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1、（2）直线）直线l 和和 O相切相切1.圆和直线的位置关系。圆和直线的位置关系。（1）直线）直线l 和和 O相离相离（3）直线）直线l 和和 O相交相交drd=rdrdorldorlodrl2.2.什么叫做切线？什么叫做切线？3.3.你已经学会了哪些判断一条直线是圆的切你已经学会了哪些判断一条直线是圆的切线的方法？线的方法？1.1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？是什么方向？2.2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？问题问题观察、提出问题、分析发现观察、提出问题、分析发现 根根据据切切线线的的定定
2、义义可可以以判判定定一一条条直直线线是是不不是是圆圆的的切切线线，但但有有时时使使用用定定义义判判定定很很不不方方便便我我们们从从另另一一个个侧侧面面去去观观察察，那那就就是是直直线线和和圆圆的的位位置怎样时，直线也是圆的切线呢置怎样时，直线也是圆的切线呢?图图(2)中直线中直线l是是 O的切线，怎样判定？的切线，怎样判定？图（）图（）图（）图（）图（）图（）OOO O 请在请在O上任意取一点上任意取一点A，连接，连接OA。过点。过点A作直线作直线 lOA。思考一下问题：。思考一下问题：1.圆圆心心O到到直直线线l的的距距离离和和圆圆的的半半径径有有什什么么数数量关系量关系?2.二者位置有什么
3、关系？为什么？二者位置有什么关系？为什么？3.由此你发现了什么？由此你发现了什么？lA发现发现：(1)(1)直线直线 l 经过半径经过半径OAOA的外端点的外端点A A；(2)(2)直线直线l垂直于半径垂直于半径0A0A 则则:直线直线l与与 O相切相切这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法的切线的方法切线的判定定理切线的判定定理AOl直线与圆相切的判定定理：直线与圆相切的判定定理：经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半径的这条半径的直线是圆的切线。直线是圆的切线。对定理的理解：对定理的理解：切线需满足两条：切线需满足两条：经过半径
4、外端；经过半径外端；垂直于这条半径垂直于这条半径 OOr rl l A A如图所示如图所示 OAOA是半径，是半径，l OA OA于于A A l是是O O的切线。的切线。定理的几何符号表达：定理的几何符号表达：判判 断断1.1.过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（）2.2.与半径垂直的的直线是圆的切线（与半径垂直的的直线是圆的切线（与半径垂直的的直线是圆的切线（与半径垂直的的直线是圆的切线（）3.3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆
5、的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）OOr rl lA AOOr rl lA AOOr rl lA A问题：定理中的两个条件缺少一个行不行问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?两个条件两个条件,缺一不可缺一不可例例例例1 1已知：直线已知：直线已知：直线已知：直线ABAB经过经过经过经过 OO上的点上的点上的点上的点C C，并且，并且，并且，并且OA=OBOA=OB，CA=CBCA=CB。求证：直线求证：直线求证：直线求证：直线ABAB是是是是 OO的切线。的切线。的切线。的切线。OOB BA AC C分析：由于分析：由于ABAB过过O O上的点上的点C C，所以连，所以连接接O
6、COC，只要证明，只要证明ABOCABOC即可。即可。证明：连结证明：连结OC(OC(如图如图)。OABOAB中，中，OAOAOBOB,CA,CACB,CB,ABOCABOC。OCOC是是O O的半径的半径 ABAB是是O O的切线。的切线。已知一个圆和圆上的一点已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线如何过这个点画出圆的切线?辅助线：有点连圆心，证垂直辅助线：有点连圆心，证垂直辅助线：无交点，作垂直，证等于半径辅助线：无交点，作垂直，证等于半径.例例例例2 2已知：已知：已知：已知：O O O O为为为为BACBACBACBAC平分线上一点，平分线上一点，平分线上一点，平分线上一点，
7、ODABODABODABODAB于于于于D,D,D,D,以以以以O O O O为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，ODODODOD为半径作为半径作为半径作为半径作O O O O。求证：求证：求证：求证：O O O O与与与与ACACACAC相切。相切。相切。相切。OOA AB BC CE ED D证明：过证明：过O O作作OEACOEAC于于E E。AOAO平分平分BACBAC，ODABODAB OE OEODOD 即圆心即圆心O到到AC的距离的距离 d=r AC AC是是O O切线。切线。例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同?(1)(1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆
8、上一点,则连结这点和则连结这点和圆心圆心,得到辅助半径得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。再证所作半径与这直线垂直。简记为：简记为：连半径连半径,证垂直证垂直。(2)(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长再证垂线段长等于半径长。简记为：等于半径长。简记为：作垂直作垂直,证半径证半径。OOB BA AC COOA AB BC CE ED D归纳分析归纳分析1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。线。2、数量法（、数量
9、法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。的切线。3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。是圆的切线。即：即：（1）若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径；点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径；（2）若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直）若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径.OOA AL L将上页思考中的问题将上页思考中的
10、问题反过来反过来,如果如果L是是 O的切线的切线,切点为切点为A,那么那么半径半径OA与直线与直线L是不是不是一定垂直呢是一定垂直呢?一定垂直一定垂直一定垂直一定垂直切线的性质定理切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径、切线和圆只有一个公共点。、切线和圆只有一个公共点。、切线和圆心的距离等于半径。、切线和圆心的距离等于半径。、切线垂直于过切点的半径。、切线垂直于过切点的半径。、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。1.1.如图如图如图如图,AB,AB是是是是 O
11、O的直径的直径的直径的直径,ABT=45,AT=AB,ABT=45,AT=AB,求证求证求证求证:AT:AT是是是是 OO的切线的切线的切线的切线.练习：练习：证明：证明：证明：证明：ABT=45,AT=ABABT=45,AT=AB，T=45,T=45,BAT=90,BAT=90,AT AT O的切线的切线。2.求证：经过直径两端点的切线互相平行求证：经过直径两端点的切线互相平行练习：练习：DCBAO 已知：如图，已知：如图，AB 是是 O的直径，的直径，AC、BD是是 O的切线的切线.证明：如图，证明：如图，AB 是是 O的直径的直径AC、BD是是 O的切线的切线ABACABBDACBD求证
12、求证:ACBD课堂小结1.1.判定切线的方法有哪些？判定切线的方法有哪些？直线直线l 与圆有唯一公共点与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线是圆的切线2.2.常用的添辅助线方法？常用的添辅助线方法？直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直连半径，证垂直）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（段，再证明这条垂线段等
13、于圆的半径。（作垂直，证半径作垂直，证半径）l是圆的切线是圆的切线l是圆的切线是圆的切线3.3.圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即即“连半径，得垂直连半径，得垂直”。练习：如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证:AC平分DAB B AC O123 D证明证明:连结连结OCCD是是 O的切线的切线OCCD 又又CDADOCAD 1=3又又OA=OC2=3 1=2 即即AC平分平分DAB 如图如图,AB为为 O的直径
14、的直径,C为为 O上上一点一点,ADCD,AC平分平分DAB.求证求证:CD是是 O的切线的切线变式变式1 1变式变式2 2如如图图,AB为为 O的的直直径径,AC平平分分DAB,CD是是 O的切线的切线.求证求证:ADCD3 2 1 BO A C D证明：连接证明：连接OPOP。AB=AC,B=CAB=AC,B=C。OB=OPOB=OP，B=OPBB=OPB，OBP=COBP=C。OPACOPAC。PEACPEAC，PEOPPEOP。PEPE为为0 0的切线。的切线。如图如图如图如图,ABC,ABC,ABC,ABC中，中，中，中，AB=ACAB=ACAB=ACAB=AC，以，以，以，以ABABABAB为直径的为直径的为直径的为直径的O O O O交边交边交边交边BCBCBCBC于于于于P P P P，PEACPEACPEACPEAC于于于于E E E E。求证求证求证求证:PE:PE:PE:PE是是是是O O O O的切线。的切线。的切线。的切线。练 习OOA AB BC CE EP P