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1、22解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 2.2.1 2.2.1 调和函数的定义调和函数的定义2.2.2 2.2.2 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系2.2.3 2.2.3 由调和函数构造解析函数由调和函数构造解析函数2.2.4 2.2.4 小结与思考小结与思考12.2.1 调和函数的概念 定义定义2.3 如果二元实函数如果二元实函数H(x,y)在区域在区域D内有内有二阶连续偏导数二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程，即：且满足拉普拉斯方程，即：则称则称H(x,y)为区域为区域D内的内的调和函数调和函数。注：注：称为称为Laplace算子算子例如：例如：f(x,y)=
2、x2-2xy2 不是一个调和函数不是一个调和函数 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.2设设f(z)=u+iv在区域在区域D内解析内解析,则由则由C.-R.条件条件得得同例同例,在在D内有内有即即u及及v都是都是D内的调和函数内的调和函数2.2.2解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系3v称为称为u在区域在区域D内的内的共轭调和函数共轭调和函数.定理定理：设函数：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)A(D)u(x,y),v(x,y)都是都是D内的调和函数内的调和函数例如例如:设设 f(z)=x-iy,
3、则则u(x,y),v(x,y)都是都是z平面上的平面上的调和函数调和函数,但但f(z)=x-iy在在z平面上处处不解析平面上处处不解析原因原因:u(x,y),v(x,y)在在D内不满足内不满足C-R条件条件定义定义2.4 u(x,y),v(x,y)是是D内内的调和函数，的调和函数，且满足且满足C.-R.条件：条件：4 定理定理2.4 若若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域在区域D内内解析的充要条件是：在区域解析的充要条件是：在区域D内内f(z)的虚部的虚部v(x,y)必为必为u(x,y)的共轭调和函数的共轭调和函数.p根据这个定理，便可利用一个调合函数根据这个定理，便可利用一个调合函
4、数和它的共轭调和函数作出一个解析函数。和它的共轭调和函数作出一个解析函数。p由于共轭调和函数的这种关系由于共轭调和函数的这种关系,如果知如果知道其中的一个道其中的一个,则可根据则可根据C-R条件求出另条件求出另一个来。一个来。5例例2.6 验证验证u(x,y)=x33xy2是是z平面上的调和函数，平面上的调和函数，并求以并求以u(x,y)为实部的解析函数为实部的解析函数f(z),使合使合f(0)=i.解：解：要求要求f(z)，需先求，需先求v(x,y),一般可用以下方法求一般可用以下方法求v(x,y)67例例2.7解解89利用曲线积分求共轭调和函数的方法利用曲线积分求共轭调和函数的方法.10解:容易验证是u全平面的调和函数。利用C-R条件，先求出v的两个偏导数。112.2.4小结与思考 本节我们学习了调和函数的概念、解析函数本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应应注意注意的是的是:1.任意两个调和函数任意两个调和函数u与与v所构成的所构成的函数函数u+iv不一定是解析函数不一定是解析函数.2.满足柯西满足柯西黎曼方程黎曼方程ux=vy,vx=uy,的的v称为称为u的共轭调和函数的共轭调和函数,u与与v注意的是地位不能颠倒注意的是地位不能颠倒.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.12