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1、22.2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质第一课时第一课时 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质读教材读教材填要点填要点双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质标准方程标准方程 1(a0，b0)x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b2图形图形焦点焦点(c,0)(0，c)焦距焦距2c2c范围范围xa 或或 xa，yRya 或或 ya，xR对称性对称性对称轴：对称轴：x 轴和轴和 y 轴轴，中心：，中心：(0,0)顶点顶点(a,0)(0，a)轴长轴长实轴长实轴长2a，虚轴长，虚轴长2b离心率离心率e (1，)ca性性质质渐近线渐近线y xbay xab小问题小问题大思维大思维1
2、你能求出双曲线你能求出双曲线1 的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗？的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗？x24y23提示：提示：由题意得由题意得 a24，b23，解得解得 a2，b，则，则 c.3a2b27因此，实轴长因此，实轴长 2a4，虚轴长，虚轴长 2b2.3离心率离心率 e .ca72渐近线方程为渐近线方程为 yx.322如何用如何用 a，b 表示双曲线的离心率？表示双曲线的离心率？提示提示： e .caa2b2a21b2a23双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？双曲线的离心率与开口大小有关系吗？怎样反映这种关系？提示：提示：e ，当，当 e 越大时，双曲线开口
3、越大，当越大时，双曲线开口越大，当 e 越小接近于越小接近于 1 时，双曲线时，双曲线ca1b2a2开口越小开口越小4双曲线双曲线1 与与1 的渐近线有什么关系？的渐近线有什么关系？x2a2y2b2y2b2x2a2提示：提示：双曲线双曲线1 与与1 的渐近线相同的渐近线相同x2a2y2b2y2b2x2a2由双曲线的标准方程研究其几何性质由双曲线的标准方程研究其几何性质求双曲线求双曲线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程和渐近线方程自主解答自主解答 将将 9y24x236 变形为变形为1，x29y24即即1，a3
4、，b2，c.x232y22213因此顶点为因此顶点为 A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标焦点坐标 F1(，0)，F2(，0)，1313实轴长是实轴长是 2a6，虚轴长是，虚轴长是 2b4，离心率离心率 e ，ca133渐近线方程渐近线方程 y x x.ba23若将若将“36”改换为改换为“36”呢？呢？解：解：把方程把方程 9y24x236 化为标准形式为化为标准形式为1，y24x29a2，b3，c.13顶点为顶点为(0，2)，(0,2)，焦点坐标为焦点坐标为(0，)，(0，)，1313实轴长是实轴长是 2a4，虚轴长是虚轴长是 2b6，离心率离心率 e .ca132渐近线方程为渐近线方
5、程为 y x.23已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a，b 的对应值，利用的对应值，利用 c2a2b2得到得到 c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质几何性质1已知双曲线已知双曲线1 与与1，下列说法正确的是，下列说法正确的是( )x29y216y216x29A两个双曲线有公共顶点两个双曲线有公共顶点B两个双曲线有公共焦点两个双曲线有公共焦点C两个双曲线有公共渐近线两个双曲线有公共渐近线D两个双曲线的离心率相等两个双曲线的
6、离心率相等解析：解析：双曲线双曲线1 的焦点和顶点都在的焦点和顶点都在 x 轴上，而双曲线轴上，而双曲线1 的焦点和顶点的焦点和顶点x29y216y216x29都在都在 y 轴上，因此可排除选项轴上，因此可排除选项 A、B；双曲线；双曲线1 的离心率的离心率 e1 ，而双曲，而双曲x29y216916953线线1 的离心率的离心率 e2 ，因此可排除选项，因此可排除选项 D；易得；易得 C 正确正确y216x291691654答案：答案：C2(2017北京高考北京高考)若双曲线若双曲线 x21 的离心率为的离心率为，则实数，则实数 m_.y2m3解析：解析：由双曲线的标准方程可知由双曲线的标准
7、方程可知 a21，b2m，所以所以 e，解得，解得 m2.1b2a21m3答案：答案：2由双曲线的几何性质求标准方程由双曲线的几何性质求标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)一个焦点为一个焦点为(0,13)，且离心率为，且离心率为；135(2)与双曲线与双曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点有公共渐近线，且过点 M(2，2)自主解答自主解答 (1)依题意可知，双曲线的焦点在依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且轴上，且 c13，又，又 ，ca135所以所以 a5，b12，c2a2故其标准方程为故其标准方程为1.y225x2144(2)所求双曲线与双
8、曲线所求双曲线与双曲线 x22y22 有公共渐近线，有公共渐近线，设所求双曲线方程为设所求双曲线方程为 x22y2.又双曲线过点又双曲线过点 M(2，2)，则，则222(2)2，即，即 4.所求双曲线方程为所求双曲线方程为1.y22x24(1)待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是：待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是：根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程；根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程；由已知条件求出待定系数由已知条件求出待定系数 a，b；将求得的系数将求得的系数 a，b 代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程(2)如果已知双曲线的渐近线方程为如
9、果已知双曲线的渐近线方程为 y x，那么此双曲线方程可设为，那么此双曲线方程可设为ba(0)x2a2y2b23根据下列条件，求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)已知双曲线的渐近线方程为已知双曲线的渐近线方程为 y x，焦距为，焦距为 10；12(2)已知双曲线与曲线已知双曲线与曲线1 共焦点，与曲线共焦点，与曲线1 共渐近线共渐近线x224y249x236y264解：解：(1)当焦点在当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线方程为轴上时，设所求双曲线方程为1(a0，b0)x2a2y2b2由渐近线方程为由渐近线方程为 y x，得，得12 ，2c10.ba12又又 c2a2b2，得，
10、得 a220，b25，双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为1；x220y25当焦点在当焦点在 y 轴上时，可得双曲线的方程为轴上时，可得双曲线的方程为1，y25x220所求双曲线的方程为所求双曲线的方程为1 或或1.x220y25y25x220(2)由由1 得双曲线的焦点为得双曲线的焦点为(0，5)x224y249又双曲线又双曲线1 的渐近线为的渐近线为 y x，x236y26443设所求双曲线的标准方程为设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，y2a2x2b2则：则：Error!Error!解得解得 b29，a216.所求双曲线方程为所求双曲线方程为1.y216x29求双曲线的离心率求双曲
11、线的离心率过双曲线过双曲线 C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，x2a2y2b2交交 C 于点于点 P.若点若点 P 的横坐标为的横坐标为 2a，则，则 C 的离心率为的离心率为_自主解答自主解答 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为的斜率为 ，ba又直线又直线 l 过右焦点过右焦点 F(c,0)，则直线，则直线 l 的方程为的方程为 y (xc)因为点因为点 P 的横坐标为的横坐标为 2a，代入双，代入双ba曲线方程得曲线方程得1，化简得，化简得 yb 或或 yb(点点 P 在在 x 轴下方
12、，故舍去轴下方，故舍去)，故点，故点 P4a2a2y2b233的坐标为的坐标为(2a，b)，代入直线方程得，代入直线方程得b (2ac)，化简可得离心率，化简可得离心率 e 2.33baca3答案答案 23求双曲线离心率的两种方法求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知直接法：若已知 a，c 可直接利用可直接利用 e 求解，若已知求解，若已知 a，b，可利用，可利用 e 求求ca1(ba)2解解(2)方程法：若无法求出方程法：若无法求出 a，b，c 的具体值，但根据条件可确定的具体值，但根据条件可确定 a，b，c 之间的关系，之间的关系，可通过可通过 b2c2a2，将关系式转化为关于，将关
13、系式转化为关于 a，c 的齐次方程，借助于的齐次方程，借助于 e ，转化为关于，转化为关于 e 的的can 次方程求解次方程求解注意注意 求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于求离心率的范围时，常结合已知条件构建关于 a，b，c 的不等关系的不等关系4(1)已知双曲线已知双曲线1(a0，b0)若若 2，求双曲线的离心率；，求双曲线的离心率；x2a2y2b2ba(2)设点设点 P 在双曲线在双曲线1(a0，b0)的右支上，双曲线两焦点的右支上，双曲线两焦点x2a2y2b2F1，F2，|PF1|4|PF2|，求双曲线离心率的取值范围，求双曲线离心率的取值范围解：解：(1)c，a2b2e .caa
14、2b2a21(ba)21225(2)由双曲线定义得：由双曲线定义得：|PF1|PF2|2a，与已知与已知|PF1|4|PF2|联立解得：联立解得：|PF1| a，|PF2| a.8323由由|PF1|PF2|F1F2 |得：得：a a2c，解得，解得 10，b0)，依题意，依题意，x2a2y2b2得得Error!Error!解得解得Error!Error!所求双曲线方程为所求双曲线方程为1.x2359y235法二：法二：由渐近线方程由渐近线方程 3xy0，可设所求双曲线方程为可设所求双曲线方程为y2(0)(*)x219将点将点 P(2，1)的坐标代入的坐标代入(*)，得，得 35，所求的双曲线
15、方程为所求的双曲线方程为1.x2359y2351双曲线双曲线1 的渐近线方程是的渐近线方程是( )x225y24Ay x By x2552CyxDyx425254解析：解析：由由0，得，得 y2x2，即，即 y x.x225y2442525答案：答案：A2双曲线双曲线1 的离心率是的离心率是( )x225y216A.B.3553C.D.415541解析：解析：a225，b216，c2a2b241，e .ca415答案：答案：C3已知双曲线已知双曲线 C：1 的离心率的离心率 e ，且其右焦点为，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线，则双曲线 C 的的x2a2y2b254方程为方程为( )A.
16、1B.1x24y23x29y216C.1D.1x216y29x23y24解析：解析：e ，F2(5,0)，ca54c5，a4，b2c2a29，双曲线双曲线 C 的标准方程为的标准方程为1.x216y29答案：答案：C4已知双曲线已知双曲线 x21(b0)的一条渐近线的方程为的一条渐近线的方程为 y2x，则，则 b_.y2b2解析：解析：双曲线双曲线 x21(b0)的渐近线方程为的渐近线方程为 ybx，比较系数得，比较系数得 b2.y2b2答案：答案：25已知双曲线的顶点到渐近线的距离为已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距离为，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的，则该双曲线
17、的离心率为离心率为_解析：解析：画图可得相似直角三角形，因此有画图可得相似直角三角形，因此有OAAOFF， 3，ca62即即 e3.答案：答案：36求中心在原点，两顶点间距离为求中心在原点，两顶点间距离为 6，渐近线为，渐近线为 y3x 的双曲线的标准方程的双曲线的标准方程解：解：因为两顶点间的距离为因为两顶点间的距离为 6，即即 2a6，a3.当焦点在当焦点在 x 轴上时，则有轴上时，则有 3，b9.ba双曲线方程为双曲线方程为1.x29y281当焦点在当焦点在 y 轴上时，轴上时，则有则有 3，b1.ab双曲线方程为双曲线方程为x21.y29一、选择题一、选择题1若双曲线若双曲线1(a0)
18、的离心率为的离心率为 2，则，则 a 等于等于( )x2a2y23A2 B.3C.D132解析：解析：很明显，双曲线的焦点在很明显，双曲线的焦点在 x 轴上，轴上，则离心率则离心率 e2，解得，解得 a1.a23a答案：答案：D2(2017全国卷全国卷)若若 a1，则双曲线，则双曲线y21 的离心率的取值范围是的离心率的取值范围是( )x2a2A(，)B(，2)22C(1，)D(1,2)2解析：解析：由题意得双曲线的离心率由题意得双曲线的离心率 e.a21a即即 e21.a21a21a2a1，01，1a2112，1e.1a22答案：答案：C3已知双曲线已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为的一
19、个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆，且双曲线的渐近线与圆x2a2y2b2(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为相切，则双曲线的方程为( )A.1B.1x29y213x213y29C.y21Dx21x23y23解析：解析：由双曲线的渐近线由双曲线的渐近线 y x 与圆与圆(x2)2y23 相切可知相切可知，ba|(ba) 2|1(ba)23又又Error!Error!解得解得Error!Error!故所求双曲线的方程为故所求双曲线的方程为 x21.y23答案：答案：D4设双曲线的一个焦点为设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为，虚轴的一个端点为 B，如果直线，如果直线 FB 与该
20、双曲线的一条与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A.B.23C.D.312512解析：解析：设双曲线方程为设双曲线方程为1(a，b0)，不妨设一个焦点为，不妨设一个焦点为 F(c,0)，虚轴端点为，虚轴端点为x2a2y2b2B(0，b)，则，则 kFB .又渐近线的斜率为又渐近线的斜率为 ，所以由直线垂直关系得，所以由直线垂直关系得 1bcbabcba，即，即 b2ac，(ba显显然然不不符符合合)又又 c2a2b2，故，故 c2a2ac，两边同除以，两边同除以 a2，得方程，得方程 e2e10，解得，解得e(舍负值舍负值)512答案：答案
21、：D二、填空题二、填空题5已知双曲线已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为的一条渐近线为xy0，则，则 a_.x2a23解析：解析：双曲线双曲线y21 的渐近线为的渐近线为 y ，已知一条渐近线为，已知一条渐近线为xy0，即，即 yx2a2xa3x，因为，因为 a0，所以，所以 ，所以，所以 a.31a333答案：答案：336已知双曲线过点已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为，且渐近线方程为 y x，则该双曲线的标准方程为，则该双曲线的标准方程为312_解析：解析：法一：法一：双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为 y x，12可设双曲线的方程为可设双曲线的方程为 x24y2(0)双曲线过
22、点双曲线过点(4，)，3164()24，3双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为y21.x24法二：法二：渐近线渐近线 y x 过点过点(4,2)，而，而0，b0)x2a2y2b2由已知条件可得由已知条件可得Error!Error!解得解得Error!Error!双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为y21.x24答案答案：y21x247已知双曲线已知双曲线1(a0，b0)和椭圆和椭圆1 有相同的焦点，且双曲线的离心有相同的焦点，且双曲线的离心x2a2y2b2x216y29率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_解析：解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是由题意知，
23、椭圆的焦点坐标是(，0)，离心率是，离心率是.故在双曲线中故在双曲线中 c，e7747 ，故，故 a2，b2c2a23，故所求双曲线的方程是，故所求双曲线的方程是1.72cax24y23答案：答案：1.x24y238已知双曲线已知双曲线1 的离心率的离心率 e(，2)，则，则 m 的取值范围是的取值范围是_x2my242解析：解析：由双曲线方程知由双曲线方程知 a2，b，m0)，ca54则则 a4k，由，由 b2c2a29k24 得得 k2 ，49a216k2.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为6491 或或1.x2649y
24、24y2649x24(3)由两顶点间的距离是由两顶点间的距离是 6 得得 2a6，即，即 a3.由两焦点连线被两顶点和中心四等分可得由两焦点连线被两顶点和中心四等分可得2c4a12，即，即 c6，于是有，于是有 b2c2a2623227.由于焦点所在的坐标轴不确定，故由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为1 或或1.x29y227y29x22710.如图所示，已知如图所示，已知 F1，F2是双曲线是双曲线1(a0，b0)的两焦的两焦x2a2y2b2点，以线段点，以线段 F1F2为边作正三角形为边作正三角形 MF1F2，若边，若边 MF1与双曲线的交点与双曲线的交点 P 满足满足3，MPPF1试求双曲线的离心率试求双曲线的离心率解：解：连接连接 PF2，设，设|F1F2|2c，由由3知知MPPF1|PF1| |MF1|.14又又MF1F2为正三角形，为正三角形，|PF1| 2c c，1412PF1F260，由余弦定理可得：由余弦定理可得：|PF2| 2c 2(12c)222c12ccos 60 c.4c214c2c2132根据双曲线定义有根据双曲线定义有2a|PF2|PF1|c，1312离心率离心率 e .ca41311313