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1、.1 12021 年理科第 20 题 设0b，数列na满足1ab，1122nnnnbaaan(2)n 1求数列na的通项公式；2证明：对于一切正整数n，1112nnnba 22021 年理科第 19 题 设数列na的前n项和为nS，满足1*1221()nnnSanN，且123,5,a aa成等差数列。1求1a的值；2求数列na的通项公式。3证明：对一切正整数n，有1211132naaa 32021 年理科第 19 题 设数列 na的前n项和为nS，11a，2121233nnSannn，*nN.1求2a的值；2求数列 na的通项公式；3证明：对一切正整数n，有1211174naaa.此类不等式的
2、证明常用的方法：(1)比较法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段到达证明的目的高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考察考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地表达高考的甄别功能 本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全
3、面而综合地考察学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的构造，深入剖析其特征，抓住其规律进展恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩(1)2221441124412121nnnnn.1(2)1211211(1)(1)(1)(1)nnCCnn nn nn n(3)2(111)1(1!11)!(!11rrrrrrnrnrnnCTrrrnr(4)25)1(123112111)11(nnnn(5)nnnn21121)12(21(6)nnn221(7)1(21)1(2nnnnn(8)nnnnnnn2)32
4、(12)12(1213211221 (9)knnkknnnkknknk11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(nnnn(11)21212121222)1212(21nnnnnnn (12)2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112nnnnnnnnnnnnnn(13)111)1(1)1(1)1)(1(11123nnnnnnnnnnnn (14)3212132122)12(332)13(2221nnnnnnnnn (15)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2kkkkkk (16)2(1)1(1nnnnn (17)111)
5、11)(1122222222jijijijijijiji.1 二、根本技巧 1.“添舍放缩 通过对不等式的一边进展添项或减项以到达解题目的，这是常规思路。2.分式放缩 一个分式假设分子变大则分式值变大，假设分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可到达证题目的。3.裂项放缩 假设欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。4.单调函数放缩 根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进展放缩求解。5.固定一局部项，放缩另外的项；三、放缩法综合问题 一、先求和后放缩 二、先放缩再求和或先求和再放缩 1放
6、缩后成等差数列，再求和 2放缩后成等比数列，再求和 3放缩后为差比数列，再求和 4放缩后为裂项相消，再求和 一、放缩后转化为等比数列 例 1 nb满足：2111,(2)3nnnbbbnb 1用数学归纳法证明：nbn；21231111.3333nnTbbbb，求证：12nT 点评：把握“3nb 这一特征对“21(2)3nnnbbnb进展变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么.值得体味！二、放缩后裂项迭加 例 2数列na，11(1)nnan，其前n项和为ns，求证：222ns 点评：此题是放缩后迭加 放缩的方法是加上或减去一
7、个常数，也是常用的放缩手法 值得注意的是假设从第二项开场放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开场放大，命.1 题才得证，这就需要尝试和创新的精神 例 32021 理 19本小题总分值 14 分 设数列 na的前n项和为nS11a,2121233nnSannn,*nN()求2a的值；()求数列 na的通项公式；()证明：对一切正整数n,有1211174naaa 三、放缩后迭乘 例 4*1111,(14124)()16nnnaaaanN.a)求23,a a b)令124nnba，求数列 nb的通项公式.1 c)1()63nnf naa，求证：1(1)(2)(3).()2ffff n 解：12
8、略 由2得2 111()()3 423nnna 点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求n项和时用迭加，求n项乘时用迭乘。点评：此题主要考察数列的前 n 项和与第 n 项之间的关系，通项公式，不等式的证明由数列的前 n 项和求数列的通项公式时，要注意 n=1 时的验证，有关数列不等式的证明一般是先求和在用放缩法，求和时注意裂项法、错位相减法的应用 1.(2021 年高考卷)设数列an的前n项和为Sn，满足 2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1
9、a11a21an12n2(n2n)12n22n22n(n1)，1an13n2n12nn1121nn1，1a11a21an1121121231nn1 112(11212131n11n)112(11n)3212n32，即1a11a21an32.2.数列an满足a114，anan11nan12(n2，nN)(1)试判断数列1an(1)n是否为等比数列，并说明理由；(2)设ansin 2n12，数列的前n项和为Tn.求证：对任意的nN*，Tn23.解析：(1)由anan11nan12得1an1nan12an1(1)n2an1，.1 所以1an(1)n2(1)n2an121an1(1)n1 又1a113
10、0，故数列1an(1)n是首项为 3，公比为2 的等比数列(2)证明：由(1)得1an(1)n3(2)n1.所以1an3(2)n1(1)n，an132n11n，所以ansin 2n12132n11n(1)n1 132n11132n1.所以Tn13112n112231(12)n23.3.21()4f xx,点11(,)nnnP aa在曲线()yf x上*nN,11,0.naa且 求数列na的通项公式；设数列212nnaa的前 n 项和为nS,假设对于任意的*nN,使得212nStt 恒成立,求最小正整数 t 的值 4【省市一中 2021届高三第二次统测】214)(xxf，数列na的前n项和为nS
11、，点11(,)nnnP aa在曲线)(xfy 上)(*Nn，且11a，0na 1求数列na的通项公式；.1 2数列nb的前n项和为nT，且满足212211683nnnnTTnnaa，11b，求数列nb的通项公式；3求证：*,11421NnnSn 1114141 1222nn 5【省市实验中学 2021 届高三 11 月阶段考试】数列 na，nb，11a，112nnnaa，111nnnnaaab，nS为数列 nb的前n项和，nT为数列 nS的前n项和 1求数列 na的通项公式；2求数列 nb的前n项和nS；3求证：312nTn 6(2021高考)正项数列an的前n项和Sn满足：S2n(n2n1)
12、Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bnn1n22a2n，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn0，Snn2n.于是a1S12，当n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上可知，数列an的通项an2n(nN*)(2)证明：由于an2n，bnn1n22a2n，.1 则bnn14n2n221161n21n22.Tn11611321221421321521n121n121n21n22 11611221n121n221161122564.7(2021模拟)设数列an满足：a15，an14an5(nN*)，(1)是否存在实数t，使ant是等比数列
13、.(2)设数列bn|an|，求bn的前 2 013 项和S2 013.【解】(1)由an14an5 得an14an5，令an1t4(ant)，得an14an5t，则5t5，t1，从而an114(an1)又a114，所以an1是首项为 4，公比为4 的等比数列，所以存在这样的实数t1，使ant是等比数列(2)由(1)得an14(4)n1，所以an1(4)n.所以bn|an|14n，n为奇数，4n1，n为偶数，所以S2 013b1b2b2 013(141)(421)(143)(441)(142 013)41424342 0131 442 014141.1 42 01413.数列与不等式交汇主要以压
14、轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考察主要考察知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用此类题型主要考察学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考察学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能近年来加强了对递推数列考察的力度，这点应当引起我们高度的重视预计在高考中，比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现 数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关系的综合性试题其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性