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1、第二章 平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法 班级：_ 姓名：_ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知直线2xya与圆224xy交于A，B两点，O是坐标原点，向量OA，OB满足|OAOBOAOB，则实数a的值为 A2 B2 或2 C1 或1 D6或6【答案】C【解析】|OAOBOAOB，两边平方，得0OA OB，即OAOB，如图所示 故圆心(0,0)到直线20 xya的距离|2|22ad，求得1a 故选 C 2设(3,4)a，ab且b在x轴上的投影为 2，则b A8(2,)3 B3(2,)2 C8(2,)3 D3(2,)2【答案】B【解析】由题意，可设(
2、2,)by，ab 0a b 2340y ，解得32y 3(2,)2b 故选 B 3已知向量123,OP OP OP满足1230OPOPOP，123|1OPOPOP则123PP P的形状为 A正三角形 B钝角三角形 C非等边的等腰三角形 D直角三角形【答案】A【解析】1230OPOPOP可得123OPOPOP，两边同时平方可得222121232OPOPOP OPOP 123|1OPOPOP 1212OP OP 由向量的数量积的定义可得，12120POP 同理可得121323120POPPOPPOP 123|1OPOPOP 可得12313221360PP PPP PP PP 则三角形为等边三角形
3、故选 A 4在ABC内使222APBPCP的值最小的点P是ABC的 A外心 B内心 C垂心 D重心【答案】D【解析】令CAa，CBb，设CPm，则APma，BPmb，于是22222222221132()3()()33APBPCPmab mabmababab 所以当1()3mab时，222APBPCP最小，此时111()333OPOCCPOCCACBOAOBOC，则点P为ABC的重心 故选 D 5已知点G是ABC的重心，(,)AGABACR，若120A，2AB AC ，则|AG的最小值是 A33 B22 C23 D34【答案】C【解析】由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，21()33A
4、GADABAC 120A，2AB AC ，则根据向量的数量积的定义可得，|cos1202AB ACABAC 设|,|ABx ACy|4ABAC 即4xy 222221111|()243333AGABACABACABACAB ACxy 2228xyxy（当且仅当xy取等号）2|3AG即|AG的最小值为23 故选 C 6已知向量OA，OB满足|1OAOB，0OA OB，(,)OCOAOBR，若M为 AB的中点，并且|1MC，则点(,)的轨迹方程是 A2211()()122 B221()(1)12 C22(1)(1)1 D2211()()122【答案】D【解析】向量OA，OB满足|1OAOB，0OA
5、 OB，将A，B放入平面坐标系中，令(1,0)A，(0,1)B，M为AB的中点，1(2M，1)2，(,)OCOAOBR，(1OCOAOB，0)(0，1)(，)，即(,)C，1(2MC，1)2，|1MC，2211()()122 故选 D 7已知正方形 ABCD 的边长为 1，设ABa，BCb，ACc，则|abc等于 A0 B2 C2 D2 2【答案】C【解析】：如图，abc，有|2abc|a，又|1a 有|2abc，故选 C 8在ABC中，7AB AC，|6ABAC，则ABC面积的最大值为 A24 B16 C12 D8【答案】C【解析】设A、B、C所对边分别为a，b，c，由7AB AC，|6AB
6、AC，得cos7bcA，6a，22222111491sin11492222ABCSbcAbccos Abcb cb c，由余弦定理可得222cos36bcbcA，由消掉cos A得2250bc，所以222bcbc，所以25bc，当且仅当5bc时取等号，所以22149 122ABCSb c，故ABC的面积的最大值为 12，故选 C 9若a，b，c均为单位向量，且12a b ，(,)cxayb x yR，则xy的最大值是 A2 B3 C2 D1【答案】A【解析】a，b，c均为单位向量，且12a b ，(,)cxayb x yR，222222()21cxaybxyxya bxyxy，设xyt，ytx
7、，得：22()()10 xtxx tx，223310 xtxt，方程223310 xtxt 有解，22912(1)0tt，2312 0t，22t xy 的最大值为 2 故选 A 10平面内ABC及一点O满足,|AO ABAO AC CO CACO CBABACCACB，则点O是ABC的 A重心 B垂心 C内心 D外心【答案】C【解析】平面内ABC及一点O满足|AO ABAO ACABAC，可得()0|ABACAOABAC，所以O在CAB的平分线上，|CO CACO CBCACB，可得：()0|CACBCOCACB，所以O在ACB的平分线上，则点O是ABC的内心 故选 C 11在ABC中，若11
8、32ADABAC，记1ABDSS，2ACDSS，3BCDSS，则下列结论正确的是 A3123SS B2312SS C2123SS D123163SSS【答案】C【解析】如图，作11,32AEAB AFAC，则ADAEAF，四边形AEDF是平行四边形，ADEADFSS，设ABD的边AB上的高为1h，ACD的边AC上的高为2h，则：1211|22AE hAF h，121 111(|)(|)3 222AB hAC h，121132SS，21123132SS 故选 C 12在平面直角坐标系 Oy 中，点(5,0)A，对于某个正实数k，存在函数2()(0)f xaxa，使得()(|OAOQOPOAOQ为
9、常数），这里点P、Q的坐标分别为(1P，f（1），(Q k，()f k，则k的取值范围为 A(2,)B(3,)C4，)D8，)【答案】A【解析】由题设知，点(1,)Pa，2(,)Q k ak，(5,0)A，向量(1,)OPa，(5,0)OA，2(,)OQk ak，(1,0)|OAOA，22221(,)|11OQakOQa ka k，()(|OAOQOPOAOQ为常数），2211(1)1a k，221akaa k，两式相除得，2222111(1)1a kaaka k，整理，得：2211ka k，220ka k 2(1)2ka，且2k 221ka，且2011a 2221ka 故选 A 二填空题 1
10、3ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为G，若2330aGAbGBcGC，则cos B 【答案】112【解析】重心为G，2330aGAbGBcGC，233abc，不妨设2331abc，则1111493cos1 11222 3B 故答案为：112 14在边长为 1 的正三角形ABC中，向量BDxBA，CEyCA，0 x，0y，且1xy，则CD BE的最大值为 【答案】38【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则点1(2A，0)，1(2B，0)，3(0,)2C；设点1(D x，0)，2(E x，2)y，BDxBA，11(2x，0)(1x，0)，112xx ；CEyCA，2(x，231)
11、(22yy，3)2，212xy，23322yy；1(CD BEx，231)(22x，212213111333)()()()()22222222yx xyxyy 211113()1()222228xyxyxy，当且仅当12xy时取“”；故答案为：38 15已知向量a，b满足|1a，|2b，|2ab，则|ab 【答案】6【解析】|1a，|2b，|2ab，若向量a，b间夹角为，则4142|cosa b，1|cos2a b，2(|)142|cos6aba b，|6ab，故答案为：6 16已知|1ab，a与b夹角是120,23,4cab dkab且c与d垂直，k的值为 【答案】16【解析】23,4cab
12、 dkab且c与d垂直，0c d|1ab，a与b夹角是120 2(83)cos120120kk 3282kk 16k 故答案为：16 三解答题 17已知ABC中，|10AC，|5AD，511ADDB，0CD AB （1）求|ABAC；（2）设BAC，且已知4cos()5x，02x，求sin x【答案】（1）14；（2）34 310.【解析】（1）由已知511ADDB，即115DBAD，|5AD，|11DB，0CD AB，CDAB，在Rt BCD中，222BCBDCD，又222CDACAD，2222196BCBDACAD，|14ABACBC （2）在ABC中，1cos2BAC，3 即4cos()
13、cos()35xx，3sin()35x，而0,2633xx，则13sin()sin()sin26332x，3sin()35x，34 3sinsin()3310 xx 18在平面直角坐标系中，已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求：（1）2ABAC的模；（2）cosBAC【答案】（1）5 2；（2）2 1313.【解析】（1）如图，(1AB ，1)(1,5)AC；故2(2ABAC，2)(1，5)(1，7)；故22|2|175 2ABAC；（2）cos|AB ACBACABAC 2(1,1)(1,5)1 1 15 15226 2 1313 19已知a，b的夹角为120，|2a，|3b，记
14、|32mab，2nakb（1）若mn，求实数k的值（2）是否存在实数k，使得/mn？说明理由【答案】（1）43k；（2）32，43k .【解析】（1）mn，0m n，即(32)(2)0abakb，即226|(34)|cos1202|0aka bk b，即124(34)23()1802kk ，解得，43k （2）若/mn，则mn，即322abak b，即23，2k，解得，32，43k 20已知(3,2)A、(2,1)B、(1,1)C且2APPB （1）证明：ABC是等腰直角三角形（2）求cosAPC【答案】（1）证明见解析；（2）3 1010.【解析】（1）证明：由题意得(2,3)CA，(3,2
15、)CB 因为0CA CB，所以CACB 所以ABC是直角三角形 又|4913CA，|9413CB，|CACB，ABC是等腰直角三角形（2）解：设点(,)P x y，则(3,2)APxy，(2,1)PBxy 2APPB，342xx且222yy，解得7x ，0y，(7,0)P，(8,1)PC，(10,2)PA 78PA PC，|65PC，|2 26PA，783 10cos1065 2 26APC 21已知|1a，|2b，a与b的夹角为60（1）求ab与a的夹角的余弦值；（2）当|atb取得最小值时，试判断atb与b的位置关系，并说明理由【答案】（1）2 77；（2）14ab与b垂直.【解析】（1）
16、已知|1a，|2b，a与b的夹角为60 则：|cos601a ba b 所以：2|()7abab，设ab与a的夹角为，则2()2 7cos7|ab aab aabaaba，所以ab与a的夹角的余弦值为2 77（2）位置关系为：14ab与b的位置关系为垂直 理由是：2|atb，2222ata bt b，2421tt，2134()44t，当|atb取得最小值时，解得：14t 则：211()044ab ba bb，所以：14ab与b垂直 22已知向量(2,2)OA，(4,1)OB ，点P在x轴的非负半轴上(O为原点）（1）当PA PB取得最小值时，求OP的坐标；（2）设APB，当点P满足（1）时，求cos的值【答案】（1）(0,0)OP；（2）3 3434.【解析】（1）设(OPx，0)(0)x，则(2,2)PAx，(4,1)PBx 2226(1)7PA PBxxx 当0 x 时，PA PB取得最小值6，此时，(0,0)OP （2）由（1）知(0,0)OP，6PA PB ，PAOA，PBOB，63 34cos34|2 217PA PBPA PB