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1、 1 普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷 理科数学 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如果复数21iz ，则（）Az的共轭复数为1 i Bz的实部为 1 C2z Dz的虚部为1 2已知全集U R，集合2|60Ax xx，(4)|0(1)xBxx，那么集合UAC B（）A 2 4)，B(13，C 21，D 13，3某校为了解 1000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取 40名同学进行检查，将学生从 11000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（
2、）A16 B17 C18 D19 4已知F是抛物线2:2C yx的焦点，点,P x y在抛物线C上，且1x，则PF（）A98 B32 C178 D52 5函数1sinyxx的图象大致是（）AB 2 CD 6若不等式组1,3,220 xyxy表示的平面区域经过所有四个象限，则实数的取值范围是（）A(,4)B 1,2 C2,4 D(2,)7假设你家订了一份牛奶，送奶人在早上 6：307：30 之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上 7：008：00 之间随机离家上学，则你在离家前能收到牛奶的概率是（）A81 B85 C21 D87 8我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数
3、RAND是产生随机数的函数，它能随机产生 01，内的任何一个实数）若输出的结果为521，则由此可估计的近似值为（）A3.119 B3.126 C3.132 D3.151 9将函数 2sin 26f xx的图像向左平移12个单位，再向上平移 1 个单位，得到 g x的图像若 129g x g x，且12,2,2x x ，则122xx的最大值为（）A4912 B356 C256 D174 3 10三棱锥SABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥SABC的外接球的表面积为（）A32 B1123 C283 D643 11过椭圆C：22221(0)xyabab的左顶点A且斜率为k的直线交椭
4、圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点2F，若1132k，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A1(0,)2 B2(,1)3 C12(,)23 D12(0,)(,1)23 12已知实数ba,满足225ln0aab，cR，则22)()(cbca的最小值为（）A21 B22 C223 D29 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13 已知向量a，b满足|2a，()3a b a，则向量b在a方向上的投影为 4 14如图，四棱锥PABCD中，PAA
5、BCD 平面，四边形ABCD为正方形，2PAAB，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 15 已 知 函 数 22 sin12f xxxx的 两 个 零 点 分 别 为()mn mn，则21nmx dx_ 16已知数列 na与 nb满足1122nnnnabbanN，若193nnab，nN且33633nnan对一切n N恒成立，则实数的取值范围是_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知22coscos22BAab322cab，（1）证明：ABC为钝角三角形；（2）若ABC的面积
6、为3 15，求b的值 18（本小题满分 12 分）一个袋中装有大小相同的球 10 个，其中红球 8 个，黑球 2 个，现从袋中有放回地取球，每次随机取 1 个求：（1）连续取两次都是红球的概率；（2）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过 4次，求取球次数的概率分布列及期望 5 19（本小题满分 12 分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面,ABCABC与ACD是边长为2的等边三角形，2,BEBE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上（1）求证：DE 平面ABC；（2）求二面角EBCA的余弦值 20（本小题满分 12
7、分）如图，点2,0A，2,0B分别为椭圆2222:10 xyCabab 的左右顶点，,P M N为椭圆C上非顶点的三点，直线,AP BP的斜率分别为12,k k，且1214k k，APOM，BPON（1）求椭圆C的方程；（2）判断OMN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由 21（本小题满分 12 分）已知函数 3228f xxax（1）若 0f x 对 1,2x 恒成立，求实数a的取值范围；（2）是否存在整数a，使得函数 22341238g xf xaxa xa在区间0,2上存在极小值，若存在，求出所有整数a的值；若不存在，请说明理由 6 请考生在 22、23 题中任
8、选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，1C的参数方程为21,221,2xtyt （t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C的极坐标方程22 cos3 0 （1）说明2C是哪种曲线，并将2C的方程化为普通方程；（2）1C与2C有两个公共点,A B，定点P的极坐标2,4，求线段AB的长及定点P到,A B两点的距离之积 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 124f xxx （1）求 yf x的最小值；（2）求不等式 61f x 的解集 7 普通高等学校招生全
9、国统一考试仿真卷 理科数学答案 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 1【答案】D【解析】21i1iz ，因此z的共轭复数为1 i，实部为1，虚部为1，模为2，选 D 2【答案】D【解析】因2|3Axx ，|1Bx x 或4x，故14|UC Bxx，所以|13UAC Bxx ，应选答案 D 3【答案】C【解析】第一组用简单随机抽样抽取的号码为1000443(181)1840，选 C 4【答案】C【解析】由22xy，得22yx，则41p；由1x得2y，由抛物线的性质可得8178122pyPF，故选 C 5【答案】B【解析】因 1sinfxxx是奇函数，且当02x，时，都有21c
10、os0yxx，函数 1sinfxxx单调递增，故应选答案 B 6【答案】D【解析】由下图可得202，故选 D 8 7【答案】D【解析】设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示，所以所求概率872121211P，故选 D 8【答案】B【解 析】2221xyz发 生 的 概 率 为341 1386，当 输 出 结 果 为521时，1001521im，2221xyz发生的概率为521521100111000P，52161000，即3126，故选 B 9【答案】A【解析】由题意得
11、()2sin2()12sin(2)11263g xxx，故max()3g x，min()1g x，由12()()9g x g x，得3)(3)(21xgxg，由()2sin(2)133g xx，得22 32xk，kZ即,12xkk Z，由2 2,2x ，得12231113,12121212xx 、故 当121323,1212xx 时122xx最 大，即122xx4912，故选 A x y o 9 10【答案】B【解析】如图，取AC中点F，连接BF，则在RtBCF中2 32BFCF，4BC，在RtBCS中，4CS，所以42BS，则该三棱锥的外接球的表面积是1123，故选A 11【答案】C【解 析
12、】由 题 意 可 知222,bAFac BFa，所 以 直 线AB的 斜 率 为：2bka ac222211 11,13 2aceeaace ，即11132e，解得1223e，故选 C 12【答案】C【解析】用x代换a，用y代换b，则,x y满足225ln0 xxy，即225lnyxx，以x代换c，可得点(,)xx，满足0 xy，所以求解22)()(cbca的最小值即为求解曲线225lnyxx上的点到直线0 xy的距离的最小值，设直线0 xym与曲线225lnyxx相切于点00(,)P x y，则 54fxxx，则 000541fxxx，解得01x，所以切点(1,2)P，又由点P到直线0 xy
13、的距离为221 23 2211d，故选 C 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13【答案】12 【解析】由()3a b a，可得231a b aa b ，所以向量b在a方向上的投影为12a ba 14【答案】12 1 0 【解析】由题意得球的直径为223=2 3，球的表面积是2244(3)12R 15【答案】2【解析】由题意得21011xx ，而 102sin02f xxxxx，因为12 2sin22xxx，所以1211111xmnx dx ，表示单位圆在x轴上方(含与x轴交点)半圆的面积，即2 16【答案】13,18【解析】将113,3nnnnbb代入1122nnnnab
14、ba，化简得14 3nnnaa，故 121122114 3339nnnnnnnaaaaaaaa2 33n故原不等式33633nnan可化为183123nn当2n时，18303nn，当3n 时，18303nn，当4n 时，183239nn，当5n 时，183423279nn，5n时，1833nn单调递减，所以当4n 时为最大值，故12132918 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）【答案】（1）ABC为钝角三角形；（2）4b 【解析】（1）由正弦定理：1cos1cos3sinsinsin222BAABC，sinsincossinsincos3sinA
15、ABBBAC，sinsinsin3sinABA BC 又sinsinA BC，sinsin2sinABC，即22abcab，1 1 所以32cb，所以2222229414cos032422bbbbcaAbcbb，所以 A 为钝角，故ABC为钝角三角形（2）因为1cos4A ，15sin4A 又1sin2SbcA，1153 1524bc，24bc 又32cb，所以23242b，4b 18（本小题满分 12 分）【答案】（1）1625；（2）分布列见解析，期望为369125【解析】（1）连续取两次都是红球的概率44165525P （2）的可能取值为 1，2，3，4，115P，41425525P，2
16、4116355125P，346445125P 的概率分布列为：1 2 3 4 P 15 425 16125 64125 1416643691234525125125125E 19（本小题满分 12 分）【答案】（1）见解析；（2）1313【解析】（1）由题意知，ABCACD，都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BODO，则BOACDOAC，又平面ACD 平面ABC，平面ACD平面ABC AC DO，平面ACD，1 2 DO平面ABC 作EF平面ABC于F，由题意，点F落在BO上，且60EBF 在RtBEF中，3sin232EFBEEBF 在RtDOC中，3sin232DODCDCO D
17、O 平面,ABC EF 平面ABC，DOEF，又DOEF，四边形DEFO是平行四边形DEOF 又DE 平面,ABC OF 平面ABC，DE 平面ABC （2）作FGBC，垂足为G，连接EG，EF平面ABC，EFBC 又,EFFGF FGBCBC，BC平面EFG，所以BCEG，所以EGF就是二面角EBCA的一个平面角 在RtBGF中，1sin1 sin 302FGFBFBG 在RtEFB中，sin2 sin603EF EBEBF 在RtEFG中，22132EGEFFG，1132cos13132FGEGFEG，即二面角EBCA的余弦值为1313 20（本小题满分 12 分）【答案】（1）22:14
18、xCy；（2）定值 1 1 3 【解析】（1）221,11442,APBPbkkbaa，椭圆22:14xCy（2）设直线MN的方程为ykxt，11,M x y，22,N x y，22222,4184401,4ykxtkxktxtxy，122841ktxxk，21 224441tx xk，1212121 2121 21211404044yyk ky yx xkxtkxtx xxx ，22121241440kx xkt xxt，2222222448414402414141tktkktttkkk，2222121212114MNkxxkxxx x，22222228441142 2414141kttkk
19、kkk，21tdk，222212214112ttkSkkt OMN的面积为定值 1 21（本小题满分 12 分）【答案】（1）10,；（2）存在整数1a，使得函数 g x在区间0,2上存在极小值 【解析】（1）由 0f x 得3222882xaxxx，设 282h xxx，则 3162hxx，1,2x，0h x，则 h x在 1,2上是减函数，1 4 max110h xh，0fx 对 1,2x 恒成立，即282axx对 1,2x 恒成立，10a，则实数a的取值范围为10,（2）322323123g xxaxa xa，22661262g xxaxax axa，当0a 时，0g x，g x单调递增
20、，无极值 当0a 时，若2xa，或x a，则 0g x；若2axa，则 0g x 当x a时，有极小值 gx在0,2上有极小值，02a存在整数1a 当0a 时，若x a或2xa，则 0g x；若2axa，则 0g x 当2xa 时，g x有极小值 g x在0,2上有极小值，022a，得10a 由得，存在整数1a，使得函数 g x在区间0,2上存在极小值 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程【答案】（1）2C是圆，2214xy；（2）14AB，3PA PB 【解析】（1）2C是圆，2C的极坐标方程22
21、cos3 0，化为普通方程：2223 0 xyx 即：2214xy（2）定点P的平面直角坐标为 11，在直线1C上，将1C的参数方程为21,221,2xtyt （t为参数）代入2223 0 xyx 中得：1 5 22222112 130222ttt，化简得：2230tt设两根分别为12,t t，由韦达定理知：12122,3,ttt t 所以AB的长212121 242 1214ABtttttt，定点P到,A B两点的距离之积1 23PA PBtt 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲【答案】（1）3；（2）1084,0,333【解析】（1）33,2,1245,21,33,1.xxf xxxxxxx 所以：当2x时，3,y；当21x 时，3,6y；当1x 时，6,y 综上，yf x的最小值是 3（2）124f xxx，令 39,2,61,21,33,1,xxg xf xxxxx 2,391,xx解得：108,33x，21,11,xx 解得：0,1x，1,331,xx解得：41,3x 综上，不等式 61f x 的解集为：1 6 10841084,0,11,0,333333