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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 3 文科数学 考试时间：2019 年 6 月 7 日 15：0017：00 使用省份：云南、广西、贵州、四川、西藏 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分,满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本题共 12
2、 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合2 1,0,1,21ABx x，则AB（）A1,0,1 B 0,1 C1,1 D0,1,2 2若(1i)2iz，则z=（）A1 i B1+i C1 i D1+i 3两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A16 B14 C13 D12 4西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读
3、过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A B0.6 C D 5函数()2sinsin2f xxx在0，2的零点个数为（）A2 B3 C4 D5 6 已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A 16 B 8 C4 D 2 7已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）Aa=e，b=-1 Ba=e，b=1 Ca=e-1，b=1 Da=e-1，1b 8如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）ABM=EN，且直
4、线BM、EN 是相交直线 BBMEN，且直线BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线BM、EN 是异面直线 DBMEN，且直线BM，EN 是异面直线 9执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于（）A.4122 B.5122 C.6122 D.7122 10已知F是双曲线C：22145xy的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若=OPOF，则OPF的面积为（）A32 B52 C72 D92 11记不等式组6,20 xyxy表示的平面区域为D.命题:(,),29px yDxy；命题:(,),212qx yDxy.下面给出了四个命题 pq pq pq pq 这四个命题中，所有真
5、命题的编号是（）A B C D 12设 f x是定义域为 R 的偶函数，且在0,单调递减，则（）Af（log314）f（322）f（232）Bf（log314）f（232）f（322）Cf（322）f（232）f（log314）Df（232）f（322）f（log314）第卷 （非选择题，共 90 分）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量(2,2),(8,6)ab，则cos,a b_.14记Sn为等差数列an的前n项和，若375,13aa，则10S_.15 设12FF，为椭圆C:22+13620 xy的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若12MF F为等腰
6、三角形，则M的坐标为_.16学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCDABC D挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，16cm4cmAB=BC=,AA=，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下
7、试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同。经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到P（C）的估计值为.（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.18（12 分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinsin2ACabA（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c=1，求AB
8、C面积的取值范围 19（12 分）图 1 是由矩形ADEB、RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，FBC=60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明图 2 中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求图 2 中的四边形ACGD的面积.20（12 分）已知函数32()22f xxax.（1）讨论()f x的单调性；（2）当0a3时，记()f x在区间0，1的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围.21（12 分）已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明
9、：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A，(2,)4B，(2,)4C，(2,)D，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2，(1,)，曲线1M是弧AB，曲线2M是弧BC，曲线3M是弧CD.（1）分别写出1M，2M，3M的极坐标方程；（2）曲线M由1M，2M，3M构成，若点P在M上，且|3OP，求P的极坐标.23选修 4-5：不等式
10、选讲（10 分）设,x y zR，且1xyz.（1）求222(1)(1)(1)xyz的最小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza成立，证明：3a 或1a.2019 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 3 文科数学参考答案 一、选择题 1A 2D 3D 4C 5B 6C 7D 8B 9C 10B 11A 12C 二、填空题 13210 14100 15(3,15)16 三、解答题 17解：（1）由已知得=a+，故a=b=1=（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2+3+4+5+6+7=乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3+4+5+6+7+8=18解：（1）由题设及正弦定理得si
11、nsinsinsin2ACABA 因为sinA0，所以sinsin2ACB 由180ABC，可得sincos22ACB，故cos2sincos222BBB 因为cos02B，故1sin22B，因此B=60（2）由题设及（1）知ABC的面积34ABCSa 由正弦定理得sin 120sin31sinsin2tan2CcAaCCC 由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由（1）知A+C=120，所以30C0，则当(,0),3ax 时，()0fx；当0,3ax时，()0fx故()f x在(,0),3a单调递增，在0,3a单调递减；若a=0，()f x在(,)单调递增；若a0，则当,(0,)3a
12、x 时，()0fx；当,03ax时，()0fx故()f x在,(0,)3a单调递增，在,03a单调递减.（2）当03a时，由（1）知，()f x在0,3a单调递减，在,13a单调递增，所以()f x在0,1的最小值为32327aaf，最大值为(0)=2f或(1)=4fa.于是 3227am ，4,02,2,23.aaMa 所以332,02,27,23.27aaaMmaa 当02a时，可知3227aa单调递减，所以Mm的取值范围是8,227.当23a时，327a单调递减，所以Mm的取值范围是8,1)27.综上，Mm的取值范围是8,2)27.21解：（1）设111,2D tA x y，则2112x
13、y.由于yx，所以切线DA的斜率为1x，故11112yxxt.整理得1122+1=0.txy 设22,B x y，同理可得2222+1=0txy.故直线AB的方程为2210txy.所以直线AB过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB的方程为12ytx.由2122ytxxy，可得2210 xtx.于是21212122,121xxt yyt xxt.设M为线段AB的中点，则21,2M t t.由于EMAB，而2,2EMt t，AB与向量(1,)t平行，所以220ttt.解得t=0或1t.当t=0时，|EM=2，所求圆的方程为22542xy；当1t 时，|2EM，所求圆的方程为22522xy.2
14、2.解：（1）由题设可得，弧,AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos.所 以1M的 极 坐 标 方 程 为2cos04，2M的 极 坐 标 方 程 为32sin44，3M的极坐标方程为32cos4.（2）设(,)P，由题设及（1）知 若04，则2cos3，解得6；若344，则2sin3，解得3或23；若34，则2cos3，解得56.综上，P的极坐标为3,6或3,3或23,3或53,6.23解：（1）由于2(1)(1)(1)xyz 222(1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyyzzx 2223(1)(1)(1)xyz，故由已知得2224(1)(1)(1)3xyz，当且仅当x=53，13y ，13z 时等号成立 所以222(1)(1)(1)xyz的最小值为43.（2）由于 2(2)(1)()xyza 222(2)(1)()2(2)(1)(1)()()(2)xyzaxyyzaza x 2223(2)(1)()xyza，故由已知2222(2)(2)(1)()3axyza，当且仅当43ax，13ay，223az时等号成立 因此222(2)(1)()xyza的最小值为2(2)3a 由题设知2(2)133a，解得3a或1a