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1、北京市东城区九年级数学上册期中试卷（含答案）（时间：120 分钟 满分：120 分）一、选择题（每题 3 分，共 24 分）1若反比例函数的图象经过点（3，2），则该反比例函数的表达式为（）Ay=By=Cy=Dy=2已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120，则这个扇形的弧长是（）A B C D 3 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为 2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 6m，与树距 15m，那么这颗树的高度为（）A5m B7m C7.5m D21m 4如图，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上若ABD=55，则BCD
2、的度数为（）A25 B30 C35 D40 5二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式为=b24ac，则下列四个选项正确的是（）Ab0，c0，0 Bb0，c0，0 Cb0，c0，0 Db0，c0，0 6如图，O 的半径为 4，将O 的一部分沿着 AB 翻折，劣弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为（）A3 B2 C6 D4 7如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在小正方形的顶点上，则 cosA 的值为（）A B2 C D 8如图，在 RtABC 中，A=90，AB=AC=4点 E 为 RtABC 边
3、上一点，点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发，沿着 CAB 的路径运动到点 B 为止连接 CE，以点 C 为圆心，CE 长为半径作C，C与线段 BC 交于点 D，设扇形 DCE 面积为 S，点 E 的运动时间为 t，则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积 S 关于运动时间 t 的变化趋势的是（）A B C D 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）9请写出一个顶点在 x 轴上的二次函数解析式：10已知点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数 y=上，当 y1y20时，x1，x2的大小关系是 11 如图，角 的一边在 x 轴上，另一边为射线 OP，点 P（2，2
4、），则 tan=12 如图，点 D 为ABC 的 AB 边上一点，AD=2，DB=3 若B=ACD，则 AC=13如图，AC，AD 是正六边形的两条对角线，在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）；（2）14二次函数 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示，由图象可知，不等式x2+bx+c0 的解集为 15已知O 的半径为 1，其内接ABC 的边 AB=，则C 的度数为 16阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线 已知：如图，BAC求作：BAC 的角平分线 AP 小霞的作法如下：（1）如图，在平面内任取一点 O；（2）以点 O 为
5、圆心，AO 为半径作圆，交射线 AB 于点 D，交射线 AC于点 E；（3）连接 DE，过点 O 作射线 OP 垂直于线段 DE，交O 于点 P；（4）过点 P 作射线 AP 所以射线 AP 为所求 老师说：“小霞的作法正确”请回答：小霞的作图依据是 三、解答题（本题共 72 分）17（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x 的图象与反比例函数 y=的图象的一个交点为 A（1，n）求反比例函数 y=的表达式 18（6 分）已知二次函数 y=x2+4x+3（1）用配方法将 y=x2+4x+3 化成 y=a（xh）2+k 的形式；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个
6、二次函数的图象 19（6 分）已知：如图，在ABC 中，D，E 分别为 AB、AC 边上的点，且 AD=AE，连接 DE若 AC=3，AB=5求证：ADEACB 20（6 分）已知：如图，在ABC 中，AB=AC=8，A=120，求 BC的长 21（5 分）已知：如图，O 的直径 AB 的长为 5cm，C 为O 上的一个点，ACB 的平分线交O 于点 D，求 BD 的长 22（5 分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点 C 到地面的距离即 CD 的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点 A，B，使点 A，B，D 在同一条直线上，测量出A、
7、B 两点间的距离为 9 米；（2）在教室窗户边框上的点 C 点处，分别测得点 A，B 的俯角ECA=35，ECB=45请你根据以上数据计算出 CD 的长（可能用到的参考数据：sin350.57 cos350.82 tan350.70）23（5 分）已知：如图，ABCD 是一块边长为 2 米的正方形铁板，在边 AB 上选取一点 M，分别以 AM 和 MB 为边截取两块相邻的正方形板料 当 AM 的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？24（5 分）已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，D 是半圆上的一个动点（点 D 不与点 A，B 重合），CAD=B（1）求证：AC 是半圆 O 的切
8、线；（2）过点 O 作 BD 的平行线，交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 EF=4，AD=6，求 BD 的长 25（5 分）如图，AB=6cm，CAB=25，P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PMAB 交射线 AC 于点 M，连接 MB，过点 P 作 PNMB 于点 N 设A，P 两点间的距离为 xcm，P，N 两点间的距离为 ycm（当点 P 与点A 或点 B 重合时，y 的值均为 0）小海根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x/cm
9、0.00 0.60 1.00 1.51 2.00 2.75 3.00 3.50 4.00 4.29 4.90 5.50 6.00 y/cm 0.00 0.29 0.47 0.70 1.20 1.27 1.37 1.36 1.30 1.00 0.49 0.00（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 y=0.5 时，与之对应的 x值的个数是 26（7 分）已知一次函数 y1=x1，二次函数 y2=x2mx+4（其中 m4）（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含 m 的代数式表示
10、）；（2）利用函数图象解决下列问题：若 m=5，求当 y10 且 y20 时，自变量 x 的取值范围；如果满足 y10 且 y20 时自变量 x 的取值范围内有且只有一个整数，直接写出 m 的取值范围 27（8 分）已知：如图，AB 为半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上一点，过点 C 作 AB 的平行线交O 于点 E，连接 AC、BC、AE，EB过点 C作 CGAB 于点 G，交 EB 于点 H（1）求证：BCG=EBG；（2）若 sinCAB=，求的值 28（8 分）一般地，我们把半径为 1 的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系 xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点 O 重合，则单位圆与 x
11、轴的交点分别为（1，0），（1，0），与 y 轴的交点分别为（0，1），（0，1）在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 a 的顶点与坐标原点 O 重合，a 的一边与 x 轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点 P（x1，y1），且点P 在第一象限（1）x1=（用含 a 的式子表示）；y1=（用含 a 的式子表示）；（2）将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 90后与单位圆交于点 Q（x2，y2）判断 y1与 x2的数量关系，并证明；y1+y2的取值范围是：答 案 一、选择题（每题 3 分，共 24 分）1若反比例函数的图象经过点（3，2），则该反比例函数的表达式为（）Ay=By=Cy=
12、Dy=【分析】函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式 y=（k0）即可求得 k 的值【解答】解：设反比例函数的解析式为 y=（k0），函数的图象经过点（3，2），2=，得 k=6，反比例函数解析式为 y=故选：B【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式 y=（k 为常数，k0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式 2已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120，则这个扇形的弧长是（）A B C D【分析】根据弧长公式 l=进行解答即可【解答】解：根据弧长的公式 l=，得到：=故选：D【点评
13、】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式即可解答该题 3 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为 2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 6m，与树距 15m，那么这颗树的高度为（）A5m B7m C7.5m D21m【分析】先判定OAB 和OCD 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可【解答】解：如图，ABOD，CDOD，ABCD，OABOCD，=，AB=2m，OB=6m，OD=6+15=21m，=，解得 CD=7m 这颗树的高度为 7m，故选：B 【点评】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键
14、 4如图，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上若ABD=55，则BCD 的度数为（）A25 B30 C35 D40【分析】先根据圆周角定理求出ADB 的度数，再由直角三角形的性质求出A 的度数，进而可得出结论【解答】解：连接 AD，AB 是O 的直径，ADB=90 ABD=55，DAB=9055=35，BCD=DAB=35 故选：C 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键 5二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式为=b24ac，则下列四个选项正确的是（）Ab0，c0，0 Bb0，c0，0
15、 Cb0，c0，0 Db0，c0，0【分析】根据抛物线的性质即可求出答案【解答】解：由图象与 y 轴的交点位置可知：c0，由图象与 x 轴的交点个数可知：0，由图象的开口方向与对称轴可知：a0，0，从而可知：b0，故选：A【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型 6如图，O 的半径为 4，将O 的一部分沿着 AB 翻折，劣弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为（）A3 B2 C6 D4【分析】过 O 作垂直于 AB 的半径 OC，设交点为 D，根据折叠的性质可求出 OD 的长；连接 OA，根据勾股定理可求出 AD 的长，由垂径定理知 AB=2
16、AD，即可求出 AB 的长度【解答】解：过 O 作 OCAB 于 D，交O 于 C，连接 OA，RtOAD 中，OD=CD=OC=2，OA=4，根据勾股定理，得：AD=2，由垂径定理得，AB=2AD=4，故选：D 【点评】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键 7如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在小正方形的顶点上，则 cosA 的值为（）A B2 C D【分析】过 B 作 BDAC 于 D，根据勾股定理得到 AB 的长，然后由锐角三角函数定义解答即可【解答】解：如
17、图，过 B 作 BDAC 于 D，则点 D 为格点，AD=，由勾股定理知：AB2=32+12=10，AB=，RtADB 中，cosA=，故选：C【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角 A 的邻边 b 与斜边 c的比叫做A 的余弦，记作 cosA 8如图，在 RtABC 中，A=90，AB=AC=4点 E 为 RtABC 边上一点，点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发，沿着 CAB 的路径运动到点 B 为止连接 CE，以点 C 为圆心，CE 长为半径作C，C与线段 BC 交于点 D，设扇形 DCE 面积为 S，点 E 的运动时间为 t，则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积 S 关
18、于运动时间 t 的变化趋势的是（）A B C D【分析】根据 RtABC 中，A=90，AB=AC=4，点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发，沿着 CAB 的路径运动到点 B 为止，可得函数图象先上升再下降，根据当 0t 4 时，扇形面积 S=，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故 B 选项错误；根据当 4t8 时，随着 t 的增大，扇形的半径增大，而扇形的圆心角减小，可得后半段函数图象不是抛物线，故 C选项错误；再根据当 t=8 时，点 E、D 重合，扇形的面积为 0，故 D选项错误；运用排除法即可得到结论【解答】解：RtABC 中，A=90，AB=AC=4，点 E 以
19、每秒 1 个单位的速度从点 C 出发，当 0t4 时，扇形面积 S=，前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故 B 选项错误；当 4t8 时，随着 t 的增大，扇形的半径增大，而扇形的圆心角减小，后半段函数图象不是抛物线，故 C 选项错误；当 t=8 时，点 E、D 重合，扇形的面积为 0，故 D 选项错误；故选：A【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）9请写出
20、一个顶点在 x 轴上的二次函数解析式：y=2（x+1）2（答案不唯一）【分析】顶点在 x 轴上的函数是 y=a（xh）2的形式，举一例即可 【解答】解：顶点在 x 轴上时，顶点纵坐标为 0，即 k=0，例如 y=2（x+1）2（答案不唯一）【点评】顶点式 y=a（xh）2+k，顶点坐标是（h，k），此题考查了其中一种函数，要充分理解各函数的关系 10已知点（x1，y1），（x2，y2）在反比例函数 y=上，当 y1y20时，x1，x2的大小关系是 x1x2 【分析】先根据反比例函数 y=中 k=2 可知此函数的图象在一、三象限，再根据 y1y20，可知 A、B 两点均在第三象限，故可判断出x1
21、，x2的大小关系【解答】解：反比例函数 y=中 k=20，此函数的图象在一、三象限，y1y20，A、B 两点均在第三象限，在第三象限内 y 随 x 的增大而减小，x1x2 故答案为 x1x2【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键 11 如图，角 的一边在 x 轴上，另一边为射线 OP，点 P（2，2），则 tan=【分析】如图作 PEx 轴于 E根据 tan=计算即可【解答】解：如图作 PEx 轴于 E P（2，2），OE=2，PE=2，tan=故答案为【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握三角
22、函数的定义，属于中考常考题型 12 如图，点 D 为ABC 的 AB 边上一点，AD=2，DB=3 若B=ACD，则 AC=【分析】由B=ACD、A=A，可证出ACDABC，根据相似三角形的性质可得出=，代入数据即可求出 AC 的值【解答】解：B=ACD，A=A，ACDABC，=，即=，AC=或 AC=（不合题意，舍去）故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出关于 AC 的方程是解题的关键 13如图，AC，AD 是正六边形的两条对角线，在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）BAC=BCA；（2）DAF=ADE 【分析】根据正六
23、边形的特点可得到：因为图形是正六边形，所以AB=BC，所以三角形 ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BAC=BCA因为 EFAD，AF=ED，所以四边形 ADEF 是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得DAF=ADE【解答】解：由分析可知，两个关于图中角度的正确结论：（1）BAC=BCA；（2）DAF=ADE 故答案为：BAC=BCA；DAF=ADE【点评】考查了多边形内角与外角，要结合题目中所提供的已知条件，特别是该图形为正六边形，得出结论 14二次函数 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示，由图象可知，不等式x2+bx+c0 的解集为 x1 或 x5 【分析】先利用抛物线的对称性
24、得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0），然后写出抛物线在 x 轴下方所对应的自变量的范围即可【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x=2，而抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（5，0），所以抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（1，0），所以不等式x2+bx+c0 的解集为 x1 或 x5 故答案为 x1 或 x5【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图在直角标中的上下位置系自变量的取范，可作图利用点直观解也可把个函数解析式列成不式求解 15已知O 的半径为 1，其内接ABC 的边 AB=，则C 的度数为 45或 135 【分析】过圆心作 AB 的垂线，在构建的直角三角形中，
25、易求得圆心角AOB 的度数，由此可求出C 的度数（注意C 所对的弧可能是优弧，也可能是劣弧）【解答】解：如图，连接 OA、OB，过 O 作 ODAB 于 D 在 RtOAD 中，AD=，OA=1，sinAOD=，AOD=45，AOB=135 点 C 的位置有两种情况：当点 C 在如图位置时，C=AOB=45；当点 C 在 E 点位置时，C=E=18045=135 故答案为：45或 135 【点评】本题主要考查了垂径定理以及解直角三角形的应用注意点C 的位置有两种情况，不要漏解 16阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线 已知：如图，BAC求作：BAC 的角平分
26、线 AP 小霞的作法如下：（1）如图，在平面内任取一点 O；（2）以点 O 为圆心，AO 为半径作圆，交射线 AB 于点 D，交射线 AC于点 E；（3）连接 DE，过点 O 作射线 OP 垂直于线段 DE，交O 于点 P；（4）过点 P 作射线 AP 所以射线 AP 为所求 老师说：“小霞的作法正确”请回答：小霞的作图依据是（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义 【分析】根据作图的依据解答即可【解答】解：小霞的作图依据是（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义
27、；故答案为：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义【点评】此题考查作图复杂作图问题，关键是根据作图的依据解答 三、解答题（本题共 72 分）17（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=2x 的图象与反比例函数 y=的图象的一个交点为 A（1，n）求反比例函数 y=的表达式 【分析】把 A 的坐标代入 y=2x，求出 n，得出 A 的坐标，再把 A 的坐标代入反比例函数的解析式求出 k 即可【解答】解：点 A（1，n）在一次函数 y=2x 的图象上，n=（2）（1）=2，点 A 的坐标为（1，2），点 A 在
28、反比例函数 y=的图象上，k=（1）2=2 反比例函数的解析式为 y=【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法同学们要熟练掌握这种方法 18（5 分）已知二次函数 y=x2+4x+3（1）用配方法将 y=x2+4x+3 化成 y=a（xh）2+k 的形式；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象 【分析】（1）利用配方法易得 y=（x+2）21，则抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴为直线 x=2；（2）利用描点法画二次函数图象；【解答】解：（1）y=（x2+
29、4x）+3=（x2+4x+44）+3=（x=2）21；（2）如图：【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）；顶点式：y=a（xh）2+k（a，h，k 是常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（xx1）（xx2）（a，b，c 是常数，a0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与 x 轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）也考查了二次函数图象与性质 19（5 分）已知：如图，在ABC 中，D，E 分别为 AB、AC 边上的点，且 AD=AE，连接 DE若
30、AC=3，AB=5求证：ADEACB 【分析】根据已知条件得到，由于A=A，于是得到ADEACB；【解答】证明：AC=3，AB=5，AD=，A=A，ADEACB【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 20（5 分）已知：如图，在ABC 中，AB=AC=8，A=120，求 BC的长 【分析】过点 A 作 ADBC 于 D解直角三角形求出 BD，利用等腰三角形的性质即可解决问题【解答】解：过点 A 作 ADBC 于 D AB=AC，BAC=120，B=C=30，BC=2BD，在 RtABD 中，ADB=90，B=30，AB=8，cosB=，
31、BD=ABcos30=8=4，BC=8【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 21（5 分）已知：如图，O 的直径 AB 的长为 5cm，C 为O 上的一个点，ACB 的平分线交O 于点 D，求 BD 的长 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得ACB=ADB=90，再根据角平分线的定义可得DAC=BCD，然后求出 AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可；【解答】解：AB 为直径，ADB=90，CD 平分ACB，ACD=BCD，=AD=BD，在等腰直角三角形 ADB 中，BD=ABsin45=5=，BD=【点评】本题考查了直
32、径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据直径所对的圆周角是直角可得ACB=ADB=90 22（5 分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点 C 到地面的距离即 CD 的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点 A，B，使点 A，B，D 在同一条直线上，测量出A、B 两点间的距离为 9 米；（2）在教室窗户边框上的点 C 点处，分别测得点 A，B 的俯角ECA=35，ECB=45请你根据以上数据计算出 CD 的长（可能用到的参考数据：sin350.57 cos350.82 tan350.70）【分析】设 CD=x，在 Rt
33、CDB 中，CD=BD=x，在 RtCDA 中 tanCAD=，根据图中的线段关系可得 AD=AB+BD，进而可得 9+x=，再解即可【解答】解：由题意可知：CDAD 于 D，ECB=CBD=45，ECA=CAD=35，AB=9 设 CD=x，在 RtCDB 中，CDB=90，CBD=45，CD=BD=x，在 RtCDA 中，CDA=90，CAD=35，tanCAD=，AD=，AB=9，AD=AB+BD，9+x=，解得 x=21，答：CD 的长为 21 米 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决 23（5 分）已知：如图，AB
34、CD 是一块边长为 2 米的正方形铁板，在边 AB 上选取一点 M，分别以 AM 和 MB 为边截取两块相邻的正方形板料 当 AM 的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？【分析】设 AM 的长为 x 米，则 MB 的长为（2x）米，由题意得出y=x2+（x2）2=2（x1）2+2，利用二次函数的性质求解可得【解答】解：设 AM 的长为 x 米，则 MB 的长为（2x）米，以 AM 和 MB 为边的两个正方形面积之和为 y 平方米 根据题意，y 与 x 之间的函数表达式为 y=x2+（x2）2=2（x1）2+2，因为 20 于是，当 x=1 时，y 有最小值，所以，当AM的长为1米
35、时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小【点评】本题考查了二次函数的最值，二次项系数 a 决定二次函数图象的开口方向 当 a0 时，二次函数图象向上开口，函数有最小值；a0 时，抛物线向下开口，函数有最大值 24（5 分）已知：如图，AB 是半圆 O 的直径，D 是半圆上的一个动点（点 D 不与点 A，B 重合），CAD=B（1）求证：AC 是半圆 O 的切线；（2）过点 O 作 BD 的平行线，交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，且 EF=4，AD=6，求 BD 的长 【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 欲证 AC 是半圆 O 的切线，只需证明CAB=90即可；（
36、2）由相似三角形的判定定理 AA 可以判定AEFBAD；然后根据相似三角形的对应边成比例，求得 BD 的长即可【解答】解：（1）AB 是半圆直径，BDA=90，B+DAB=90，又DAC=B，DAC+DAB=90，即CAB=90，AC 是半圆 O 的切线（2）由题意知，OEBD，D=90，D=AFO=AFE=90，OEAD，AFE=D=AFO=90，AF=AD=3，又AD=6 AF=3 又B=DAE，AEFBAD，=，而 EF=4，解得 BD=【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 25（5 分）如图
37、，AB=6cm，CAB=25，P 是线段 AB 上一动点，过点 P 作 PMAB 交射线 AC 于点 M，连接 MB，过点 P 作 PNMB 于点 N 设A，P 两点间的距离为 xcm，P，N 两点间的距离为 ycm（当点 P 与点A 或点 B 重合时，y 的值均为 0）小海根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x/cm 0.00 0.60 1.00 1.51 2.00 2.75 3.00 3.50 4.00 4.29 4.90 5.50 6.00 y/c
38、0.0 0.2 0.4 0.7 1.2 1.2 1.3 1.3 1.3 1.0 0.4 0.0m 0 9 7 0 0 7 7 6 0 0 9 0（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 y=0.5 时，与之对应的 x值的个数是 2 个 【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题；（2）利用描点法，画出函数图象即可；（3）作出直线 y=0.5 与图象的交点，交点的个数是 2 个【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得 x=2.00cm 时，y=0.91cm；（2）利用
39、描点法，图象如图所示 （3）由图可知，当 y=0.5 时，与之对应的 x 值的个数是 2 个 故答案为 2 个【点评】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题 26（7 分）已知一次函数 y1=x1，二次函数 y2=x2mx+4（其中 m4）（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含 m 的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：若 m=5，求当 y10 且 y20 时，自变量 x 的取值范围；如果满足 y10 且 y20 时自变量 x 的取值范围内有且只有一个整数，直接写出 m 的取值范围【分析】（1）利用配方法求二次函数的
40、顶点坐标；（2）把 m=5 代入 y2，画图象，并求与 x 轴交点 A、B、C 三点的坐标，根据图象可得结论；根据题意结合图象可知 x=3，把 x=3 代入 y2=x2mx+40，当 x=4时，y2=x2mx+40 即可求得 m 的取值；【解答】解：（1）y2=x2mx+4=（x）2+4，二次函数图象的顶点坐标为：（，+4）（2）当 m=5 时，y1=x1，y2=x25x+4（4 分）如图，当 y1=0 时，x1=0，x=2，A（2，0），当 y2=0 时，x25x+4=0，解得：x=1 或 4，B（1，0），C（4，0），因为 y10，且 y20，由图象，得：2x4 （5 分）当 y10 时
41、，自变量 x 的取值范围：x2，如果满足y10且y20 时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，x=3，当 x=3 时，y2=323m+40，解得 m，当 x=4 时，y20，即 164m+40，m5，m 的取值范围是：m5（7 分）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思想 27（8 分）已知：如图，AB 为半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上一点，过点 C 作 AB 的平行线交O 于点 E，连接 AC、BC、AE，EB过点C 作 CGAB 于点 G，交 EB 于点 H（1）求证：BCG=EBG；（2）若 sin
42、CAB=，求的值 【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角和平行线的性质证明即可；（2）在 RtHGB 与 RtBCG 中，利用三角函数的性质，即可求得的值【解答】证明：（1）AB 是直径，ACB=90，CGAB 于点 G，ACB=CGB=90 CAB=BCG，CEAB，CAB=ACE BCG=ACE 又ACE=EBG BCG=EBG，（2）sinCAB=，由（1）知，HBG=EBG=ACE=CAB 在 RtHGB 中，由（1）知，BCG=CAB 在 RtBCG 中，设 GH=a，则 GB=2a，CG=4aCH=CGHG=3a，ECAB，ECH=BGH，CEH=GBH ECHBGH，【点评】
43、此题考查了与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等此题综合性较强，属于中档题，解题时要注意数形结合思想的应用28（8 分）一般地，我们把半径为 1 的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系 xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点 O 重合，则单位圆与 x 轴的交点分别为（1，0），（1，0），与 y 轴的交点分别为（0，1），（0，1）在平面直角坐标系 xOy 中，设锐角 a 的顶点与坐标原点 O 重合，a 的一边与 x 轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点 P（x1，y1），且点 P 在第一象限（1）x1=cos （用含 a 的式子表示）；y1=sin（用含 a 的式子
44、表示）；（2）将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 90后与单位圆交于点 Q（x2，y2）判断 y1与 x2的数量关系，并证明；y1+y2的取值范围是：1y1+y2 【分析】（1）如图作 PFx 轴于 F，QEx 轴于 E则 OF=OPcos，PF=OPsin，由此即可解决问题；（2）过点 P 作 PFx 轴于点 F，过点 Q 作 QEx 轴于点 E只要证明QOEOPF 即可解决问题；当P在x轴上时，得到y1+y2的最小值为1，由y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形 QEFP 是直角梯形，PQ=，EFPQ，即可推出当 EF=PQ=时，得到 y1+y2的最大值为；【解答】解
45、：（1）如图作 PFx 轴于 F，QEx 轴于 E 则 OF=OPcos，PF=OPsin，x1=cos，y1=sin，故答案为 cos，sin；（2）结论：y1=x2 理由：过点 P 作 PFx 轴于点 F，过点 Q 作 QEx 轴于点 E PFO=QEO=POQ=90，POF+OPF=90，POF+QOE=90，QOE=OPF，OQ=OP，QOEOPF，PF=OE，P（x1，y1），Q（x2，y2），PF=y1，OE=x2，y1=x2 当 P 在 x 轴上时，得到 y1+y2的最小值为 1，y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形 QEFP 是直角梯形，PQ=，EFPQ，当 EF=PQ=时，得到 y1+y2的最大值为，1y1+y2 故答案为 1y1+y2 【点评】本题考查圆综合题、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、直角梯形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型