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1、 1 第二章 曲面论 高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理 2122LNMKk kEGF。注意 2(,)uvuuuur r rLn rEGF，2(,)uvuvuvr r rMn rEGF，2(,)uvvvvvr r rNn rEGF 。所以 22LNMKEGF 2221(,)(,)(,)()uvuuuvvvuvuvr r rr r rr r rEGF，2 利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得 2(,)(,)(,)uvuuuvvvuvuvr r rr r rr r r(,)(,)uuvuvvvvuvuvuuuvrrrr r rrr r rrr uuuvuvvuuuvuuvvuvvvvvvuvv
2、vuvuuuuuvuuvvuvuuvvuvuvrrrrrrrrrrrrr rr rr rr rr rr rrrrrrrrrrrrr uvvuuvvvvvuvuuuuuvuuvvuvuuvvuvuvEFrrEFrrFGr rFGr rrrrrrrrrrrrr 0uvvuuvvvvvuvuuuuuvuuvvuvuvuvuuvvEFr rEFr rFGr rFGr rrrrrrrrrrrrr，（其中用到行列式按第三行展开计算的性质。）3 利用 uurrE，uvrrF，vvr rG，可得12uuuur rE，12uuvvr rE，12vvuur rG，12vvvvr rG，12vuuuvr rFE，1
3、2uvvvur rFG。由于 ()()uuvvuvuvuuvvuvvuuvvuuvuvrrrrrrrrrrrr ()()uvvuuvuvrrrr 11()()22vuuvvFGE 1122vuuuvvFGE；或者 uuvvuvuvrrrr()()uuvvvuvurrr r 11()()22uvvuuFEG 1122uvvvuuFEG；4 于是得到 221122111()221111110222222vuvvuuuvuvvvuuvuEFFGEFEKFGGFGGEGFEFEFEGEG (1)公式被称为高斯定理，且被誉为高斯绝妙定理。将上式中的行列式按第三列展开，并化简，可得 2221(2)4()v
4、vuvuKE E GF GGEGF(242)uvvuvvuvuuF E GE GE FF FF G 2(2)uuuvvG E GE FE 22()(2)vvuvuuEGFEFG,(2)高斯绝妙定理断言一个曲面的高斯曲率可以只用第一类基本量及其导数表示，从而K 事实上是曲面的一个内蕴不变量。5 高斯曲率用第一类基本量明确的表达式由 Brioschi 公式(1)给出。存在等距对应的两曲面，曲面上对应点处的高斯曲率必相等。球面片与平面片之间不存在等距对应。0uvvuuvvvvvuvuuuuuvuuvvuvuvuvuuvvEFr rEFr rFGr rFGr rrrrrrrrrrrrr 1221122
5、2221211221211121111022uvvvuuEFEFFGFGFEG，122112222212221122121112111()11022uvvvuuEFEFKFGFGEGFFEG。6 特别地，当曲面：(,)rr u v 上的坐标曲线网是正交网时，0F，此时 211002211100()221111110222222uvvuuvvvuuvuEGEEKGGGGEGEEEGEG 211111111111()()()2222222222vvuuvvuuuuvvEGEGGEGGE GEGGE GEEG 211()()24()vvuuvvuuuuvvEGEE GE G GEG GE GEEGE
6、G,即得 211()()24()vvuuvvuuuuvvKEGEE GE G GEG GE GEEGEG,(3)经过观察，通过凑微分，得到 211()()24()vvuuvvuuuuvvEGEE GE G GEG GE GEEGEG 3111()()()24()uuvvuuuvvvGEG EGE GE EGE GEGEGEG 7 3111()()()24()uuvvuuvvGEG EGE EGEGEGEG 11111()()2222uuuuvvvvGGEEEGEGEGEGEG 111()()22uuvvGEEGEGEG ()()1()()uvuvGEEGEG ，故有()()1()()uvuvG
7、EKEGEG，(4)（验算这个量的散度的动因，是在用测地曲率的刘维尔公式，推导高斯-波涅公式时，出现求散度的运算，导致两者的表达方式是一致的。）()()1()()uvGEKuvEGEG 。8 11111()()KEGEGuuvvEGEEGG，211()iiiiiiiKggguug。如果曲面在参数坐标网(,)u v下的第一基本形式为222(,)()()u vdudv，则称此坐标网为等温参数网。2,0EGF，()()1()()uvuvGEKEGEG 21()()uvuv 21(ln)(ln)uuvv 21ln，其中2222uv 是关于变量,u v的Laplace 算子.9 于是在曲面上取等温参数网
8、(,)u v时，222(,)()()u vdudv，2EG，其中(,)0u v.此时 21lnK。例 求第一基本形式为222222()dudvdsuvc 的曲面高斯曲率。解 因为2221,0()EGFuvc，所以()()1()()uvuvGEKEGEG 22222222222222()2()4()()vcuucvuvccuvcuvc。例 求第一基本形式为 22()(,)()duG u v dv 的曲面上的高斯曲率。由（3）式，得 2111()24uuuuuuKGG GGGGG 。10 半测地坐标网下，高斯曲率的计算公式 在2C类曲面：(,)rr u v 上选一条测地线为v-曲线：0u；再取与正
9、交的测地线族为u-曲线，另取这测地线族的正交轨线为v-曲线，则得一半测地坐标网。对于这个半测地坐标网而言，曲面的第一基本形式 可以简化为 22()(,)()duG u v dv，其中(,)G u v满足条件(0,)1,(0,)0uGvGv。在曲面上选取了半测地坐标网后，曲面的高斯曲率有如下的计算公式 11 221GKuG 。常高斯曲率的曲面 现在设曲面的高斯曲率是常数，即K 常数，则得微分方程 220GK Gu。根据初始条件：(0,)1,(0,)0uGvGv，我们可按以下不同情形求出这个微分方程的解。（1）正常数高斯曲率的曲面，0K，此时()cos()sinGA vKuB vKu 。根据初始条
10、件，可得()1,()0A vB v，于是cosGKu，12 222()cos()duKu dv。实例：考虑球心在原点，半径为R的球面。取赤道为最初给定的测地线，则所有经线是与赤道正交的测地线，所有纬线是这测地线族的正交轨线，因此球面上的经线和纬线构成半测地坐标网。设球面上点的经度为v，纬度为u，则球面的参数表示是(coscos,cossin,sin)rRuvuvu。(sincos,sinsin,cos)urRuvuvu，(cos sin,coscos,0)vrRuvuv，2,0,uuuvErrRFrr 22cosvvGrrRu，22222()cos()RduRu dv。13 在球面上重新选择参
11、数，命,uRu vRv 于是 222()cos()ududvR，高斯曲率 222111(cos)cosGuKuuRRGR ，因此得到 222()cos()duKu dv，所以正常数高斯曲率的曲面的第一基本形式与球面的相同。正常数高斯曲率的曲面与同高斯曲率的球面之间存在着保距变换。（2）0K，从而有1G，因此22()()dudv，所以零高斯曲率的曲面的第一基本形式与平面的相同。14（3）负常数高斯曲率的曲面，0K，此时()()GA v chKuB v shKu 。根据初始条件，可得()1,()0A vB v，于是GchKu，222()()duchKu dv。由此可知,具有相同常数高斯曲率的曲面都
12、可适当选取参数,使曲面具有相同的第一基本形式,因此可建立等距对应.由上述定理知道,具有常数高斯曲率的曲面(这种曲面称为常曲率曲面)可按K 0;K=0;K 0 分成三种类型.而属于同一类型的曲面它们的内在几何是相同的.平面作 为高斯曲率为零的代表;球面作为高斯曲率为正常数的代表.换句话说,高斯曲率为零的曲面都可以与 15 平面建立等距对应,高斯曲率为正常数的曲面都可以与球面建立等距对应.那么自然会问什么曲面可以作为高斯曲率为负常数的代表?设21Ka ,我们可以在旋转曲面中找出这个代表.设旋转曲面的待定母线为Oxz平面中的曲线()zz x.把它绕z 轴旋转后形成了旋转面()cos,()sin,()
13、rx tx tz t，tx；代入旋转曲面的高斯曲率公式 22 2()()()()()()()()x t ztx t z t z tKx tx tz t 得其高斯曲率为 2 2()()1()z x zxKxz x 16 为了使这个曲面的高斯曲率21Ka 所以待定函数()zz x就必须满足下列方程:2 22()()11()z x zxxz xa，将其改写成 222 221()1 1()2 1()2z xxz xa，两边积分后得到2122111()xCz xa 取积分常数10C,于是可解出 222()xz x xa，由此得出22()axz xx，22axdzdxx，令sinxat，则2cos1 si
14、ncossinsinattdzatdtadtatt 1(sin)sinat dtt 21(sin)2tancos22at dttt，于是 17(lntancos)2tzat 。因此，以母线 sin(lntancos)2xattzat 绕z-轴旋转后所得的旋转曲面的高斯曲率正好等于负常数21Ka。我们把母线(4.4)称为曳物线.而把曳物线绕z-轴旋转后所得的曲面称为伪球面.由著名的高斯定理,曲面的高斯曲率K被其第一基本形式完全确定.因此,若两个曲面可建立等距对应,则对应点的高斯曲率必相等.但反之则不然.【例】证明:曲面:(cos,sin,)S ruv uv v，（正螺面）1:S111111(co
15、s,sin,ln)ruv uvu，(旋转曲面)18 在点(,)u v与11(,)u v处的高斯曲率相等,但曲面S 与1S不存在等距对应.【证明】容易算出正螺面S与旋转曲面1S 的第一基本形式分别为 222()(1)()duudv，2221111211(1)()()duudvu 再利用正交网时高斯曲率的计算公式(即高斯方程)()()1()()uvuvGEKEGEG 经过计算得出曲面S 和1S 的高斯曲率分别为 221(1)Ku，12211(1)Ku 。19 因此取对应点11(,)(,)u vu v，便成立1KK。但是曲面S 与1S不存在等距对应.我们用反证法.若曲面S 与1S之间存在等距对应,它
16、的对应关系为11(,),(,),uu vvu v 则对应点的高斯曲率必相等,所以得出1(,)(,)K u vK u v，即22221(1)(1)uu，或221(1)(1)uu ；(1)若221(1)(1)uu 则221uu或 1uu 。因此对应关系为11,(,),uuvu v 这时1S的第一基本形式 2221111211(1)()()duudvu 22221(1)()()uvduududvu 222222221(1)()2()uuvvuduududvudvu，20 因为是等距对应,故1 ，比较得出 2222222111,0,1,uuvvuuuuu 由其中第二式得出0u或0v,再由第一式或第三式
17、得出210u或210u ，这显然不可能成立.因此这种情况不可能.(2)若221(1)(1)uu ，则2212uu。这显然不可能成立.因此曲面S 与1S之间不能存在等距对应.尽管在对应点具有相同高斯曲率的曲面不能建立等距对应,但是对高斯曲率为常数的曲面,若在对应点具有相同高斯曲率是必可建立等距对应的.21 定理4.1(Minding定理)具有相同常数高斯曲率的曲面总可建立局部等距对应.证明 设曲面S 的高斯曲率K是常数,。在S 上取任意点P 和过P 点的任意测地线,把作为v-曲线0u；且从P 点起的弧长为v.再取与正交的测地线族为u-曲线，另取这测地线族的正交轨线为v-曲线，则得一半测地坐标网。
18、对于这个半测地坐标网而言，（注意,这时:0u 的曲线也是测地线）。因此曲面的第一基本形式 可以简化为 22()(,)()duG u v dv，根据假设v 是 的弧长,所以 22 22()(0,)()dvGv dv，于是 (0,)1Gv (4:1)又因 是测地线,根据Liouville 公式知 001ln|02vguuGkuE 即成立(0,)0uGv (4:2)另一方面,将E=1 代入高斯方程,得 221GKuG ，或220GK Gu，其中(,)G u v满足条件(0,)1,(0,)0uGvGv。23 这个微分方程的通解可按高斯曲率K的符号分为三种情形:Liouville形式的高斯方程 1()()()()2vuvuvuuvEGFFKggggg 214uuuvvvEFGEFGgEFG ，其中2gEGF。