fxff )-(-)(xfxf （2）设21xx，则)()-()()-()(11211212xfxxfxfxxxfxf )(xf在 R 上是单调函数 变题 1.已知函数是定义 R 在上的增函数，且满足-)()(xfyxf)(yf 求)1(f的值 若,1)6(f解不等式2)1(-)5(xfxf 解（1）令1 yx，得 )1(-)1()1(fff 0)1(f-在)(-)()(yfxfyxf中，令61=yx,得 1-)6(-)61(ff 从而2)61(-)6()36(fff 又原不等式可化为 )36()5(fxxf，且)(x

18、f是),0(上的增函数，原不等式等价于 36)5(xx 49-x 又 0 x 05 x 解得 40 x 原不等式的解集为（0，4）例 9：原题：2ax-021ax恒成立，求a的取值范围 解：1、当0a 时021 2、0a 20a 2a-214 a0 20 a 变式 1：已知函数 212axaxxg的定义域为R，求实数a的取值范围。解：由题意得021ax-2ax恒成立，1、当0a 时021 2、0a 20a 2a-214 a0 20 a 变式 2、函数 212axaxxg的定义域为R的充要条件是什么 解：由题意得021ax-2ax恒成立，1、当0a 时021 2、0a 20a 2a-214 a0

19、 20a 变式 3、2112axaxy的定义域为R，求实数a的取值范围。解：由题意得021ax-2ax恒成立，1、当0a 时021 2、0a 20 a 2a-214 a0 20 a 变式 4、2112axaxy的定义域为 R，求实数a的取值范围。解：由 题 意 得2ax-021ax无 解 即2,0 a-200214aa 或0a 20 a 变式 5、=y22(logax-)21+ax的定义域为 R，求a的取值范围 解：由题意得021ax-2ax恒成立，1、当0a 时021 2、0a 20 a 2a-214 a0 20 a 一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不

20、同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。上这种课主要是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。综上所述，在数学习题教学中，选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题，采用一题多解与一题多变的形式进行教学，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入胜境，从而使学生开拓知识视野，增强能力，发展创造思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。一题多解与一题多变是发散思维在数学上的具体体现，应该说，通过一题多解与一题多变的训练，学生的解决问题上的能力会进一步提高和优化，但一题多解的最终目的不是来展示有多少种解决问题的途径，也不是所有的题目都需要用多种方法去解决，而是要寻找一种最佳、最近的途径，也就是说，掌握一题多解的最终目的是为了一题一解。因此，教学中教师不仅要善于诱导学生去发现问题，更要善于帮助他们总结归纳问题，使其认知水平有所提高。在习题中精选习题，将一题多解引入课堂，可使课堂变得其妙无穷，由平淡变得神奇，培养了学生的发散思维品质，拓宽解题思路，提高解题灵活性。