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1、-1-湖北省荆门市 2020 高三数学元月调考试题 理 注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。1已知集合0lg|xxA，13|xxB，则 A.|0ABx x BAB R C.|1ABx x DAB 2设i是虚数单位，则i2i1等于 A
2、0 B2 C2 D4 3下列各式中错误的是 A330.80.7 B.lg1.6lg1.4 C.6.0log4.0log5.05.0 D.0.10.10.750.75 4设双曲线2222:10,0 xyCabab的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为30 xy，则双曲线C的方程为 A2213xy B2213yx C221412xy D221124xy 5已知函数 sinf xAx（0A，0，2）的部分图象如图所示，则 A6 B4 C3 D23 6已知1tan4,tan则2sin()4 A15 B14 C12 D34 7太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、
3、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影-2-部分可表示为2222224,11110 xyx y xyxyx 或，设点(,)x yA，则2zxy的取值范围是 A15,2 5 B2 5,2 5 C 2 5,15 D4,15 8某班元旦晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A36 种 B42 种 C48 种 D54 种 9灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般
4、指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是 A甲 B乙 C丙 D丁 10函数ln1()xf xex的大致图象为 11已知二面角l 为060,动点 P、Q 分别在、内，P 到的距离为3,Q 到的距离为32,则 PQ 两
5、点之间距离的最小值为 A.3 B1 C2 D2 -3-12设函数 sinf xx，0000,Axf xfx，22,1322xyBx y，若存在实数，使得集合AB中恰好有 7 个元素，则0 的取值范围是 A35,44 B3,4 C5,4 D3,2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（下表为随机数表的前2行）开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为.14已知向量,a b满足3,(3,3)ab且0aab，则,a b的夹角为.1
6、5对任意21,xe不等式2axex恒成立（其中e是自然对数的底数），则实数a的取值范围是.16.已知三棱锥 P-ABC 外接球的表面积为100，PA平面 ABC，8PA,060BAC,则三棱锥体积的最大值为.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）已知在等比数列 na中，12a，且1a，2a，32a 成等差数列（）求数列 na的通项公式；（）若数列 nb满足：212lognnnbaa，求数列 nb的前n项和nS 18.（本小题满分 12 分）如图所示，在四棱锥ABCDE中，平面BCDE 平面ABC，,3,2 3,30B
7、EEC BCABABC.7816 6514 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 -4-（）求证：ACBE；（）若二面角BACE为45，求直线AB与平面ACE 所成的角的正弦值 19.（本小题满分 12 分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水量(单位：吨)，
8、制作了频率分布直方图，（）用该样本估计总体：（1）估计该市居民月均用水量的平均数；（2）如果希望 86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？（）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查 3 位居民的月均用水量，其中月均用水量不超过 2.5 吨的人数为X，求X的分布列和均值.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyEabab的一个焦点与上下顶点构成直角三-5-角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线20 xy相切（）求椭圆E的标准方程；（）,A B C为椭圆E上不同的三点，O为坐标原点，若0OAOBOC，试问：ABC的面积是否为定值？若是，请求
9、出定值；若不是，请说明理由 21.（本小题满分 12 分）已知函数 2lnfxxxaxaR在定义域内有两个不同的极值点.（）求实数a的取值范围；（）若 fx有两个不同的极值点12,x x，且12xx，若不等式121xx恒成立，求正实数的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为:1cossinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为:4R（）求直线l与曲线1C公共点的极坐标；（）设过点0,1P的直线m交曲线1C于A，B
10、两点，求PAPB的值 -6-23.（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】设不等式211x 的解集是M，a，bM（）试比较1ab 与ab的大小；（）设max A表示数集A中的最大数2211max,44abhaabb，求h的最小值 -7-荆门市 2020 年高三年级元月调考试卷 数学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题：每小题 5 分，共 60 分.1-5 DBDBC 6-10 DCBAC 11-12 AB 12.的 极 大 值 或 极 小 值，一 定 在 直 线上，又在集合-8-中 当时，得-9-，-10-，故选 B 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分 13.43 14.15.16.-
11、11-三、解答题：17.解：（1）设 等 比 数 列的 公 比 为，-12-，成等差数列，-13-，3 分 6 分 -14-（2），8 分 10 分 -15-12 分 18.解：（）证 明：在中，-16-所 以,所 以 2 分 因为平面平面-17-,平面平面,-18-,所以平面 4 分 -19-又因为平面，所以 6 分 -20-（）因为平面，平面-21-，所以 又,平面-22-平面,所以是平面-23-与平面所 成 的 二 面 角 的 平 面 角，即 8 分 -24-因为,所以平面 -25-所以是直线与平面所成的角10 分 -26-因为在中，所以在中，-27-12 分 （）另解：因为平面-28-
12、，平面，所以-29-又,平面平面-30-,所以是平面与平面-31-所 成 的 二 面 角 的 平 面 角，即 8 分 即为等腰-32-，过E作则 O 为 BC 中点，取 AB 中点 F，连接 OF 则如图建系则 -33-设平面 EAC 的一个法向量为,-34-由 10 分 又,直线 AB 与平面 ACE 所成的角为 -35-则12 分 19解：（）(1)月均用水量 -36-3 分（2）由直方图易知：故月均用水量a的最低标准定为 2.7 吨6 分（）依 题 意 可 知，居 民 月 均 用 水 量 不 超 过2.5吨 的 概 率 是-37-，则 -38-10 分 -39-0 X 0 1 P -40
13、-故X的分布列为:12 分 20.解：（）由题意知，2 分 -41-解得 则椭圆 C 的方程是：4 分（）当 AB 斜率不存在时，-42-5 分 设由 -43-设则7 分 -44-9 分 原点 O 到 AB 的距离 11 分 -45-故 综上：的面积为定值 .12 分 -46-21.解：（）由题意，方程在有两个不同根,即方程有两个不同根；-47-解 法1：转 化 为 函 数与 函 数的图象在上有两个不同交点，-48-令,1 分 -49-故在处的切线方程为：3 分 -50-代入点有：由图象可得：5 分 -51-解 法2：转 化 为 函 数与 函 数的图象在上有两个不同交点 1 分 -52-，故时
14、，-53-时，-54-3 分 又 -55-由图象可得：5 分 解法3：1 分 -56-最多只有一个实根，不合题意；2 分 -57-故 -58-故 5 分（）由（）知：-59-6 分 -60-8 分 -61-故，不合题意；10 分 -62-，即 12 分 -63-22.（1）曲 线的 普 通 方 程 为，直线的普通方程为-64-，2 分 联立方程，解得或-65-，4 分 所以，直线与曲线公共点的极坐标为-66-，5 分（2）依 题 意，设 直 线的 参 数 方 程 为-67-（为倾斜角，为参数），-68-代入，整理得7 分 设对应的参数分别为-69-则 10 分 另解：设为-70-的 一 条 切 线，由 切 割 线 定 理：23.由得-71-，解得，2 分 -72-（1）由，得，-73-，故 5 分 -74-（2）由，得，-75-，7 分，故 9 分 -76-当且仅当 10 分