《2019年数学新同步湘教版必修2第3章 3.1.1 角的概念的推广.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年数学新同步湘教版必修2第3章 3.1.1 角的概念的推广.doc（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、31.1 角的概念的推广角的概念的推广角的概念推广角的概念推广现在的时间是现在的时间是 12 点点 5 分，而钟表指示的时间是分，而钟表指示的时间是 12 点，即钟表慢了点，即钟表慢了 5 分钟，如何来校分钟，如何来校准？如果你的手表快了准？如果你的手表快了 0.5 小时，又如何校准？小时，又如何校准？1角的概念角的概念角可以看成平面内角可以看成平面内一条射线一条射线绕着绕着它的端点它的端点从一个位置从一个位置旋转旋转到另一个位置所成的图到另一个位置所成的图形其中射线的形其中射线的端点端点称为角的顶点，射线旋转的称为角的顶点，射线旋转的开始位置开始位置和和终止位置终止位置称为角的始边和终称为角
2、的始边和终边边2角的分类角的分类一条射线绕着端点以一条射线绕着端点以逆时针逆时针方向的旋转为正向，所成的角称为正角，用方向的旋转为正向，所成的角称为正角，用正的角度正的角度来表来表示；示；顺时针顺时针方向旋转所成的角称为负角，用方向旋转所成的角称为负角，用负的角度负的角度来表示；不旋转所成的角称为零角，来表示；不旋转所成的角称为零角，用用 0表示表示3任意角任意角任意角包括任意角包括正角正角、负角负角和零角和零角如图，射线如图，射线 OA 绕端点绕端点 O 旋转旋转 90到射线到射线 OB 的位置，接着再旋转的位置，接着再旋转30到到 OC 的位置，的位置，则则AOC 的度数为的度数为_提示提
3、示 AOCAOBBOC90(30)60.象限角象限角(1)300、300、160、220角的终边分别在第几象限？角的终边分别在第几象限？(2)90、180、0、270、90、180的终边落在什么位置？的终边落在什么位置？1象限角象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的轴的非负半轴重合，那么角的终边落在终边落在第几象限第几象限，就说这个角是第几象限角，就说这个角是第几象限角2终边在坐标轴上的角终边在坐标轴上的角如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限1330是第是第_
4、象限角象限角提示提示 330136030，即顺时针旋转，即顺时针旋转 360，再逆时针旋转，再逆时针旋转 30，在第一象，在第一象限限2下列说法正确的序号是下列说法正确的序号是_第一象限角是锐角；第一象限角是锐角；锐角是第一象限角；锐角是第一象限角；290小于钝角；小于钝角；180是第二象限角是第二象限角提示提示 第一象限角不一定是锐角，故第一象限角不一定是锐角，故错；锐角一定是第一象限角，故错；锐角一定是第一象限角，故正确；正确； 显然正确；显然正确；180角的终边在角的终边在 x 轴的负半轴上为轴线角，故轴的负半轴上为轴线角，故错，所以错，所以正确正确终边相同的角终边相同的角角角 390，
5、330的终边与的终边与 30角的终边有何关系？与角的终边有何关系？与 30角终边相同的角与集合角终边相同的角与集合S|k360，kZ有什么关系？有什么关系？设角设角 AOB，则所有以，则所有以 OA 为始边，为始边，OB 为终边的角都是为终边的角都是 与整数个周角的和，组与整数个周角的和，组成集合成集合 S|k360，kZ与与490角终边相同的角的集合是角终边相同的角的集合是_，它们是第，它们是第_象限角，其中最小正象限角，其中最小正角是角是_，最大负角是，最大负角是_提示提示 |k360490，kZ，三，三，230，130.角的基本概念角的基本概念例例 1 下列命题：下列命题：第一象限角一定
6、不是负角；第一象限角一定不是负角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角是钝角；第二象限角是钝角；小于小于 180的角是钝角、直角或锐角的角是钝角、直角或锐角其中假命题的序号为其中假命题的序号为_(把假命题的序号都写上把假命题的序号都写上)思路点拨思路点拨 解答本题可根据角的大小特征、位置特征进行判断解答本题可根据角的大小特征、位置特征进行判断边听边记边听边记 330角是第一象限角，但它是负角，所以角是第一象限角，但它是负角，所以不正确不正确120角是第二象限角，角是第二象限角，390角是第一象限角，显然角是第一象限角，显然 390120，所以，所以不正确不正确480角
7、是第二象限角，但它不是钝角，所以角是第二象限角，但它不是钝角，所以不正确不正确0角小于角小于 180角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故不正确不正确答案答案 借借题题发发挥挥(1)解决此类问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，解决此类问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别严格辨析它们之间的联系与区别(2)判断命题正确与否时，若命题为真，需要严格的推理论证，若要说明命题为假，判断命题正确与否时，若命题为真，需要严格的推理论证，若要说明命题为假，只只需举出反例即可如需举出反例
8、即可如.1若手表时针走过若手表时针走过 4 小时，则时针转过的角度为小时，则时针转过的角度为( )A120 B120C60 D60解析：解析：由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为即为360120.412答案：答案：B象限角和终边相同的角象限角和终边相同的角例例 2 已知已知 1 910.(1)把把 写成写成 k360(kZ,0360)的形式，指出它是第几象限的角；的形式，指出它是第几象限的角；(2)求求 ，使，使 与与 的终边相同，且的终边相同，且7200.思路点拨思路点拨 (1)用所给角除以用所给角除以 360，将余数作为，将余数作
9、为 ；(2)根据终边相同的角的概念作出判断根据终边相同的角的概念作出判断边听边记边听边记 (1)1 9103606 余余 250，1 9106360250，相应相应 250，从而，从而 6360250是第三象限的角是第三象限的角(2)令令 250k360(kZ)，取取 k1，2 就得到适合就得到适合7200的角：的角：250360110，250720470.借借题题发发挥挥(1)把任意角化为把任意角化为 k360(kZ 且且 0360)的形式，关键是确定的形式，关键是确定 k.可以用观察法可以用观察法( 的绝对值较小的绝对值较小)也可用竖式除法要注意：正角除以也可用竖式除法要注意：正角除以 3
10、60，按通常的除法进行；负角，按通常的除法进行；负角除以除以 360，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大 1，使余数为正值，使余数为正值(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出角的一般形式，再依条件构建不等式求出 k 的值的值.2下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角的终边相同的角的集合下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角的终边相同的角的集合 S，并把，并把 S 中适合不等式中适合不等
11、式360720的元素的元素 写出来：写出来：(1)60；(2)21；(3)36314.解：解：(1)60是第一象限角，是第一象限角，S|60k360，kZ，S 中适合中适合360720的元素是的元素是60(1)360300，60036060，601360420.(2)21是第四象限角，是第四象限角，S|21k360，kZ，S 中适合中适合360720的元素是的元素是21036021，211360339，212360699.(3)36314是第一象限角，是第一象限角，S|36314k360，kZ，S 中适合中适合360720的元素是的元素是36314(2)36035646，36314(1)360
12、314，36314036036314.角角 n， (nN*)所在象限的确定所在象限的确定n例例 3 已知已知 是第二象限角，求：是第二象限角，求：(1)角角 2 的终边的位置；的终边的位置；(2)角角 所在的象限所在的象限2思路点拨思路点拨 先确定先确定 的范围，进一步确定出的范围，进一步确定出 n 或或 的范围，再根据的范围，再根据 k 与与 n 的关系进的关系进n行讨论行讨论边听边记边听边记 (1) 是第二象限角，是第二象限角，k36090k360180(kZ)k7201802k720360(kZ)角角 2 的终边在第三或第四象限或在的终边在第三或第四象限或在 y 轴的非正半轴上轴的非正半
13、轴上(2) 是第二象限角，是第二象限角，k36090k360180(kZ) 36045 36090(kZ)k22k2当当 k 为偶数时，令为偶数时，令 k2n(nZ)，得，得n36045 n36090，2这表明这表明 是第一象限角；是第一象限角；2当当 k 为奇数时，令为奇数时，令 k2n1(nZ)，得得 n360225 n360270，2这表明这表明 是第三象限角是第三象限角2 为第一或第三象限角为第一或第三象限角.2借借题题发发挥挥分角、倍角所在象限的判定思路分角、倍角所在象限的判定思路(1)已知角已知角 终边所在的象限，确定终边所在的象限，确定 终边所在的象限，分类讨论法要对终边所在的象
14、限，分类讨论法要对 k 的取值分以的取值分以n下几种情况进行讨论：下几种情况进行讨论：k 被被 n 整除；整除；k 被被 n 除余除余 1；k 被被 n 除余除余 2，k 被被 n 除余除余n1.然后方可下结论几何法依据数形结合思想，简单直观然后方可下结论几何法依据数形结合思想，简单直观(2)已知角已知角 终边所在的象限，确定终边所在的象限，确定 n 终边所在的象限，可依据角终边所在的象限，可依据角 的范围求出的范围求出 n 的的范围，再直接转化为终边相同的角即可注意不要漏掉范围，再直接转化为终边相同的角即可注意不要漏掉 n 的终边在坐标轴上的情况的终边在坐标轴上的情况.变式之作变式之作在本例
15、中如果在本例中如果 是第三象限的角，那么是第三象限的角，那么 的终边落在何处？的终边落在何处？解：解： 是第三象限的角，是第三象限的角，k360180k360270(kZ)，270k360180k360(kZ)，即即 90k360180k360(kZ)，角角 的终边在第二象限的终边在第二象限1把把1 485转化为转化为 k360(0360，kZ)的形式是的形式是( )A454360 B454360C455360 D3155360解析：解析：1 4853155360.答案：答案：D2图中图中 OA 为始边，则为始边，则( )A140，220B140，220C140，220 D140，220解析：
16、解析： 是顺时针角，是顺时针角， 是正角，即是正角，即 6080140. 是逆时针角，是逆时针角， 是负角，即是负角，即 (360140)220.答案：答案：C3下列与下列与 210为不同终边的角是为不同终边的角是( )A510B150C900 D1 290解析：解析：5102102360，A 不符合题意；不符合题意；150210360，B 不符合题意；不符合题意；9001802360，符合题意；符合题意；1 2902103360，D 不符合题意不符合题意答案：答案：C4若若 k18045(kZ)，则，则 在在( )A第一或第三象限第一或第三象限B第一或第二象限第一或第二象限C第二或第四象限第
17、二或第四象限 D第三或第四象限第三或第四象限解析：解析：当当 k 为偶数时，为偶数时， 在第一象限；当在第一象限；当 k 为奇数时，为奇数时， 在第三象限在第三象限答案：答案：A5在在 0360范围内：与范围内：与 2 018终边相同的最小正角是终边相同的最小正角是_，是第，是第_象限象限角角解析：解析：2 0185360218与与 218终边相同，是第三象限角终边相同，是第三象限角答案：答案：218 三三6如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角解：解：在图在图(1)中，中，0360范围内的终边落在指定区域的角是范围内的终边落在指定区域的角是
18、45210，故满足条件的角的集合为故满足条件的角的集合为|45k360210k360，kZ在图在图(2)中，中，0360范围内的终边落在指定区域的角是范围内的终边落在指定区域的角是 045或或 315360，将其转化为将其转化为180180范围内，范围内，终边落在指定区域的角是终边落在指定区域的角是4545，故满足条件的角的集合为故满足条件的角的集合为|45k 36045k360，kZ若若 是第一象限的角，那么是第一象限的角，那么 是第几象限的角？你能总结出是第几象限的角？你能总结出 与与 所在象限之间的所在象限之间的 22关系吗？关系吗？当当 是第一象限角时，是第一象限角时，k360k360
19、90(kZ)，则则 k180 k18045(kZ)2若若 k 为偶数，设为偶数，设 k2n，nZ，则，则n360 n36045(nZ)，2此时此时 在第一象限的前半部分在第一象限的前半部分2若若 k 为奇数，设为奇数，设 k2n1，nZ，则，则n360180 n360225(nZ)，2此时此时 在第三象限的前半部分在第三象限的前半部分2综上所述，当综上所述，当 是第一象限角时，是第一象限角时， 是第一象限角或第三象限角是第一象限角或第三象限角2根据上面的推理过程，可将坐标平面分为八个部分，如图所示根据上面的推理过程，可将坐标平面分为八个部分，如图所示、表示表示 在在、象限时象限时 所在的位置所
20、在的位置2如当如当 在第三象限时，在第三象限时， 在第二象限、第四象限的前半部分在第二象限、第四象限的前半部分2一、选择题一、选择题1已知已知 是第四象限角，则是第四象限角，则 270 是是( )A第一象限角第一象限角 B第二象限角第二象限角C第三象限角第三象限角 D第四象限角第四象限角解析：解析：由题意知由题意知90360k360k(kZ)，则则360k360k90(kZ)，270360k270360360k(kZ)，显然显然 270 是第四象限角是第四象限角答案：答案：D2下列各角中与下列各角中与 330角的终边相同的是角的终边相同的是( )A510B150C150 D390解析：解析：3
21、902360330.答案：答案：D3已知集合已知集合 M|k360120k360，kZ，N|90k360150k360，kZ，则，则 MN 中角所在的象限为中角所在的象限为( )A第一象限第一象限B第二象限第二象限C第一或第二象限第一或第二象限D第一或第二象限或第一或第二象限或 y 轴非负半轴角轴非负半轴角解析：解析：MN|90k360120k360，kZ，即是第二象限角，即是第二象限角答案：答案：B4已知角已知角 是锐角，则是锐角，则 的终边在的终边在( )A第一象限第一象限B第二象限第二象限C第三象限第三象限 D第四象限第四象限解析：解析： 是锐角，是锐角，090，900， 为第四象限角为
22、第四象限角答案：答案：D二、填空题二、填空题5如图所示的阴影部分所表示的角为如图所示的阴影部分所表示的角为_解析：解析：依题知，阴影部分所表示的角为依题知，阴影部分所表示的角为|30k36070k360，kZ答案：答案：|30k36070k360，kZ6设集合设集合 MError!Error!，NError!Error!，那么，那么 M 与与 N 的关系为的关系为_解析：解析：MError!Error!，45，45，135，225，NError!Error!，45，0，45，90，135，180，225，MN.答案：答案：MN三、解答题三、解答题7在与角在与角 10 030终边相同的角中，求满
23、足下列条件的角：终边相同的角中，求满足下列条件的角：(1)最大的负角；最大的负角；(2)最小的正角；最小的正角；(3)360720的角的角解：解：(1)与与 10 030终边相同的角的一般形式为终边相同的角的一般形式为 k36010 030(kZ)，由由360k36010 0300，解得，解得 k28，故所求的最大负角为故所求的最大负角为 50.(2)由由 0k36010 030360，得得10 030k3609 670，解得，解得 k27.故所求的最小正角为故所求的最小正角为 310.(3)由由 360k36010 030720，得得9 670k3609 310，解得，解得 k26，故所求的
24、角为故所求的角为 670.8已知角的集合已知角的集合 M|30k90，kZ，回答下列问题：，回答下列问题：(1)集合集合 M 中大于中大于360且小于且小于 360的角是哪几个？的角是哪几个？(2)写出集合写出集合 M 中的第二象限角中的第二象限角 的一般表达式的一般表达式解：解：(1)令令36030k90360，得，得k，133113又又kZ，k4，3，2，1,0,1,2,3，集合集合 M 中大于中大于360且小于且小于 360的角共有的角共有 8 个，分别是个，分别是330，240，150， 60，30，120，210，300.(2)集合集合 M 中的第二象限角与中的第二象限角与 120角的终边相同，角的终边相同，120k360，kZ.