坐标系及参数方程20536.pdf

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1、.-可修编-1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化 2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系 一、直角坐标与极坐标的互化 如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则 xcos，ysin，2x2y2，tan yxx0.【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的围，要注意转化的等价性 二、直线、圆的极坐标方程(1)直线的极坐标方程 若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置直线

2、的极坐标方程 直线过极点：；直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cos a；直线过点Mb，2且平行于极轴：sin b.(2)几个特殊位置圆的极坐标方程 圆心位于极点，半径为r：r；.-可修编-圆心位于M(r,0)，半径为r：2rcos；圆心位于Mr，2，半径为r：2rsin.【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式 三、参数方程(1)直线的参数方程 过定点M(x0，y0)，倾斜角为 的直线l的参数方程为 xx0tcos，yy0tsin(t为参数)(2)圆、椭圆的参数方程 圆心在点M(x0，y0)

3、，半径为r的圆的参数方程为 xx0rcos，yy0rsin(为参数，02)椭圆x2a2y2b21 的参数方程为 xacos，ybsin (为参数)【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值围保持一致 考点一 坐标系与极坐标 例 1【2017XX，理 11】在极坐标系中，直线4cos()106 与圆2sin的公共点的个数为_.【答案】2 【变式探究】【2016 年高考理数】在极坐标系中，直线cos3 sin10 与圆2cos交于A，B 两点，则|AB _.【答案】2【解析】直线310 xy 过圆22(1)1xy的圆心，因此2.AB 【变式探究】在极坐标系中，圆 2cos 的垂直

4、于极轴的两条切线方程分别为().-可修编-A0(R)和 cos 2 B2(R)和 cos 2 C2(R)和 cos 1 D0(R)和 cos 1 解析 由 2cos 得x2y22x0.(x1)2y21，圆的两条垂直于x轴的切线方程为x0 和x2.故极坐标方程为 2(R)和 cos 2，故选 B.答案 B 考点二 参数方程 例 2【2017】选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面坐标系中xOy中,已知直线l的参考方程为x82tty (t为参数),曲线C的参数方程为22,2 2xsys(s 为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.【答案】4 55 【考点

5、】参数方程化普通方程.-可修编-【变式探究】【2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为cos1sinxatyat（t为参数,a0）在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：=4cos.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为0,其中0满足 tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a【答案】（I）圆,222 sin10a（II）1 【变式探究】(2015，15)已知直线l的参数方程为1,1xtyt (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的

6、正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2cos 240，3454，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_ 解析 直线l的直角坐标方程为yx2，由 2cos 24 得 2(cos2sin2)4，直角坐标方程为x2y24，把yx2 代入双曲线方程解得x2，因此交点为(2，0)，其极.-可修编-坐标为(2，)答案(2，)【变式探究】(2014，11(2)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0 x1)的极坐标方程为()A1cos sin，02 B1cos sin，04 Ccos sin，02 Dcos sin，04 答案 A 1.【2017XX，理 11】

7、在极坐标系中，直线4cos()106 与圆2sin的公共点的个数为_.【答案】2【解析】直线为2 3210 xy，圆为22(1)1xy，因为314d，所以有两个交点 2.【2017，理 11】在极坐标系中，点A在圆22 cos4 sin40上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为_.【答案】1【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为222440 xyxy，整理为22121xy，圆心1,2C，点P是圆外一点，所以AP的最小值就是2 1 1ACr.-可修编-3.【2017 课标 1，理 22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos,sin,xy（为参数），直线l的参数方程为 4,1

8、,xattyt（为参数）.（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求 a.【答案】（1）C与l的交点坐标为3,0，21 24,25 25；（2）8a 或16a .【解析】（1）曲线C的普通方程为2219xy.当1a 时，直线l的普通方程为430 xy.由22430 19xyxy解得3 0 xy或2125 2425xy.从而C与l的交点坐标为3,0，21 24,25 25.【2017】选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面坐标系中xOy中,已知直线l的参考方程为x82tty (t为参数),曲线C的参数方.-可修编-程为22,2 2xsy

9、s(s 为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.【答案】4 55【解析】直线l的普通方程为280 xy.因为点P在曲线C上，设22,2 2Pss，从而点P到直线l的的距离 222222424 28512sssd，当2s 时，min4 55d.因此当点P的坐标为4,4时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值4 55.1.【2016 年高考理数】在极坐标系中，直线cos3 sin10 与圆2cos交于A，B 两点，则|AB _.【答案】2【解析】直线310 xy 过圆22(1)1xy的圆心，因此2.AB 2.【2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 10 分）选修 44：

10、坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为cos1sinxatyat（t为参数,a0）在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：=4cos.（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为0,其中0满足 tan0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a【答案】（I）圆,222 sin10a（II）1.-可修编-（）曲线21,CC的公共点的极坐标满足方程组,cos4,01sin222a 若0，由方程组得01cossin8cos1622a，由已知2tan，可得0cossin8cos162，从而012a，解得1a（舍去）

11、，1a.1a时，极点也为21,CC的公共点，在3C上.所以1a.3.【2016 高考新课标 2 理数】选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为22(6)25xy（）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（）直线l的参数方程是cossinxtyt（t为参数）,l与C交于,A B两点，|10AB，求l的斜率【答案】（）212 cos110；（）153.-可修编-4.【2016 高考新课标 3 理数】（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cos()sinxy为参数，以坐标原点为极点，以x

12、轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()2 24 （I）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（II）设点P在1C上，点Q在2C上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.【答案】（）1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为40 xy；（）3 1(,)2 2 .-可修编-1(2015，14)已知直线l的极坐标方程为 2sin42，点A的极坐标为A22，74，则点A到直线l的距离为_ 解析 依题已知直线l：2sin42和点A22，74可化为l：xy10 和A(2，2)，所以点A到直线l的距离为d|2（2）1|12（1）2522.答案 522 2(2015，11)在极

13、坐标系中，点2，3到直线(cos 3sin)6 的距离为_ 解析 在平面直角坐标系下，点2，3化为(1，3)，直线方程为：x3y6，点(1，3)到直线的距离为d|1336|2|2|21.答案 1 3(2015，12)在极坐标系中，圆 8sin 上的点到直线 3(R)距离的最大值是_ 解析 由 8sin 得x2y28y，即x2(y4)216，由 3得y3x，即3xy0，圆心(0，4)到直线y3x的距离为 2，圆 8sin 上的点到直线 3的最大距离为 426.答案 6 4(2015，21)已知圆C的极坐标方程为 222sin440，求圆C的半径 解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极

14、轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为 22222sin 22cos 40，化简，得 22sin 2cos 40.-可修编-则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为6.5(2015新课标全国，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为 4(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积 6(2015，21(2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为1 3cos,23sinxtyt

15、 (t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2sin4m(mR)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；设圆心C到直线l的距离等于 2，求m的值 解 消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.由2sin4m，得 sin cos m0.所以直线l的直角坐标方程为xym0.依题意，圆心C到直线l的距离等于 2，即|1（2）m|22，解得m322.-可修编-7(2015，16)已知直线l：32,2132xtyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2cos.(

16、1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值 1.【2014 高考卷理第 4 题】以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是13xtyt （t为参数），圆C的极坐标方程是cos4，则直线l被圆C截得的弦长为（）A.14 B.142 C.2 D.22【答案】D【解析】将直线l的参数方程消去参数t，化成直角坐标方程为40 xy，圆C的极坐标方程cos4两边同乘为24cos，化成直角坐标方程为22(2)4xy，则圆心(2,0)到直线l的距离|2

17、4|22d，所以直线l被圆C截得的弦长2222 2LRd，故选 D.2.【2014 高考卷理第 3 题】曲线1 cos2sinxy ，（为参数）的对称中心（）A在直线2yx上 B在直线2yx 上.-可修编-C在直线1yx上 D在直线1yx上【答案】B【解析】参数方程sin2cos1yx所表示的曲线为圆心在)2,1(，半径为 1 的圆，其对称中心为)2,1(，逐个代入选项可知，点)2,1(满足xy2，故选 B.3.【2014 高考卷理第 16 题】已知曲线1C的参数方程是33tytx为参数t，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2，则1C与2C交点的直角坐标为

18、.【答案】)1,3(4.【2014 高考卷第 11 题】在平面直角坐标系中，倾斜角为4的直线l与曲线2cos1 sinxCy：，（为参数）交于A、B两点，且2AB，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是_.【答案】cossin1【解析】试题分析：利用22sincos1可得曲线C的普通方程为22211xy,即曲线C为直角22r 的圆,因为弦长22ABr,所以圆心在直线l上,又因为直线的斜率为1,所以直线的直角坐标方程为1yx,则根据直角坐标与极坐标之间的转化可得 1yxsincos1cossin1,故填cossin1.-可修编-5.【2014 高考理第 12 题

19、】若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段101yxx 的极坐标为（）A.1,0cossin2 B.1,0cossin4 C.cossin,02 D.cossin,04【答案】A【解析】根据cos,sin,0,0,2 xy，101yxx 得：0,1,sin1cos,(0cos1,0sin1,)y 解得1,0cossin2，选 A.6.【2014 高考理第 15 题】已知直线l的参数方程为tytx32（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin4cos00,02，则直线l与曲线C的公共点的极径_.【答案】5 7.【201

20、4 高考理第 15 题】在极坐标系中，点(2,)6到直线sin()16的距离是 .【答案】1.-可修编-（II）因为直线l与圆有公共点,故圆 C 的圆心到直线l的距离245ad,解得2 52 5a.10.【2014 高考第 21C 题】在平面直角坐标系xoy中，已知直线l的参数方程212222xtyt（t为参数），直线l与抛物线24yx相交于AB两点，求线段AB的长.【答案】8 2【解析】直线l的普通方程为1(2)0 xy，即3yx，与抛物线方程联立方程组解得111,2,xy229,6xy，22(9 1)(62)8 2AB .11.【2014 高考理第 23 题】将圆221xy上每一点的横坐标

21、保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线C.（）写出C的参数方程；()设直线:220lxy与C的交点为12,P P，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【答案】（1）cos2sinxtyt（t 为参数）；（2）34sin2cos.（2）由2214220yxxy解得：10 xy，或02xy.不妨设12(1,0),(0,2)PP,则线段12PP的中点坐标为1(,1)2,所求直线的斜率为12k，于.-可修编-是所求直线方程为111()22yx，化极坐标方程，并整理得 2cos4sin3，即34sin2cos.12.【2014 高考全

22、国 1 第 23 题】已知曲线221:149xyC，直线l：2,22,xtyt（t为参数）.（I）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（II）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，PA的最大值与最小值【答案】（I）2cos,3sin,xy260 xy；（II）最大值为22 55，最小值为2 55.13.【2014 高考全国 2 第 23 题】在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为2cos，0,2.（）求 C 的参数方程；（）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线:32l yx垂直，根据（）中你得到的参数方程

23、，确定 D 的坐标.-可修编-【答案】（）1 cos,(sinxy 是参数，0)；（）33(,)22【解析】（1）设点 M(,)x y是 C 上任意一点，则由2cos可得 C 的普通方程为：222xyx，即22(1)1(01)xyy，所以 C 的参数方程为1 cos,(sinxy 是参数，0).14.【2014 高考理科】已知曲线 C 的极坐标方程为1)sin4cos3(p，则 C 与极轴的交点到极点的距离是 .【答案】13【解析】令0，则(3cos0sin0)1，13，所以所求距离为13.（2013新课标 I 理）（23）（本小题 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数

24、方程为 x=4+5costy=5+5sint（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为=2sin。（）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1与 C2交点的极坐标（0,02）【答案】（1）因为45cos55sinxtyt，消去参数，得22(4)(5)25xy，即 22810160 xyxy，故1C极坐标方程为28 cos10 sin160；.-可修编-（2）2C的普通方程为2220 xyy，联立1C、2C的方程，解得11xy或02xy，所以交点的极坐标为(2,),(2,)42.【解析】（1）先得到 C1的一般方程，进而得到极坐标方程；（2）先

25、联立求出交点坐标，进而求出极坐标.【考点定位】本题考查极坐标方程的应用以及转化，考查学生的转化与化归能力.（2013新课标理）（23）（本小题满分 10 分）选修 44；坐标系与参数方程 已知动点P，Q 都在曲线 C：2cos2sinxy（为参数）上，对应参数分别为=与=2（02），M 为 PQ 的中点。（）求 M 的轨迹的参数方程（）将 M 到坐标原点的距离 d 表示为的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。【解题思路与技巧】本题第（）问，由曲线 C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点 P 的坐标,求出答案;第（）问，由互化公式可得.【易错点】对第（）问，极坐标与普通方程之间的互化

26、,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.（2013理）C.(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆220yxx 的参数方程为.-可修编-POyx【答案】2cosx,sincosy,0.【解析】2222110,(),24xyxxy以（12,0）为圆心，12为半径，且过原点的圆它的标准参数方程为111,02222xcosysina，由已知，以过原点的直线倾斜角 为参数,则0,所以022。所以所求圆的参数方程为2cosx,sincosy,0.【考点定位】本题

27、考查与圆的参数方程有关的问题，涉及圆的标准方程和参数方程等知识，属于容易题。（2013理）15（1）（坐标系与参数方程选做题）设曲线 C 的参数方程为：x=t，y=t2（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C的极坐标方程为_.【答案】2sin=1 sin【解析】2cos,sin,xt ytt消去参数 可得2sin=1 sin.【考点定位】该题主要考查参数方程，极坐标系、极坐标方程以及它们的关系.（2013理）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为2cos2sinxtyt(t为参数),C在点 1,1处的切线为l,以坐标原点为极点

28、,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为_.【答案】sin24.-可修编-【考点定位】坐标系与参数方程（2013理）(2).(本小题满分 7 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为4,2，直线l的极坐标方程为a)4cos(，且点A在直线l上。（）求a的值及直线l的直角坐标方程；（）圆C的参数方程为)(sin,cos1为参数aayax，试判断直线l与圆C的位置关系.【解析】坐标系与参数方程无非就是坐标系之间的互化，之后就变为简单的解析几何问题也属于必得分题目。【考点定位】本题主要考查坐标间的互化以及圆

29、的参数方程的基本容，属于简单题。（2013理）23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C，直线2C的极坐标方程分别为4sin,cos2 2.4.（I）12CC求与交点的极坐标；（II）112.PCQCCPQ设 为 的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为.-可修编-33,.12xtatRa bbyt 为参数求的值【答案】（I）圆1C的直角坐标方程为：22(2)4xy，直线2C的直角坐标方程为40 xy 联立得：22(2)440 xyxy得1104xy2222xy所以1C与2C交点的极坐标为(4,),(2 2,)24（II）由（I）可得，P，Q 的直角坐标为（0,2），（1,3），故 PQ 的直角坐标方程为20 xy 由参数方程可得122babyx，所以1,12,1,222babab 解得