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1、例题力学典型例题 例题 1：如图所示，质量为 m5 kg、底面积为 S40 cm60 cm 的矩形平板，以 U1 m/s的速度沿着与水平面成倾角30o的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度1 mm，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。求油的动力粘性系数。UG=mg 解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力duUdy 又因等速运动，惯性力为零。根据牛顿第二定律：0mFa，即：gsin0mS 324gsin5 9.8 sin301 100.1021 N s m1 40 60 10mU S o 例题 2：如图所示，转轴的直径 d m、轴承的长度 l1 m，轴与轴承的缝隙宽度 mm
2、，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s的油，若轴的转速200rpmn。求克服油的粘性阻力所消耗的功率。dln 解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力 60ddn duy 粘性阻力（摩擦力）：FSdl 克服油的粘性阻力所消耗的功率：32232232 30230603.14 0.360.73 2001600.23 1050938.83(W)dd ndnn lPMFdl 例题 3：如图所示，直径为d的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度旋转，此时所需力矩为T，求间隙厚度的表达式。d 解：根据牛顿黏性定律 dd2drrFAr r 2dd2drTF rr
3、r 424200d d232dddTT rr 432dT 例题 4：如图所示的双 U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度（取管中水的密度水1000 kg/m3）。h1h2h3h4水 解：根据等压面的性质，采用相对压强可得：123243ggghhhhhh水水 123432hhhhhh水 hz容器A容器B 例题 5：如图所示，U 型管中水银面的高差 h m，其他流体为水。容器 A 和容器 B 中心的位置高差 z1 m。求 A、B 两容器中心处的压强差（取管中水的重度水9810 N/m3，水银的重度水银133416 N/m3）。解：根据等压面的性质可得：A11pph水
4、，12pph水银，B22pph水 AB21133416 0.3298100.32 129743.92 Papphhhhhz水银水水银水 例题 6：如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H，长 L3m，静止时盛水深度 h=。现水箱以20.98m sa 的加速度沿水平方向做直线运动。若取水的密度31000kg m，水箱中自由水面的压强0p98000Pa。试求：（1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。（2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度maxa。HhLaxzO 解：（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z 轴垂直向上，x 轴与加速度的方向一致。则水箱运动时
5、单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为 0Xa,Y,Zg 代入非惯性坐标系中的压力全微分公式dddddpX xY yZ zW，得 dddpa xg z 积分得 1paxgzc 利用边界条件确定积分常数1c：在坐标原点 O（0 xz）处，0pp，得10cp 由式可得水箱内的压强分布 0980001000 0 989 8980009809800ppaxgz.x.zxz 对于水箱中的等压面，有d0p，所以由式可得等压面的微分方程 dda xg z 积分得 2azxcg 上式给出了一簇斜率为a g的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定
6、积分常数20c。因此自由水面方程为 0 980 19 8a.zxx.xg.（2）假设水箱以加速度maxa运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为h，则根据加速前后水的体积不变的性质可得()2hHLL h 又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系 maxgaHhL 和式联立求解，得：2max221.20.9g9.81.96 m s3HhaL 例题 7：有一盛水的旋转圆筒，直径 D1 m，高 H2 m，静止时水深为 h m。求：（1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度应控制在多大（2）当6 rad/s 时，筒底 G、C 点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多
7、少 DHhGC 解：（1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为00,rzH，则由：22,ddddXx Yy ZgpX xY yZ z，可推出自由水面（为一等压面）的方程：2202grzH 根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：2222002d2g4DrDrHrh 由此可求得：22016gDHh，带入自由表面方程得：2222g8Dzhr 若使达到某一最大值而水不溢出，则有2rD时，zH，带入上式，得 222g2 9.82.0 1.58.854 rad s114828HhDD（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为 2222220gg2g2g16gr
8、rDpHzhz 将 G 点条件：0,0rz带入得：2222G61g1000 9.81.512450Pa16g16 9.8Dph 同理，将 C 点条件：2,0rDz带入得：222222C61g1000 9.81.516950Pa8g16g16 9.8DDph 例题 8：如图所示为一圆柱形容器，直径为300mmd，高500mmH，容器内装水，水深为1300mmh，使容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速1n。解：以自由液面的最低处为坐标原点，自由液面方程为 Hgdgrz822222 旋转后无水的体积为：22242221002d2d2644ddrdVzr rr rdHhgg 1418
9、7g(Hh).d rad s 130178 3n.r min 例 9 已知平面直角坐标系中的二维速度场xtytuij。试求：（1）迹线方程；ddddxyzxyztuuu（2）流线方程；dddxyzxyzuuu（3）0t 时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度；（4）涡量，并判断流动是否有旋。解：（1）将,xyuxt uyt代入迹线方程ddddxyxyu,utt得：ddddxyxt,yttt 解这个微分方程得迹线的参数方程：1,1ttxaetybet 其中，,a b是积分常数（拉格朗日变数）。消掉时间 t，并给定,a b即可得到以,x y表示的流体质点,a b的迹线方程。例如：已知欧拉法表
10、示的速度场22xyuij，求流体质点的迹线方程，并说明迹线形状。将2,2xyux uy代入迹线微分方程：ddddxyxyu,utt，得：dd22ddxyx,ytt 分离变量并积分，得：12ln2ln2xtcytc 从上两式中消去时间 t 得迹线方程：12xycc 即：xyc 可见，该流场中流体质点的迹线为一双曲线。（2）将,xyuxt uyt代入流线微分方程ddxyxyuu得：ddxyxtyt 将t看成常数，积分上式得流线方程：lnlnlnxtytc 或 xtc yt（3）由质点导数的定义可得流动在 x 和 y 方向的加速度分量分别为：DDxxxxxxyuuuuauuttxy110 xtyt
11、1xt DDyyyyyxyuuuuauuttxy101xtyt 1yt 所以，0t 时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度为：D1122Dxxaaxtytt uaijijij（4）由涡量的定义，对于题中所给的平面流动有：0yxzuuxy ukk 所以流动无旋。例 10 已知二维速度场为4xuxy，4yuyx 。（教材 P68）（1）证明该速度分布可以表示不可压缩流体的平面流动；（2）求该二维流场的流函数；（3）证明该流动为势流；（4）求速度势函数。解：（1）平面流动判定 不可压缩流体平面流动的连续方程为 0yxuuxy 由已知条件可求41xuxyxx，41yuyxyy ，可见速度分布满足
12、连续方程。故可以表示不可压缩流体的平面运动。（2）流函数(,)x y的确定 按流函数定义和已知条件有 4xuxyy (1)4yuyxx (2)积分式(1)得 2d()2()yf xxyyf xy (3)为确定函数)(xf，将式(3)对x求偏导，并按流函数定义令其等于yu，即()4yyfxuyxx (4)由式(4)可以判定xxf4)(，积分求)(xf得 cxxxxxfxf22d4d)()(5)其中c为积分常数。将式(5)代入式(3)，得：2222xxyyc（3）有势流动判定 判定流动是否为有势流有两种方法。方法一：是直接利用速度场求旋度看其是否为零 11144(44)0222yxzuuyxxyx
13、yxy 由此可以判定流动为有势流。方法二：看流函数是否满足拉普拉斯方程（因为平面不可压缩势流同时存在流函数和势函数）：2222()()(4)(4)0yxuuyxxyxyxyxy 流函数满足拉普拉斯方程，流动为势流。（4）势函数),(yx 方法一：按势函数定义和已知条件有 4xuxyx (6)4yuyxy (7)积分式(6)得 21d()4()2xf xxxyf yx (8)为确定函数()f y，将式(8)对y求偏导，并按势函数定义式(7)令其等于yu，即 4()4yxfyuyxy (9)由式(9)可以判定()fyy，积分求()f y得 21()()dd2f yfyyy yyc (10)其中c为
14、积分常数。将式(10)代入式(8)，得：22422xyxyc 方法二：因已证明流动为有势流，则必然存在势函数，且xu和yu已知，可利用势函数的全微分：dddddxyxyuxuyxy，作不定积分求),(yx：dddddxyxyuxuyxy 4d4dxyxyxy 22422xyxyc 例 11：证明：2222yxx所表示的流动是势流，并求出该流动的速度势函数。解：1）判断流动是否为势流 方法一 14yxux 4xyuy 4(4)0yxzuuxy 对于x,y平面内的流动，0z说明流动无旋，所以是势流。方法二 14xx，224x 4yy，224y 222220 xy 流函数满足 Laplace 方程，
15、所以流动是势流。2）因为 4yxy 所以 4xyfy 又因为 414xfyxyx 所以 1fy，fyyc 于是 44xyfyxyyc 教材习题：三维不可压缩流场中225xuxz，223yuyz，且已知0z处0zu，试求流场中的zu表达式，并检验是否无旋 解：由连续方程0yxzuuuxyz得：22yzzuuuxyzyz 积分得：2()zuxy zc 由0z处zu=0 得：c=0 所以流场中的zu表达式为2()zuxy z 由于1()22yzxuuzyz，1()22xzyuuzzx，1()02yxzuuxy 可见，当0z 时，该流体运动是无旋的；当0z 时，该流体运动是有旋的。已知二元流场的速度势
16、为22yx （1）试求xu和yu，并检验是否满足连续条件和无旋条件。（2）求流函数。解：（1）2xuxx，2yuyy 由于220yxuuxy，满足连续方程；由于1()02yxzuuxy，流动无旋。（2）由流函数的定义：2xuxy 2yuyx 积分式得 d()2()yf xxyf xy 将式对 x 求偏导，并令其等于yu，即2()2yfxyy，可得()0fx，()f xc 于是，流函数为：2xyc 不可压缩流场的流函数为xy5（1）证明流动有势（2）并求速度势函数。（3）求（1，1）点的速度。解：（1）因为5xuxy，5yuyx 所以，1()02yxzuuxy，即流动无旋，也即有势。（2）因为5
17、xuxx，5yuyy 所以，ddddd5 d5 dxyxyuxuyx xy yxy 对上式作不定积分得速度势函数：2255d(dd)(dd)22xyxyxyuxuycxy（3）由5xuxx，5yuyy，得，（1，1）点的速度为：15xxu，15yyu 即：1,155uij 已知22xux yy，22yuxy x，试求此流场中在1x，2y点处的线变率、角变率和角速度。解：由22xux yy，22yuxy x，1x，2y，得 线变率为：24xxuxyx，24yyuxyy 角变率为：221113()(22)(24 14)2222yxzuuxyxyxy 角速度为：221117()(22)(24 14)
18、2222yxzuuxyxyxy 例题 12：如图所示，有一水平放置的喷管水射流装置，由直管段和收缩形喷管组成，喷嘴与直管段的接头用螺栓连接。水流从喷嘴喷出，冲击到一块垂直平板上。已知：喷管上游直管段的截面积2150cmA，水的压强146080Pap（表压，即相对于大气压的值），喷管出口截面积2230cmA。若将射流视为不可压缩流体的稳态流动，且不计粘性和重力的影响。试求：（1）喷管与直管段接头处所受的拉力；（2）平板所受的水流的冲击力。2u3u2u2233441u11x2AxRxF1A1p 解：建立如图所示的坐标系，取 x 轴所在的水平面为基准面；选取控制体，确定控制面；分析控制体受力：假定喷
19、管壁面对水的作用力在水平方向的分量为xR，沿 x 轴的负方向；垂直平板对射流的作用力为xF，沿 x 轴的负方向。对 11 和 22 截面列伯努利方程：2211221222pupugzgz，将已知条件120zz，146080Pap，20p（相对压强）代入伯努利方程，得：221212puu （A）又由质量守恒方程1122u Au A，可得：1122uAuA （B）联立求解（A）和（B）可得：17.2m su，212m su，3120.036m sQQQ。（1）针对 11 和 22 截面间的控制体，列 x 方向的动量方程：221 111xQ uQuRp A 可求得喷管壁面对水流的作用力：411124
20、608050 1010000.036 7.2 1257.6NxRp AQ uu xR为正值，说明喷管壁面对水流的作用力方向与初始假定的方向相同，水流对喷管壁面沿水平方向的作用力xR为xR的反作用力，故有57.6NxxRR ，即喷管与直管段接头处所受的拉力为。（2）针对 22、34 和 44 截面间的控制体（该控制体周围的压强均为大气压强，故不考虑压强引起的作用力），列 x 方向的动量方程：220 xQ uF 可求得垂直平板对射流的作用力：2 21000 0.036 12432NxFQ v xF为正值，说明垂直平板对射流的作用力方向与初始假定的方向相同，射流对垂直平板的作用力xF为xF的反作用力
21、，故有432NxxFF 。例题 13：如图所示，将一平板放在自由水射流中，并垂直于射流的轴线，该平板截去射流的一部分1Q，并引起射流其余部分偏转角度。已知1224m suuu，42L sQ（升/秒），116L sQ。求射流对平板的作用力 R 及射流的偏转角（不计摩擦力及水的重量的影响，取水的密度31000kg m）。Qu1u1Q11222Q2uxxRy00 解：建立坐标系，选取控制体，确定控制面。分析受力（假定力的方向）：由于不计摩擦力的影响，平板对射流只有沿垂直于平板方向的法向作用力xR（假设其方向向左），而沿平行于平板方向的切向摩擦力0yR。于是可列出 x 和 y 方向的动量方程：22co
22、sxQ uQuR 1 122sin0QuQ u 根据已知条件和连续性方程：23212.6 10m sQQQ 将其他已知条件带入，可以求得：116sin37.9826o，516.15NxR 射流对平板的作用力516.15NxRR ，方向向右。例题 14：如图所示连续管系中的 90渐缩弯管放在水平面上，管径115cmd，27 5cmd.，入口处平均流速12 5m/su.，静压416 86 10 Pap.（计示压强）。如不计能量损失，试求支撑弯管在其位置所需的水平力 1u2uxFyF 解：由112u Au A可得：211211122410 m/sAduuuuAd 由22112222pupugggg，
23、得：22422211210006 86 102 51021725 Pa22ppu-u.-由 1111222111222200 xypQA-FQup A-FQAAuuQu，得：224321110 156 86 10102 51322 71 N4xFA pu.22322220 07521275 1010537 78 N4yFApu.22221322 71537 781438 63 NxyFFF.例题 15：离心式风机可采用如图 3 所示的集流器来测量流量，已知风机入口侧管道直径400mmd，U形 管 读 数2100mmH Oh,水 与 空 气 的 密 度 分 别 为31000kg mw,31.2k
24、g ma，忽略流动的能量损失，求空气的体积流量VQ。解：针对在风机入口前断面 11 和 U 型管所在的风筒截面 22 列伯努里方程：200002apugg 得 2apu 由静力学基本方程：0 wwpghpgh 带入上式，得：100022 9 807 0 140 43 m/s 1 2waugh.空气的体积流量：22340 43(0.4)5 08 m/s44Vud.Q 例题 16：如图所示，离心式水泵通过一内径150mmd 的吸水管以360mhVQ 的流量，从一个截面积远大于吸水管截面积的敞口水池中吸水，并将水送至一水箱。设装在水泵入口处的真空计读数为44 10vp Pa。水池水面为大气压ap，水
25、力损失不计，试求水泵的吸水管高度sH dsH1122apvp 解：选取自由液面 1-1 为零势能面，针对 1-1 截面和水泵入口截面 2-2 列伯努里方程：22112212g2g2pupuzzgg 带入条件：121212240,0,VsaavQzzH uupppppd，得 2s2100g24aavVpppHggQd 224322s14 1014 604 03 mg2109 812 9 81 3600 3414 0 15vVpH.g.Qd.例题 17：离心泵吸水管路如图所示，已知管径 d=250 毫米，吸水管路全长 L10 米，通过管路的流量为 Q80 升/秒，吸水井水面压强0p=1 工程大气压
26、（1 工程大气压98100Pa），泵进口处最大允许的真空度vp=工程大气压。此管中带有单向底阀的吸水滤器一个，r/R=的 90度弯头一个。问允许水泵的实际安装高度xH为多少（提示：水的运动粘度为=106；若为湍流，沿程阻力系数可取=，带有单向底阀的吸水滤器局部阻力系数可取1=8，90 角弯管局部阻力系数为2=）。dHx00110z1z0pvp 解：将吸水井水面和泵入口截面分别设为 00 和 11 截面，取 00 截面为基准面，列伯努里方程：2200110122xpupuzzHgggg 整 理 得：2011102xppuzzHggg (1)其中：10 xzzH（吸水高度）；0appgg（大气压相
27、当的水头）；00u；101vapppppgggg为泵入口截面真空度相当的水头；吸水管内的流速：312244 80 101.63m s0.25Qud 161.63 0.2540466723201.007 10u dRe，吸水管内的流动为湍流；吸水段上的总损失（包括沿程损失和局部损失）：11222222101.631.630.0380.294 20.060.252 9.82 9.80.16271.17231.335mxiuuLHdgg 于是(1)式可以写为：212vxxupHHgg (2)当泵进口处达到最大允许的真空度工程大气压时，相应的吸水高度也为允许的最大值，于是由（2）式，得：22130.7 981001.630.13546.8646 m2109.812 9.81vxxupHHgg