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1、 第一章 随机过程的基本概念 1设随机过程 ttXtX,cos)(0，其中0是正常数，而X是标准正态变量。试求X（t）的一维概率分布 解：当0cos0t 即 )21(0 kt 即)21(10kt时 10)(txp 若 0cos0t 即 )21(10kt时 xtXPxxXPtxF0cos)(),(当 0cos0t时 detxXPtxFtx02cos02021cos),(此时 textxFtxftx0cos2cos121,),(022 若 0cos0t时 txxPtxXPtxF00cos1cos),(detx02cos02211 同理有 tetxftx0cos2cos121),(022 综上当：0
2、cos0t 即 )21(10kt时 txetxf022cos20|tcos|1 21),(2利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ,2 ,cos)(出现反面出现正面tttX 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(tX的一维分布函数)21,(xF和)1,(xF，以及二维分布函数)1,21;,(21xxF 解：（1）先求)21,(xF 显然出现反面出现正面出现反面出现正面10,212,2cos21X 随机变量21X的可能取值只有 0，1 两种可能，于是 21021XP 21121XP 所以 111021 0021,xxxxF 再求F（x,1）显然出现反面出现正面出现反面出现正面
3、 2 1 2 cos(1)X 212)1(-1(1)XpXp 所以 2 121-21-1 0,1)(xxxxF (2)计算)1,21;,(21xxF 出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(,1 0)21(XX 于是 2 ,1 121 ,1 2 ,10 211 ,0 0 0 )1(;211,21;,21212121212121xxxxxxxxxxxXxXpxxFx或或 3设随机过程ttX,共有三条样本曲线 tXtXXcos)t,(,sin)t,(,1)t,(321 且,31)p()p()p(321试求随机过程tX数学期望 EX(t)和相关函数Rx(t1,t2)。解：数学期望)cos(si
4、n313131cos31sin311)()(tttttEXtmX )cossin1(31tt 相关函数 21212121coscos3131sinsin311)()(),(tttttXtXFttRX )cos(1 3121tt 4设随机过程 )0()(tetXXt 其中X是具有分布密度f(x)的随机变量。试求X(t)的一维分布密度。解：对于任意 t0 因为)(),(xtxPtxFX 当x0 时 txXPxXtPxePtxFXtXlnln),(txdftxXpln)(1ln1 xttxftxFxtxfXX1ln),(),(当0 x时 0),(xeptxFXtX 随机过程)(tX的一维分布密度为
5、txfxttxfXln1),(5在题4中，假定随机变量X具有在区间（0，T）中的均匀分布，试求随机过程的数字期望)(tEX和自相关函数),(21ttRx 解：随机变量X的概率密度函数为 其它0),0(1)(TxTxfX 因此：TTTxtxtTxtXxtetTdxeTdxTedxxfetEX0 0 0 0 )1(111)()(0 t11tTeTt)(21212121)()(),(ttXXtXtXeEeeEtXtXEttR TttTXttxettTdxxfe 0 )(21)(21211)(1)(6设随机过程ttX),(在每一时刻t的状态只能取 0 或 1 的数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且
6、对于作意固定的t有 ptXP1)(ptXP10)(其中 0p1。试求X(t)的一维和二维分布，并求x(t)的数学期望和自相关函数 解：一维分布 ptxP1)(ptxP10)(二维分布：2211)(,1)(ptXtXP )1(0)(,1)(21pptXtXp pptXtXp)1(1)(,0)(21 221)1(0)(,0)(ptXtXp X(t)的数字期望 ptXptXptEXtmX0)(01)(1)()(随机过程X(t)的自相关函数为 1)(,1)(1)()(),(212121tXtXptXtXEttRX 101tXP且0)(2tX；0)(1tX且1)(2tX；0)(1tX且0)(2tX 22
7、11)(1)(ptXPtXP 7设1,nXn是独立同分布的随机序列，其中jX的分布列为 Xj 1 1 J=1，2，P 21 21 定义njjnXY1。试对随机序列1,nYn求（1）Y1的概率分布列；（2）Y2的概率分布列；（3）Yn的数字期望；（4）Yn的相关函数 RY（n,m）。解：（1）Y1=X1 故概率分布则为211 21111YPYP （2）212XXY 2Y可能的取值为 0 或 2，-2 1,11,1002121212XXPXXPXXPYP =21414111112121XPXPXPXP 411,12221212XXPXXPYP 411,12221212XXPXXPYP（3）njjn
8、XY1的数字期望为 njnjjnjjnEXXEEY111021)1(211（4）自样关函数 mkkmjjYXXEnYmYEnmR11)()(),(当mn 时 nkkmnjjnjjnkkmnjjnjjYXXXEXXXEnmR1121111),(nkkmnjjnjjXEXEXE1121 nnnnnmnjjnDYEYDYEYYEXEEY2212)(njjnjjnDXXDDY11 （jX相互独立）njjjEXXE122)(021)1(211jEX 1)(2jXE njnnDY101 当mn 时 nDYnmRnY),(8设随机过程ttX),(的数字期望为)(tmX协方差为),(21ttCX，而)(t是一
9、个函数。试求随机过程)()()(ttXtY的数字期望和协方差函数。解：随机过程)(tY的数字期望为)()()()()()()()()(tYttmtEtEXttXEtEYtmXY的协方差函数为 )()()()(),(212121tYEtYEtYtYEttCY 而 )()()()()()(221121ttXttXEtYtYE )()()()()()()()(21211221tttXttXttXtXE )()()()()()()()(21211221tttEXttEXttXtXE )()()()()()(221121ttEXttEXtYEtYE )()()()()()()()(21211221ttt
10、EXttEXttXEtXE ),()()()()(),(21212121ttCtEXtEXtXtXEttCovXY 思考：有没有更为简单的方法呢？9给定随机过程ttX),(，对于任意一个数x，定义另一个随机过程 xtXxtXtY)(0)(,1)(试证：)(tY的数字期望和相关函数分别为随机过程)(tX的一维和二维分布函数。证明：设)(tX的一维和二维概率密度分加别为),(1txf和),;,(21212ttxxf 则 xxYdttxftydxtxftydxtxftytYEtE),()(),()(),()()()(111 ),(),(11txFdttxfx 2121222212121),;,()(
11、)(),(dxdxttxxfyytYtYEttRY 12),(),;,(21212121212xxttxxFdxdxttxxf 若考虑到对任意的)(,tYTt 是离散型随机变量，则有：0)(01)(1)()(tYPtYPtYEtEY ),()(1txFxtXP 1)(,1)(11)()(),(212121tYtYPtYtYEttRY 0)(,1)(0121tYtYP 1)(,0)(0121tYtYP 0)(,0)(0021tYtYP ),;,()(,)(212122211ttxxFxtXxtXP 10给定一个随机过程)(tX和常数a，试用)(tX的相关函数表示随机过程)()()(tXatXtY
12、的相关函数。解：根据定义 )()()()()()(),(22112121tXatXtXatXEtYtYEttRY )()()()()()()()(21212121tXtXatXtXtXatXatXatXE ),(),(),(),(21212121ttRattRtatRatatRXXXX 11设随机过程 ttAtX),cos()(0，其中0是正常数，A 和是相互独立的随机变量，且 A 服从在区间0，1上的均匀分布，而服从在区间0，2上的均匀分布，试求)(tX的数字期望和相关函数。解：dadtatEXtmX 1 0 2 0 0211)cos()()(0)sin(2121)cos(21201 0 2
13、 0 00tdtada)cos()cos()()(),(201022121ttAEtXtXEttRX 1 0 2 0 20102211)cos()cos(dadtta 1 0 2 0 2010221)cos()cos(dttdaa 2 0 21021021)(cos2)(cos61dtttt )(cos6121)(cos 0612102 0210ttdtt 12设随机过程tttX,cos)(，其中在区间21,2100中均匀分布的随机变量。试求)(tX的数字期望和协方差函数。解：是区间21,2100上均匀分布的随机变量，于是的概率密度为 021,211)(00其它xxf 因此)(tX的数字期望为
14、：21 21 00cos1cos)()(tdtEtEXtmX 当0t时 txtttttmX)2sin()21sin(12121sin11)(0000 tttttt00cos)21sin(2)21sin(cos21 1cos)(00tXt时当 1)(tEX 求其协方差函数：)()()()(),(212121tEXtEXtXtXEttCX)(cos)(cos21coscos)()(21212121ttttEttEtXtXE)(cos21)(cos(212121ttEttE 2121212121210000)(cos121)(cos121dttdtt 当021tt且021tt时 2100212112
15、121)(sin121)()(tttttXtXE 21002112121)(sin121tttt )(cos)(21sin)(12102121tttttt)(cos)(21sin)(12102121tttttt 当021tt且021tt时)(cos)(2sin)(1),(210212121ttttttttCX)(cos)(2sin)(12102121tttttt 20221011cos)2sin(2cos)2sin(2tttttt 当021tt但021tt即ttt21时 22)();(tEXtXEttCX 类上当0t时 20cos)2sin(22cossin2121),(tttttttCoX
16、当021tt时 0)0,0(XC 当021ttt时 200cos2sin22cossin2121),(ttttttttCX 13设随机过程XtX)(（随机变量），向aEX，2XD，试求tXxE的数字期望和协方差。解：aEXtEX)(222212121)()()()()(),(DXEXEXtEXtEXtXtXEttCX 14设随机过程tYtXtX,)(，向随机矢量),(yx的协方差阵为2221，试求)(tX的协方程函数。解：)()()()(),(212121tEXtEXtXtXEttCX 而 2121222121)()()(ttYXYtXYtXYtXYtXtXtX)()(21211221ttYX
17、YtXYtXEtXtEX)()(212212XYEttEYttEX)()()(2121EYtEXEYtEXYtXEYtXE 221122)()(EYttEYEXtEYEXtEX 221212)()()(EYttEYEXttEX)()()()(),(2121222221EXEYXYEttttEYEYEXEXttCX),()(2121YXCoVttDYttDX)(21222121tttt 15 设随机过程,)(2tZtYtXtX其中X，Y,只是相互独立的随机变量，各自的数学期望的 0，方差为 1，试求)(tX的协方差函数。解：)()()()(),(212121tEXtEXtXtXEttCX 22)
18、(EXEXDX 22)(EYEYDY 22)(EZEZDZ 1 222EZEYEX )()()(22221121ZtYtXZtYtXtXtX 222122212122121212222ttZtYZtXZttYZtttYXYtXZtXYtX 222121222212212211)()(ttttEZttEYttEXtXtXE 0)()(21ZtYtXEtEX 0)(2tEX 2221212121211)()()()(),(tttttEXtEXtXtXEttCX 16设随机过程)(tX的导数存在，试证ttXtttRdttdXtXE1121),(2)()(证明：ttXttXmi ldttdXt)()(
19、.)(0 ttXtXttXmi lttXttXmi ltXdttdXtXtt)()()(.)()(.)()()(20 0 tttRtttRttXtXttXmi lEdttdXtXEXXtt),(),(lim)()()(.)()(0 20 ttXttRt1),(11 证毕 17设YX,是相互独立分别服从正态分布),0(2N的随机变量，作随机过程YXttX)(。试求下则随机变量的数学期望。101)(dttXZ 1022)(dttXZ 解：1010121)()(YXdtYXtdttXZ 02121 1EYEXYXEEZ 1 0 1 0 1 0 222222)2()()(dtYXYttXdtYXtdt
20、tXZ 2231YXYX)()(31)(31 22222EYDYEYEXEXDXEYXYEEXEZ 2223431 18试证明均方导数的下列性质。（1）dttdEXdttdXE)()(证明：ttEXttEXttXttXEdttdXE)()(lim)()(l.i.m)(0 t0 t dttdEX)(（2）若a,b为常数，则)()()()(tbYtaXtbYtaX 证明：ttbXtaXttbYttaXtbYtaX)()()()(l.i.m)()(0 t)()()()(l.i.m)()(l.i.m0 t0 ttbYtaXttYttYbttXttXa（3）若)(tf为可微函数，则)()()()()()
21、(tXtftXtftXtf 证明：定义范数：2EXX，易证YXYX 又)()()()()()()()(tXtftXtfttXtfttXttf)()()()()()()()()()()()(tXtftXtfttXtfttXtfttXtfttXttf)()()()()()()()()()(tXtftXtfttXttXtfttXttfttf)()()()()()()()()()()()(tXttXtftXttXttXtfttXtfttXttfttf)()()()()()()()()()()(tfttfttftXtftXtfttXtfttXttf 0)()()()()()()()(tXttXtftXt
22、tXttXtfttX 19试证明均方极限的下列性质。（1）babadttEXtfdttXtfE)()()()(证明：nkkkkbattXtfEdttXtfE1*0 t)()(l.i.m)()(nnbakkkkkkdttEXtfttEXtfttXtfE1111*0 t*0 t)()()()(lim)()(lim （2）若,是常数，则 bababadttYdttXddttYtX )()()()(证明：bankkkkttYtXdttYtX 1*0)()(l.i.m)()(nknkkkkkttYttX11*0*0)(l.i.m)(l.i.m=babadttYdttX)()(20设btatX),(是均方
23、可导的随机过程，试证)()()()(l.i.m000 ttXtgtXtg 这里)(tg是区间,ba上的连续函数 证明：只要证0)()()()(lim2000 ttXtgtXtgE 由于 )()()()()()()()()()()()(000000tXtgtXtgtXtgtXtgtXtgtXtg )()()()()()(000tXtgtgtXtXtg)()()(2)()()()()()()()()()(00220202200tgtgtgtXtgtgtXtXtgtXtgtXtg)()()(00tXtXtX 202200)()()()()()()(tXtXEtgtXtgtXtgE)()()(2)()()(00220tgtgtgtEXtgtg)()()(0220tEXtXtXE 0)()(lim 20tt 0tXtXE )()(lim0tt0tgtg 0)()()()(lim 200tt0tXtgtXtgE 即 )()()()(l.i.m00tt0txtgtxtg 证毕