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1、 14 机械振动基础 目 录 第一章 导 论 1.1 引言 1.2 振动的分类 1.3 离散系统各元件的特征 1.4 简谐振动及其表示方法 1.5 叠加原理 1.6 振动的幅值度量 第二章 单自由度系统 2.1 引言 2.2 无阻尼自由振动 2.3 阻尼自由振动 2.4 单自由度系统的简谐强迫振动 2.5 简谐强迫振动理论的应用 2.6 周期强迫振动 2.7 非周期强迫振动 第三章 二自由度系统 3.1 引言 3.2 运动微分方程 3.3 不同坐标系下的运动微分方程 14 3.4 无阻尼自由振动 第四章 多自由度系统 4.1 运动微分方程 4.2 固有频率与振型 4.3 动力响应分析 4.4
2、动力响应分析中的变换方法 第五章 随机振动 5.1 随机过程 5.2 随机过程的数字特征 5.3 平稳过程和各态历经过程 5.4 正态随机过程 5.5 相关函数 5.6 功率谱密度函数 5.7 线性振动系统在单随机激励下的响应 5.8 线性系统在两个随机激励下的响应 14 第一章 导 论 1.1 引言 振动：指一个物理量在它的平均值附近不停地经过极大值和极小值而往复变化。机械振动：机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。机械振动研究对象：机械或结构，在理论分析中要将实际的机械或结构抽象为力学模型，即形成一个力学系统。激励或输入：外界对振动系统的激励或作用。响应或输出：系统对外界影响的反应
3、，如振动系统某部位产生的位移、速度、加速度及应力等。机械振动研究内容：研究激励、响应和系统三者之间的关系。激励、系统和响应三者知其二可求出第三者。常见的振动问题的三种基本课题：1振动设计 已知外界激励的条件下设计系统的振动特性，使其响应满足预期的要求。2系统识别 根据已知的激励与响应的特性分析系统的性质，得到振动系统的全部参数。系统 激励 输入 响应 输出 14 3环境预测 已知系统振动性质和响应，研究激励的特性。1.2 振动的分类 1.2.1 线性振动和非线性振动 振动可分成线性振动和非线性振动两种。线性振动：系统在振动过程中，振动系统的惯性力、阻尼力、弹性力分别与绝对加速度、相对速度、相对
4、位移成线性关系。线性振动系统可以用线性微分方程描述。非线性振动：系统的惯性力、阻尼力、弹性力与绝对加速度、相对速度、相对位移不是线性关系。非线性振动系统只能用非线性微分方程描述。1.2.2 确定性振动和随机振动 确定性振动：系统的振动对任意时刻t，都可以预测描述它的物理量的确定的值 x。反之为随机振动。在确定性振动中，振动系统的物理量可以用随时间变化的函数描述。随机振动只能用概率统计方法描述。1.2.3 离散系统和连续系统 系统的自由度数：描述系统运动所需要的独立坐标的数目。连续系统：振动系统的质量和刚度都是连续分布的，需 14 要无限多个自由度才能描述它们的振动，它们的运动微分方程是偏微分方
5、程。离散系统：在结构的质量和刚度分布很不均匀时，或为了解决实际问题的需要，把连续结构简化为由若干个集中质量、集中阻尼和集中刚度组成的系统。离散系统是指系统只有有限个自由度。描述离散系统的振动可用常微分方程。1.2.4 其他的分类 按外界激励情况和系统对激励的响应情况分类。按激励情况分类：自由振动：系统在初始激励下或原有的激励消失后的振动。强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动。按响应情况分类：大致可分为确定性振动和随机振动。其中确定性振动又可分为：简谐振动：振动的物理量为时间的正弦或余弦函数。周期振动：振动的物理量为时间的周期函数，可用谐波分析的方法归结为一系列简谐振动的叠加。显然，简
6、谐振动也是周期振动。瞬态振动：振动的物理量为时间的非周期函数，在实际的振动中通常只在一段时间内存在。14 1.3 离散系统各元件的特征 离散振动系统三个最基本的元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。弹性元件：忽略其质量和阻尼，在振动过程中储存和释放势能。弹性力与其两端的相对位移成比例，方向相反。)(122xxkFs 线性扭转弹簧：)(122tskT 阻尼元件：在振动过程中消耗振动能量。在线性振动系统中，阻尼力的大小与阻尼元件两端的相对速度成比例，方向相反，这种阻尼又称为粘性阻尼。忽略粘性阻尼元件的质量和弹性。)(122xxcFd 惯性元件：完全刚性且无阻尼，在振动过程中储存和释放动能。集中质量的
7、惯性力与惯性坐标系下的加速度(绝对加速度)成正比，方向相反。xmFm 扭转振动系统：ITm 若干个元件串联或并联的情况，等效刚度、等效阻尼和 14 等效质量。1.4 简谐振动及其表示方法 1.4.1 简谐振动 周期运动满足)()(txTtx 简谐运动满足：)sin()(tAtx 或 )cos()(tBtx T2 21Tf 1.4.2 两种常用的简谐振动表示方法 1.向量表示法 2.复数表示法 1.5 叠加原理 叠 加 原 理：一 个 线 性 振 动 系 统，激 励 F1(t)、F2(t)、Fn(t)，分别对应于响应 x1(t)、x2(t)、xn(t)，若激励为 F1(t)=c1F1(t)+c2
8、 F2(t)+.+cnFn(t)，则有对应的响应x(t)=c1 x1(t)+c2 x2(t)+.+cnxn(t)成立。14 1.6 振动的幅值度量 1峰值 max)(txX 2平均值 TdttxTTx0)(1lim 3均方值 TdttxTTx022)(1lim 4均方根值(rms)是2x的平方根。2xxrms 第二章 单自由度系统 基本内容：无阻尼自由振动 阻尼自由振动 单自由度系统的简谐强迫振动 简谐强迫振动理论的应用 周期强迫振动 非周期强迫振动 14 2.1 引言 单自由度系统：只有一个自由度的振动系统。可用一个常系数的二阶线性常微分方程描述其振动规律。2.2 无阻尼自由振动 自由振动：
9、系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动形态。2.2.1 运动微分方程 列出系统的运动微分方程步骤：1.取一个坐标系，原点为静平衡时质量所在位置。2.设质量沿坐标正向有一移动，考察质量的受力情况，画出隔离体图。3.按牛顿第二定律写出运动微分方程。4.确定系统初始的运动状态。00)0(,)0(0 xxxxkxxm 或 002)0(,)0(0 xxxxxxn 系统的固有频：mkn/方程的通解为：14)cos(sincos21tAtAtAxnnn nnnxxarctgxxAxAxA0020200201)/(/,单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动。周期：kmTn22 频率：mkTfnn2121 系
10、统的动能、势能：2221,21kxUxmEt 0)(UEdt 即 常数EUEt 无阻尼自由振动时，振动系统为一保守系统，总机械能在运动中保持不变。EkAUEt2maxmax21 定义动能系数：2max22121xmmAT/max2TUmkn 对于单自由度系统无阻尼自由振动系统，有以下结论：1.单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动。运动的中点为系统的静平衡位置。2.振动频率只与系统的刚度、质量有关。14 3.n、nf与k成正比而与m成反比。4.振动得以维持的原因是系统有储存动能的惯性元件和储存势能的弹性元件。振动时动能、势能不断相互转换。上面的结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐标系有助于简化
11、问题的求解。2.2.2 求固有频率的方法 方法 1：列出系统运动微分方程，求出系统的固有频率，mkn/。需已知系统的刚度和质量。方法 2：静态位移法。根据虎克定律，弹簧质量系统静止时在重力的作用下弹簧被压缩，有：mgk 故：/2gmkn 方法 3：能量法。用能量法求固有频率有两种方法：一 种 方 法 是 求 出 系 统 的 动 能 和 势 能，再 根 据0)(UEdt求出系统的运动微分方程，从而得到固有频率。另一种方程是求出系统的最大势能和动能系数 2max22121xmmAT，然后根据/max2TUmkn求出固有频率。2.2.3 有效质量 离散系统模型约定，系统的质量集中在惯性元件上，弹性元
12、件无质量。当弹性元件的质量占系统质量的相当部分时，略去它会使计算得到的固有频率住偏高。14 可以采用能量等效的方法，加大惯性元件的数值，使惯性元件的动能等于系统的总动能，再把弹性元件的质量略去。对于质量均布弹簧，在考虑弹簧质量的条件下，系统的固有频率：3/mmkn 系统在动能意义下的质量为系统的等效质量。它并不一定等于系统惯性元件的质量加上其他元件的质量。等效刚度的定义同理。2.3 阻尼自由振动 阻尼：度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼 粘性阻尼力的大小与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼自由振动系统运动微分方程为：00)0(,)0(0 xxxxk
13、xxcxm 定义系统的临界阻尼：nemmkc22 定义为系统的阻尼比（相对阻尼系数）：022ccmkcmcn 14 利用，可把阻尼自由振动系统运动微分方程为变换为：022xxxnn 根据的大小，可得到三种不同形式的解：1.1：强阻尼(过阻尼)。系统运动微分方程的通解为：)(121122tttnnneAeAex)1(2120002,1nnxxxA 强阻尼情况下系统的运动不是振动。2.1：临界阻尼。系统运动微分方程的通解为：ttnnteAeAx21 00201,xxAxAn 临界阻尼情况下系统的运动也不是振动。3.0 时有峰值，而且峰值)(Hmax1。关注0、n这三个特殊点，)(H和)(分别为 2
14、1)(,0)(,1)0(nHHH 2/)(,)(,0)0(n 根据频率比n/的大小，可以把系统响应分成三个不同的范围，由向量图可清楚看出这三个范围的特点。当n/1：激励主要是与惯性力平衡。因为激励频率很高，使激励力方向变化过快，系统由于惯性来不及跟随。当n即共振时：响应的振幅比静位移大，激励力与阻尼力平衡，弹性力与惯性力平衡。称n/1 附近为系统的共振区。峰值点并不在频率比n/=l 的位置，而在221/n处，即激励频率小于固有频率的地方。2.4.3 能量关系与等效阻尼 1.能量关系 对于无阻尼系统，由于无阻尼，振动时无能量消耗。当激励频率n时，无能量输入，外力对系统不做功。当n时，外力对系统做
15、功，使系统能量越来越大，以致振动的振幅越来越大。无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，由于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成系统的机械能即振动的能量。外力持续给系统输入能量，使系统的振动能量直线上升，振幅逐渐增大。由此可知，即使是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积累振动能量。在实际中有些机械结构在起动或停机时无法避免通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅速通过共振区的办法来解决。2.等效阻尼 14 假定系统做简谐振动，令原系统耗散的能量与粘性阻尼耗散的能量相同，从而求出等效阻尼系数。2.5 简谐强迫振动理论的应用 2.5.1 旋转失衡引起的强迫振动 图
16、失衡激励下的幅频特性图、相频特性图 特点：当0/n，即转速远低于系统的固有频率时，0eXmM，也就是说失衡激励引起的振动很小。当n/，即转速远高于系统的固有频率时，1eXmM，即响应的振幅MmeX，为一个确定的值。14 n/1，即转速接近但略高于系统的固有频率时，响应的振幅最大（共振），2.5.2 支承运动引起的强迫振动 图 支承激励下系统的幅频特性图、相频特性图 特点：当2/n时，无论阻尼比为何值，响应幅值总是与激励幅值相等，即X/Al。当2/n时，阻尼抑制了响应的幅值，阻尼比越大，响应的幅值越小。但无论阻尼为何值，响应的幅值总大于支承运动的幅值，即XA。14 当2/n时，响应的幅值总小于支
17、承运动的幅值，即XA。但越大，响应的幅值反而增大。2.5.3 隔振原理 振动隔离指将机器或结构与周围环境用减振装置隔离，它是消除振动危害的重要手段。积极隔振：自身是振源，为减少其对周围环境的影响，将其与支承它的基础隔离开。消极隔振：对允许振动很小的精密仪器和设备，为减少周围环境振动对其影响，需要把它与支承它的基础隔离。两种隔振的原理相似，基本作法都是把需要隔离的机器设备安装在合适的具有弹性和阻尼的减振装置或隔振装置上，使大部分振动被减振装置或隔振装置吸收，以阻断振动的传递。隔振与频率比和阻尼比的关系图（振源作简谐振动时）隔振要求：14 无论阻尼大小，仅当频率比2/n才有隔振效果。即在隔振设计中
18、，系统的固有频率要小于振源振动频率。随n/增大，隔振效果提高，在实际应用中取55.2/n已足够。在2/n时，阻尼增大使隔振系数增大，降低了隔振效果。但阻尼比不是越小越好，实际问题中激励频率是由零逐步增加到某一定值，此过程中不可避免要与系统的固有频率重合，产生共振。阻尼过小将使系统过共振时振幅过大，造成破坏，因而要兼顾。一般希望有点阻尼以限制过共振时的振幅，但又不要太大以免降低隔振效果。常用的隔振材料阻尼并不大，因此在5.2/n以后计算隔振系数时可不考虑阻尼的影响。2.5.4 惯性式测振仪原理 14 图 惯性式测振仪系统的幅频特性图、相频特性图 当1/n，即激励频率远小于系统固有频率时，1)(H
19、，2)/(nAZ 测振仪壳体（被测结构）的加速度幅值：2Ay ，即Z与测振仪壳体的加速度幅值成比例（加速度计）。加速度计是高固有频率仪器。当1/n，即激励频率很高时，AHAZn)()/(2 即激励频率很高时，测振仪的质量块在惯性空间中几乎保持不动，与结构相接的仪器壳体相对质量块运动。仪器的相对振幅Z与激励幅值A相等，此时仪器用于测量振动位移（位移计）。位移计是低固有频率仪器。2.5.5 转轴的横向振动 14 特点：如果转轴的转速远小于n时，圆盘的挠度很小。当n即共振时，圆盘的挠度为2e，如果阻尼很小，圆盘的挠度将很大。当n时，圆盘的挠度约等于e。2.6 周期强迫振动 周期强迫振动的求解方法：如
20、果周期激励中的某一谐波的幅值比其他谐波的幅值大的多，可视为简谐激励。反之，则应按周期激励求解。求解周期激励下系统的响应问题需要将激励展为傅里叶级数，然后分别求出各个谐波所引起响应，再利用叠加原理得到系统的响应。在周期激励时，只要系统固有频率与激励中某一谐波频率接近就会发生共振。2.7 非周期强迫振动 采用卷积积分处理：在系统受任意持续的激励时，按照 14 高等数学中积分时对被积函数的处理，可把激励看为一系列脉冲力的叠加。2.7.2 傅里叶变换方法 傅里叶变换：在频率域内分析激励频谱，响应频谱以及系统特性的频域描述之间的关系。2.7.3 拉普拉斯变换方法 第三章 二自由度系统 3.1 引 言 多
21、自由度系统：指需要用两个或两个以上的独立坐标才能描述其运动的振动系统。3.2 运动微分方程)(tFxKxCxM 求系统的运动微分方程的一种比较简单的方法：先求出系统的动能、势能和能量耗散函数，然后利用：jiijjiijjiTijxxDcxxUkxxEm222,求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，最终求出系统的运动微分方程。3.3 不同坐标系下的运动微分方程 系统的质量矩阵和刚度矩阵(包括阻尼矩阵)的具体形 14 式与所选取的描述系统振动的广义坐标有关，合适的广义坐标能够解除方程的耦合。由于不同广义坐标之间存在着线性变换关系，所以，方程解耦的问题就归结为寻找一个合适的线性变换矩阵u，使变换后
22、系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为对角矩阵。3.4 无阻尼自由振动 1、基本概念 固有频率 固有振型（振型）振型图：用图形直观显示固有振动时各个坐标之间的相互位置关系（横坐标表示系统各点的静平衡位置，纵坐标表示各点的振幅比）2、二自由度无阻尼系统的固有频率、振型和自由振动响应的求解方法（1）利用特殊初始条件（对称或反对称条件）（2）任意的二自由度无阻尼系统的固有频率、振型和自由振动响应的求解方法 步骤：求系统的质量矩阵和刚度矩阵；列出系统的特征方程或频率方程0)(222ijijmkMK求出2个固有频率；将 2 个固有频率依次代入0)(2uMK求出各自对应的振型；求系统的响应。14 第四章
23、多自由度系统 多自由度振动系统：指需要用两个或两个以上的独立坐标才能描述其运动的振动系统。描述其振动的运动微分方程为常微分方程组。本章主要内容：多自由度系统振动的基本理论；多自由度系统的固有频率和振型；多自由度系统动力响应分析-振型迭加方法；多自由度系统动力响应分析-变换法（傅里叶变换和拉普拉斯变换）。4.1 运动微分方程 n 个自由度的振动系统的运动微分方程可以写为)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 刚度矩阵K各元素 kij的意义（定义法求刚度矩阵）：如果系统的第 j 个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，
24、其中在第 i 个自由度上施加的外力就是 kij。14 系统的质量矩阵、阻尼矩阵定义类似。能量法求解系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵。jiijjiijjiijjiijjiijTjiTijkxxUxxUkcxxDxxDcmxxExxEm222222 质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均为对称矩阵。方程)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 的求解方法：寻找一个新的描述系统运动的广义坐标系，在这个新的坐标系下，系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为对角矩阵。4.2 固有频率与振型 在无阻尼自由振动时，系统的运动微分方程为：0 xKxM 求固有频率：由频率方程02ijijmk求得 n 个固有频率21，2
25、2，2n。14 将固有频率2r依次代入方程0)(2uKM可以求出与2r相对应的非零的振型ur。由于0)(2rruMK只给出了振型的方向，而振型的大小需要人为指定（振型的正规化）。振型的正规化：指定振型的大小。常用的两种振型正规化方案：(1)令ur满足 1rTruMu 此时有：22rrTrrrTruMuuKu(2)令ur的某一分量为 1。比如在振动模态实验中常常取ur的分量中绝对值最大的分量为 1，这样便于对振型和实际结构进行分析。再令 rrTrMuMu 此时有：rrrrrrTrrMuMuuKuK22 振型的一个重要性质：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量矩阵和刚度矩阵为权正交（振型的正交性
26、）。即：如果当sr 时，sr，则必然有 00rTsrTsuKuuMu 振型正交性的物理意义：系统的动能和势能均分别为各阶动能和势能之和；各个振型之间的动能、势能不交换，各振型在振动时相互独立、互不影响。14 振型的正交性和正规化可用统一的公式表达（振型的正规正交化条件）。srsrrs01 如果取振型正规化为1rTruMu，则振型的正规正交化条件可以写为 nsruKuuMursrrTsrsrTs,12 如果取振型正规化为rrTrMuMu，则振型的正规正交化条件可以写为 nsrMKuKuMuMursrrrsrrTsrsrrTs,12 振型矩阵u：列向量为相应的振型，即,21nuuuu 由全体振型构
27、成的向量组线性无关。振型矩阵u就是线性变换的矩阵。在振型坐标下 n 自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程：x=uy 0yuKyuM )0()0()0()0(1111xMuMyxMuMyTT 14 11uKuKuMuMTT 如果振型取1rTruMu、2rrTruKu正规化：)0()0()0()0(02xMuyxMuyyyTTr 如果振型取rrTrMuMu、rrrTrrMuKuK2正规化：)0()0()0()0(011xMuMyxMuMyyKyMTrTrrr 4.3 动力响应分析 动力响应分析：系统在外部激励作用下的响应分析。常用的动力响应分析方法：振型叠加法（本书讨论的内容）和逐步积分法，后者
28、是数值积分方法。这两种方法的特点是适于已知系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激励，求系统响应的情况，且便于用计算机编程求解。振型叠加法步骤：振型叠加方法求解式)0(,)0(00 xxxxfxKxCxM 的步骤如下：14 首先由0)(2uKM求出系统的固有频率、振型和矩阵。新、旧坐标变换。yux pfuyKyuCuyMTrTr 初始条件：)0()0(001001yxMuMyyxMuMyTrTr 解方程得到y，再由展开定理2211nnuyuyuyx得到系统响应x。上式中，阻尼矩阵可能不是对角矩阵，存在阻尼耦合。实践证明：在系统的各阶固有频率间隔较大，阻尼较小的条件下，可以对阻尼矩阵进行简化处理，
29、以方便计算。阻尼矩阵简化处理的三种方法：如果阻尼矩阵C已经求得，则在振型坐标下的阻尼矩阵Cn也可求得，此时最简单的处理方法是把Cn的非对角元素全认为是零，即人为将Cn变成对角矩阵。有时阻尼矩阵不容易求得，在求得各阶固有频率和振型后，可以按经验或规范给出各阶的阻尼比r。在实验模态分析中，通过实验得到的是系统的固有频率、振型，阻尼则往往是给出各阶的阻尼比。在振型迭加法中，有各阶的阻尼比已经足够用。系统的模态参数：各阶固有频率、振型、模态质量、模 14 态刚度、模态阻尼和阻尼比称。4.4 动力响应分析中的变换方法 动力响应分析中的变换方法：傅里叶变换和拉普拉斯变换。第五章 随机振动 确定性振动：系统
30、的振动，如果对任意时刻t，都可以预测描述它的物理量的确定的值x，即振动是确定的或可以预测的。随机振动：当以相同的条件重现振动时，会发现振动的物理量没有重复性，即无法预测其在将来某一时刻究竟取什么值。随机振动服从概率统计规律，其振动规律可以而且只能用概率统计方法描述（统计值）。工程上常用的最基本的数字特征有：1、均值：均值也就是数学期望。2、方差)(12tx：随机过程X(t)的标准差，它表示X(t)在t1时刻对均值x(t1)的偏离程度。3、自相关函数、互相关函数：自相关函数描述的是随机过程X(t)两个不同时刻之间 14 的线性依赖关系。互相关函数Rxy(tl，t2)和Ryx(t1，t2)描述了两个随机过程之间的线性依赖关系。非平稳过程：一个随机过程的统计性质、趋势与时间有关，随着时间的改变而改变。平稳过程：统计性质、趋势是与时间无关。各态遍历过程：在时域描述中，如果随机过程X(t)的样本函数的数字特征的数值大小与所选取的样本函数无关，即所有的样本函数具有相同的数字特征，这意味着这个随机过程的数字特征可由它的任一样本函数的数字特征得到。随机过程的数字特征的时间平均结果将与集合平均结果相等。因而，随机过程X(t)的集合平均可通过样本平均得到。具有这种性质的随机过程称为各态历经过程或各态遍历过程，简称遍历过程。正态随机过程(简称正态过程)：指随机过程的概率密度函数是正态的。（略）