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1、 -可修编.数学证明方法 摘要：数学证明是数学学习中非常重要的一部分，数学证明有核实作用，理解作用，发现作用和思维训练作用，数学证明常用的方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等等。关键词：数学证明；意义；方法 数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它的应用非常广泛，是学习现代科学技术必不可少的基础学科。学习数学，就离不开数学证明，这是由数学证明在数学发展中所起的作用决定的。什么是数学证明呢？许多人认为数学证明是根据相应的公理，法则等来说明结论是正确的一种活动。数学证明是数学学习中非常重要的一部分，在不同的情境中，数学证明有不同方法。数学证明的方法（一）综合法和分析法 综合法是从命题的
2、条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到要证的结论的方法。分析法则是从要证的结论出发，一步一步的搜索下去，最后达到命题的已知条件的方法。例 1 求证sincos1=cos1sin 方法 1：左边=)cos1(sinsin2=cos1sin=右边 所以得证。方法 2：右边=cos1sin=)cos1)(cos1()cos1(sin=2cos1)cos1(sin -可修编.=2sin)cos1(sin=sincos1=左边 所以得证。方法 3：sincos1=2cos2sin22sin22=tan2=2cos22cos2sin22=cos1sin 所以得证。方法 4：要证sincos1=cos1si
3、n只需要证sinsin)cos1)(cos1(即要证22sincos1，显然，这个命题成立，故得证。上述例题的四种解法中，前三种是用综合法解的，而第四种解法是用分析法解的。在证明的过程中，我们用到了同角三角函数的关系，半角公式等等。所以，通过数学证明我们不仅理解了这道命题的正确性，还知道了为什么正确，同时还增进了对同角三角函数的关系，半角公式等等的理解。从例 1 我们可以看出，综合法的特点是从“已知”逐步推向“未知”，其逐步推理，实际是要寻找它的必要条件。分析法的特点是从“需知”逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件。综合法和分析法各有其优缺点。从寻求解题思路来看，综合法是由
4、已知的寻找未知的，即直接由条件证明结论。但是由条件容易导出许多其它的结论，因而不容易有效。分析法由未知的推向已知的，即由结论慢慢推出所需要的条件，这样比较容易解决问题。就表述证明的过程而论，综合法的形式比较简洁，条理清晰，分析法由于倒过来叙述，因而比较繁琐，文辞冗长。这也就是说，分析法有利于思考解决问题，-可修编.综合法宜于表达问题。因此在解题时，可以把分析法和综合法结合起来使用，先以分析法为主，寻找解题思路，再用综合法有条理的表述证明过程。(二)反证法 通过证明论题的否定命题不真实，从而肯定论题真实性的方法叫做反证法。反证法的一般步骤如下：假设命题的结论不成立，即结论的否定命题成立。从否定的
5、结论出发，逐层进行推理，得出与公理或前述的定理，定义或题设条件等自相矛盾的结论，即说证明结论否定不成立。据排中律，最后肯定原命题成立。反证法有归谬法与穷举法两种。在应用反证法时如果与原命题结论相矛盾的方面只有一种可能情况，只要把这种情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫做归谬法。如果与原命题相矛盾的方面不止一种情况，就必须把矛盾方面的所有可能的情况一一驳倒，才能肯定结论成立，这种反正法叫做穷举法。例 2 求证2是无理数。证明：假设2是有理数，且为既约分数qp，（p0,q0），则22qp=2，222qp，由此可见 p 是偶数，记为 2r。同理又可得 q 也是偶数，这与qp是既约分数相矛盾。从而
6、2是无理数。在这道题目中，2只有两种可能，是无理数或者不是无理数。所以，-可修编.命题的否定方面只有一种可能情况。因而，我们可以假即设其为有理数，然后推出矛盾证得该题。例 3 在四边形ABCD中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，已知 OB=OD，BCDBAD。求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：如图，假设四边形ABCD不是平行四边形，则由于 OB=OD，所以必有 OAOC，即 OAOC。若 OAOC，在 OC 上取一点C，使得 OC=OA，则C必在 OC 上，连CB，CD。则 有 四 边 形ABCD为 平 行 四 边 形。则DOCOBCDBCBAD又BCOOBC,OCDDOC，BCD
7、OCDBCOBAD，与BCDBAD矛盾。如果OCOA，同理可证，这也是不可能的。所以，四边形ABCD是平行四边形。在该题中，命题的否定方面有两种可能 OAOC。所以，在利用反证法证明时要把这两种否定情况都驳倒才可以。通过这道题的证明，可以增进人们对平行四边形特征的理解，使自己的思维更加严谨，缜密。反证法是一种重要的证明方法，不但在初等数学中有很多的应用，就是在高等数学中也有着很重要的应用，数学中的一些重要的结论，从最基本的性质，定理到某些难度较大的世界难题，往往是用反证法得到的。在证明该题的过程中，用到了勾股定理，全等三角形的知识。所以，ODBACC -可修编.通过该题，也可以使人们加强对勾股
8、定理以及三角形全等方面的知识的理解。需要指出的是，同一法和反正法的适用范围是不同的，同一法的局限性较大，通常只适用于符合同一原理的命题，反证法则普遍适用，对于能够用同一法证明的命题一般都能用反证法证明。（三）数学归纳法 我们采用记号)(np表示一个与自然数 n 有关的命题，把它们都写出来)1(p，),2(p)3(p 事实上，如果满足下面两个条件：（1）)1(p成立（即当1n时命题成立）（2）只要假设)(kp成立（归纳假设），由此就可得)1(kp也成立（k是自然数）就能保证这一大串（无数多个）命题)1(p，),2(p)3(p都成立。我们把此叫做数学归纳法原理。根据数学归纳法原理，我们在证明时可以
9、相应的按照以下两步进行：（1）验证)1(p是成立的。（2）假设)(kp成立，证明出)1(kp也成立。由（1），（2）可得对于任意的自然数n，命题)(np都成立。这是数学归纳法最基本的形式，通常称作第一数学归纳法。例 5 证明 1+3+5+)12(n=2n 证明：（1）当n=1 时，左边=1，右边=21=1 等式成立。（2）假设当n=k（k1）时等式成立，即 1+3+5+)12(k=2k -可修编.则n=k+1 时 1+3+5+)12(n=1+3+5+)12(k+2)1(k-1=1+3+5+)12(k+)12(k =2k+)12(k=2)1(k 所以，当n=k+1 时，等式也成立。由（1），（2）可知，对于任意自然数n，等式都成立。所以得证。总之，一个数学命题往往可以有不同的思路来思考证明，思路不同，所产生的影响不同，证明方法也不同，对于不同的数学命题的证明也可以有许多不同的思路，不同的方法。参考文献 1 李士锜 PME：数学教育心理学 华东师范大学 2 蒋文蔚 杨延龄 数学归纳法 师范大学 3 侯敏义 数学思维与数学方法论 东北师范大学