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1、三维应力有限元分析三维应力有限元分析及传热分析方法及传热分析方法杨建国杨建国浙江工业大学浙江工业大学 化工机械设计研究所化工机械设计研究所第一部分 三维应力分析有限元法第一部分第一部分三维应力分析有限元法n n等等应应变变三三角角形形单单元元中中的的坐坐标标为为两两个个方方向向，而而在在三三维维状状态态下下节节点点坐坐标标变变成成了了3个个。因因而而相相应应的的节节点点位位移移也也就就采采用用三三个个分分量量来来表表示示，即：即：u、v和和w。此时存在。此时存在6个应变向量：个应变向量：L为63的偏微分算子矩阵。第一部分第一部分三维应力分析有限元法n n此此关关系系与与平平面面应应力力时时的的
2、关关系系类类似似，只只不不过过此此时时应应力力与与应应变变分分别别包包含含六六个个参参量量，而而平平面应力分析时分别仅为面应力分析时分别仅为3个分量。个分量。第一部分第一部分三维应力分析有限元法n n对对于于有有M个个节节点点的的弹弹性性应应力力单单元元来来说说，单单元元内内任任意意一一点点的的位位移移可可以以通通过过插插值值函函数数的的方方式式获获得得，相相对对于于三三个个方方向向，获获得得如如下下三三个个关系式：关系式：ui、vi和wi分别为节点i的 三个方向的位移；Ni为插值函数 第一部分第一部分三维应力分析有限元法n n单元节点的位移向量（列向量）单元节点的位移向量（列向量）n n位移
3、向量可以记为如下矩阵形式：1M 33M 第一部分第一部分三维应力分析有限元法63M 第一部分第一部分三维应力分析有限元法n n应应用用虚虚功功原原理理可可建建立立如如下下的的节节点点位位移移与与节节点力之间的关系点力之间的关系 n n定义如下的单元刚度矩阵 3M 3M对称矩阵 第一部分第一部分三维应力分析有限元法n n单单元元的的刚刚度度矩矩阵阵之之后后，就就可可以以用用前前面面经经常常提提到到的的组组装装的的概概念念，将将单单元元的的刚刚度度矩矩阵阵组组装装成成为为整整体体刚刚度度矩矩阵阵，其其组组装装过过程程与与平平面面应应力力的的组组装装过过程程一一样样。最最终终我我们们获获得得了了整整
4、个结构的矩阵方程形式为：个结构的矩阵方程形式为：第一部分第一部分三维应力分析有限元法n n通通过过已已知知的的力力边边界界条条件件以以及及位位移移边边界界条条件件，可可以以最最终终解解以以上上的的方方程程获获得得节节点点位位移移及及相相应应的的节节点点力力。获获得得以以上上结结果果后后，则则可可以以通通过过位位移移应应变变关关系系，应应变变应应力力关关系系计计算算出结构的应变与应力。出结构的应变与应力。第二部分第二部分热过程的数值模拟第二部分第二部分热过程的数值模拟n n早期的关于焊接热过程的解析计算结果表明计算早期的关于焊接热过程的解析计算结果表明计算早期的关于焊接热过程的解析计算结果表明计
5、算早期的关于焊接热过程的解析计算结果表明计算结果与实际测量结果之间存在较大的误差，这主结果与实际测量结果之间存在较大的误差，这主结果与实际测量结果之间存在较大的误差，这主结果与实际测量结果之间存在较大的误差，这主要与这些解析计算的假设条件有关，通常的假设要与这些解析计算的假设条件有关，通常的假设要与这些解析计算的假设条件有关，通常的假设要与这些解析计算的假设条件有关，通常的假设条件包含以下几条：条件包含以下几条：条件包含以下几条：条件包含以下几条：n na a）应用线热源或者点热源来简化焊接电弧热作用；）应用线热源或者点热源来简化焊接电弧热作用；）应用线热源或者点热源来简化焊接电弧热作用；）应
6、用线热源或者点热源来简化焊接电弧热作用；n nb b）二维传热（忽略深度方向的热传导）；）二维传热（忽略深度方向的热传导）；）二维传热（忽略深度方向的热传导）；）二维传热（忽略深度方向的热传导）；n nc c）材料导热系数不随温度变化；）材料导热系数不随温度变化；）材料导热系数不随温度变化；）材料导热系数不随温度变化；n nd d）传热过程为准稳态；）传热过程为准稳态；）传热过程为准稳态；）传热过程为准稳态；n ne e）忽略对流与辐射对于温度场的影响；）忽略对流与辐射对于温度场的影响；）忽略对流与辐射对于温度场的影响；）忽略对流与辐射对于温度场的影响；n nf f）忽略相变过程中的热效应。）
7、忽略相变过程中的热效应。）忽略相变过程中的热效应。）忽略相变过程中的热效应。第二部分第二部分热过程的数值模拟n n但是目前仍然无法完全对复杂结构的传热但是目前仍然无法完全对复杂结构的传热过程进行解析计算，这样就要借助于其他过程进行解析计算，这样就要借助于其他的一些手段来分析焊接温度场，目前比较的一些手段来分析焊接温度场，目前比较常用的数值计算方法有两种：常用的数值计算方法有两种：有限单元法有限单元法和有限差分法和有限差分法。但是相对于有限差分法，。但是相对于有限差分法，有限元方法具有如下的优势：有限元方法具有如下的优势：n na a）可以模拟任意形状复杂的结构；）可以模拟任意形状复杂的结构；）
8、可以模拟任意形状复杂的结构；）可以模拟任意形状复杂的结构；n nb b）比较容易的实现在温度场结果基础上进行）比较容易的实现在温度场结果基础上进行）比较容易的实现在温度场结果基础上进行）比较容易的实现在温度场结果基础上进行应力场的计算；应力场的计算；应力场的计算；应力场的计算；n nc c）可以处理诸如接触在内的复杂边界条件的传）可以处理诸如接触在内的复杂边界条件的传）可以处理诸如接触在内的复杂边界条件的传）可以处理诸如接触在内的复杂边界条件的传热问题。热问题。热问题。热问题。第二部分第二部分热过程的数值模拟 均质棒材的一维稳态导热分析 n n将将一一个个棒棒材材除除了了端端面面外外的的其其余
9、余部部分分均均设设置置为为绝绝热热状状态态，棒棒材材的的横横截截面面面面积积为为A，棒棒材材长长度度为为L。对对于于此此问问题题的的有有限限元元建建模模可可以以简简化为两个节点化为两个节点1和和2连接的线性单元。连接的线性单元。周围绝热棒材的一维导热分析示意图及有限元模型 第二部分第二部分热过程的数值模拟 均质棒材的一维稳态导热分析 n n根根据据傅傅立立叶叶定定律律，对对于于一一维维传传热热问问题题，热热流可以表达为如下的公式流可以表达为如下的公式n n Q为为单单位位时时间间通通过过横横截截面面A的的热热量量，T为为温温度度，x为为热热流流传传播播方方向向的的坐坐标标，为为导导热热材材料的
10、导热系数。料的导热系数。第二部分第二部分热过程的数值模拟 均质棒材的一维稳态导热分析 稳态传热 第二部分第二部分热过程的数值模拟 均质棒材的一维稳态导热分析 第二部分第二部分热过程的数值模拟 复合棒材中的热传导有限元分析复合棒材中的热传导有限元分析 第二部分第二部分热过程的数值模拟 复合棒材中的热传导有限元分析复合棒材中的热传导有限元分析 第二部分第二部分热过程的数值模拟 复合棒材中的热传导有限元分析复合棒材中的热传导有限元分析 第二部分第二部分热过程的数值模拟 复合棒材中的热传导有限元分析复合棒材中的热传导有限元分析 第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 n n以上的结果是采用直接法
11、进行的有限元分析，但是直接法以上的结果是采用直接法进行的有限元分析，但是直接法以上的结果是采用直接法进行的有限元分析，但是直接法以上的结果是采用直接法进行的有限元分析，但是直接法只能用来推导比较简单的有限元方程。例如假设温度、位只能用来推导比较简单的有限元方程。例如假设温度、位只能用来推导比较简单的有限元方程。例如假设温度、位只能用来推导比较简单的有限元方程。例如假设温度、位移是线性变化的，同时在单元边界上热流、应力、表面力移是线性变化的，同时在单元边界上热流、应力、表面力移是线性变化的，同时在单元边界上热流、应力、表面力移是线性变化的，同时在单元边界上热流、应力、表面力是常数，容易转化成等效
12、的节点热流和节点力。直接法形是常数，容易转化成等效的节点热流和节点力。直接法形是常数，容易转化成等效的节点热流和节点力。直接法形是常数，容易转化成等效的节点热流和节点力。直接法形式上把连续区域化分为有限元网格，对每个有限元用直接式上把连续区域化分为有限元网格，对每个有限元用直接式上把连续区域化分为有限元网格，对每个有限元用直接式上把连续区域化分为有限元网格，对每个有限元用直接法分析得到单元刚度矩阵再组合成总体刚度矩阵。然而对法分析得到单元刚度矩阵再组合成总体刚度矩阵。然而对法分析得到单元刚度矩阵再组合成总体刚度矩阵。然而对法分析得到单元刚度矩阵再组合成总体刚度矩阵。然而对于于于于比较复杂的系统
13、比较复杂的系统比较复杂的系统比较复杂的系统，以上的方法实现起来就比较困难。，以上的方法实现起来就比较困难。，以上的方法实现起来就比较困难。，以上的方法实现起来就比较困难。n n事实上，大部分工程实际问题都受控于该问题的微分方程。事实上，大部分工程实际问题都受控于该问题的微分方程。事实上，大部分工程实际问题都受控于该问题的微分方程。事实上，大部分工程实际问题都受控于该问题的微分方程。由于复杂的几何形状以及载荷状态，很多工程实际问题的由于复杂的几何形状以及载荷状态，很多工程实际问题的由于复杂的几何形状以及载荷状态，很多工程实际问题的由于复杂的几何形状以及载荷状态，很多工程实际问题的微分方程都无法直
14、接获得其精确解。因而在工程领域中就微分方程都无法直接获得其精确解。因而在工程领域中就微分方程都无法直接获得其精确解。因而在工程领域中就微分方程都无法直接获得其精确解。因而在工程领域中就会使用很多的近似方法来求解微分方程。有限元方法就是会使用很多的近似方法来求解微分方程。有限元方法就是会使用很多的近似方法来求解微分方程。有限元方法就是会使用很多的近似方法来求解微分方程。有限元方法就是其中一种近似方法，但实际上有限元方法也要基于一些其其中一种近似方法，但实际上有限元方法也要基于一些其其中一种近似方法，但实际上有限元方法也要基于一些其其中一种近似方法，但实际上有限元方法也要基于一些其他的更基础的近似
15、方法，其中加权余量法是一种应用十分他的更基础的近似方法，其中加权余量法是一种应用十分他的更基础的近似方法，其中加权余量法是一种应用十分他的更基础的近似方法，其中加权余量法是一种应用十分普遍的近似方法。普遍的近似方法。普遍的近似方法。普遍的近似方法。第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 n n这这里里以以一一维维的的问问题题入入手手，介介绍绍加加权权余余量量法法的的基基本本思思想想及及基基本本分分析析过过程程，实实际际上上基基于于这这样样的的思思想想，也也同同样样可可以以实实现现二二维维或或者者三三维问题的分析。讨论如下的微分形式维问题的分析。讨论如下的微分形式 第二部分第二部分热过程的
16、数值模拟 加权余量法 n n而而是是通通过过将将y*带带入入微微分分方方程程所所获获得得其其残残余余误差（即余量）误差（即余量）n n 第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 n n所以加权余量法是一种解特定边界条件的所以加权余量法是一种解特定边界条件的近似方法，它应用特定的试探函数使之满近似方法，它应用特定的试探函数使之满足相应的边界条件，同时使余量的加权积足相应的边界条件，同时使余量的加权积分为零来求解微分方程的近似解。分为零来求解微分方程的近似解。n n这里的权函数是可以任意选择的，目前依这里的权函数是可以任意选择的，目前依据选择的权函数不同，存在多种比较成型据选择的权函数不同，存
17、在多种比较成型的加权余量法。这里仅对有限元中经常采的加权余量法。这里仅对有限元中经常采用的伽辽金法进行介绍。用的伽辽金法进行介绍。第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 n n伽伽辽辽金金方方法法中中直直接接采采用用试试探探函函数数作作为为权权函函数。数。n n这这样样原原来来微微分分方方程程的的加加权权余余值值的的积积分分变变为为以下的形式以下的形式 第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 n n获获得得了了n个个方方程程，这这样样可可以以解解出出近近似似解解中中的的n个未知量个未知量ci。从而获得微分方程的近似解。从而获得微分方程的近似解。第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权
18、余量法 n n问问题题：应应用用伽伽辽辽金金方方法法，解解以以下下微微分分方方程程的近似解：的近似解：边界条件为边界条件为y(0)=y(1)=0，即为协调边界条件。，即为协调边界条件。第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 n n由由于于微微分分方方程程中中存存在在二二次次项项，所所以以这这里里采采用用抛抛物物线线关关系系的的试试探探函函数数即即能能满满足足要要求求，一一般般来来说说，如如果果在在区区间间a b上上的的同同时时为为了了满满足足边边界界条条件件，可可以以选选择择以以下下的的多多项项式式形式形式 第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 n n应应用用以以上上的的试试探探
19、函函数数，则则近近似似解解可可以以表表达达为：为：n n将将这这个个试试探探函函数数带带入入微微分分方方程程中中，则则余余量量的表达式为：的表达式为：第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 n n解出解出c14。所以近似解为。所以近似解为 第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 n n精确解：精确解：n n带入边界条件带入边界条件 第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 n n应应用用两两项项伽伽辽辽金金近近似似解解以以上上的的微微分分方方程程，试探函数分别为：试探函数分别为：n n两项近似解的形式为两项近似解的形式为 n n 第
20、二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 n n解得：解得：第二部分第二部分热过程的数值模拟 加权余量法 n n以上微分方程的两项近似解为以上微分方程的两项近似解为 第二部分第二部分热过程的数值模拟 伽辽金法n n使使使使用用用用伽伽伽伽辽辽辽辽金金金金法法法法进进进进行行行行整整整整个个个个问问问问题题题题求求求求解解解解区区区区域域域域内内内内的的的的近近近近似似似似解解解解计算通常会带来一些问题：计算通常会带来一些问题：计算通常会带来一些问题：计算通常会带来一些问题：n n一一一一是是是是当当当当问问问问题题题题比比比比较较较较复复复复杂杂杂杂的的的的时时时时候候候候，需需需需要要要要
21、使使使使用用用用项项项项数数数数非非非非常常常常多多多多的的的的近近近近似似似似解解解解，才才才才能能能能获获获获得得得得比比比比较较较较接接接接近近近近的的的的计计计计算算算算结结结结果果果果，这这这这个个个个计计计计算算算算过过过过程程程程非非非非常常常常复复复复杂杂杂杂，计计计计算算算算周周周周期期期期非非非非常常常常长长长长，尤尤尤尤其其其其是是是是在在在在进进进进行行行行二二二二维维维维或或或或者者者者三三三三维维维维分分分分析析析析的的的的时时时时候候候候还还还还涉涉涉涉及及及及到到到到偏偏偏偏微微微微分分分分方方方方程程程程的的的的问问问问题题题题，那那那那时时时时候获得合适的试
22、探函数将是一件非常困难的事情；候获得合适的试探函数将是一件非常困难的事情；候获得合适的试探函数将是一件非常困难的事情；候获得合适的试探函数将是一件非常困难的事情；n n另另另另外外外外近近近近似似似似解解解解计计计计算算算算的的的的结结结结果果果果可可可可能能能能满满满满足足足足所所所所有有有有边边边边界界界界条条条条件件件件，但但但但是是是是会会会会在在在在其其其其他他他他的的的的位位位位置置置置出出出出现现现现近近近近似似似似解解解解与与与与精精精精确确确确解解解解的的的的结结结结果果果果相相相相震震震震荡荡荡荡等等等等问问问问题题题题。为为为为了了了了解解解解决决决决这这这这个个个个问问
23、问问题题题题，可可可可以以以以采采采采用用用用将将将将整整整整个个个个求求求求解解解解区区区区域域域域划划划划分分分分成成成成有有有有限限限限元元元元网网网网格格格格的的的的方方方方法法法法，此此此此时时时时每每每每个个个个单单单单元元元元的的的的积积积积分分分分区区区区域域域域都会变得比较小，这样可以避免以上的两个问题。都会变得比较小，这样可以避免以上的两个问题。都会变得比较小，这样可以避免以上的两个问题。都会变得比较小，这样可以避免以上的两个问题。n n这就提出了有限元的伽辽金方法。这就提出了有限元的伽辽金方法。这就提出了有限元的伽辽金方法。这就提出了有限元的伽辽金方法。第二部分第二部分热
24、过程的数值模拟 伽辽金法n n问问题题：应应用用伽伽辽辽金金方方法法，解解以以下下微微分分方方程程的近似解：的近似解：边界条件为边界条件为y(a)=ya，y(b)=yb即为协调边界条件。即为协调边界条件。这里不对整个的分析区域即进行直接求解，而这里不对整个的分析区域即进行直接求解，而是将这个范围划分成是将这个范围划分成M个单元进行分析个单元进行分析 第二部分第二部分热过程的数值模拟 伽辽金法第二部分第二部分热过程的数值模拟 伽辽金法值值得得注注意意的的是是此此时时积积分分的的上上下下限限已已经经不不再再是是整整个个积积分分范范围围，而而是是每每个个单单元元的的区区域域范范围围。而而被被积积分分
25、的的对对象象也也转转变变为为与与单单元元相相应应的的积积分分对对象象。从从上上面面的的公公式式可可以以获获得得M+1个个代代数数方方程程，从从而而可可以以解解出出M+1个个节节点点的的函函数数值值yi。这这些些代代数数方方程程可可以以写写成成矩矩阵阵形形式：式：第二部分第二部分热过程的数值模拟 伽辽金法n n将将将将精精精精确确确确解解解解、2 2个个个个单单单单元元元元计计计计算算算算结结结结果果果果以以以以及及及及4 4个个个个单单单单元元元元得得得得计计计计算算算算结结结结果果果果绘绘绘绘于于于于图图图图中中中中。两两两两个个个个单单单单元元元元得得得得结结结结果果果果与与与与精精精精确
26、确确确解解解解之之之之间间间间差差差差别别别别较较较较大大大大，仅仅仅仅仅仅仅仅在在在在节节节节点点点点的的的的函函函函数数数数值值值值方方方方面面面面与与与与精精精精确确确确解解解解接接接接近近近近，而而而而其其其其在在在在节节节节点点点点处处处处导导导导数数数数的的的的连连连连续续续续性性性性比比比比较较较较差差差差。四四四四个个个个单单单单元元元元的的的的计计计计算算算算结结结结果果果果与与与与精精精精确确确确解解解解之之之之间间间间的的的的差差差差别别别别很很很很小小小小，更更更更加加加加接接接接近近近近精精精精确确确确解解解解，但但但但是是是是节节节节点点点点处处处处的的的的导导导导
27、数数数数不不不不连连连连续续续续现现现现象象象象依依依依旧旧旧旧比比比比较较较较明明明明显显显显，可可可可以以以以预预预预期期期期如如如如果果果果进进进进一一一一步步步步增增增增加加加加单单单单元元元元的的的的数数数数目目目目，计计计计算算算算解解解解果果果果将将将将更更更更加加加加逼逼逼逼近近近近真真真真实实实实解解解解，同同同同时时时时节节节节点点点点的的的的导导导导数数数数不连续现象能够得到进一步缓解。不连续现象能够得到进一步缓解。不连续现象能够得到进一步缓解。不连续现象能够得到进一步缓解。第二部分第二部分热过程的数值模拟 一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法一维稳态传热问题的伽辽金有限元
28、解法 n n本本本本节节节节应应应应用用用用以以以以上上上上提提提提到到到到的的的的伽伽伽伽辽辽辽辽金金金金有有有有限限限限元元元元法法法法来来来来进进进进行行行行传传传传热热热热问问问问题题题题的的的的有有有有限限限限元元元元分分分分析析析析。为为为为了了了了便便便便于于于于分分分分析析析析，这这这这里里里里就就就就一一一一维维维维稳稳稳稳态态态态传传传传热热热热问问问问题题题题的的的的有有有有限元分析过程进行介绍。限元分析过程进行介绍。限元分析过程进行介绍。限元分析过程进行介绍。热热量量仅仅沿沿着着x轴轴方方向向传传导导，而而其其他他的的与与x轴轴垂垂直直的的方方向向假假定定为为完完全全的
29、的绝绝热热边边界界条条件件，即即这些面上没有热量损失。这些面上没有热量损失。第二部分第二部分热过程的数值模拟 一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法 n n在在dt时间内，以上公式对应的方程可写为：时间内，以上公式对应的方程可写为：第二部分第二部分热过程的数值模拟 一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法 n n假设材料的导热系数为常数假设材料的导热系数为常数假设材料的导热系数为常数假设材料的导热系数为常数 n n对于稳态传热进行分析，即对于稳态传热进行分析，即 第二部分第二部分热过程的数值模拟 一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法一维稳
30、态传热问题的伽辽金有限元解法 n n应应用用加加辽辽金金方方法法有有限限单单元元的的方方法法来来解解以以上上的的微微分分方方程程。这这里里的的单单元元类类型型为为两两节节点点线线性性插插值值单单元元，则则通通过过上上一一节节分分析析，其其插插值值函数的表达式为：函数的表达式为：n n其其中中T1和和T2分分别别代代表表单单元元上上的的两两个个节节点点的的温温度度值值。令令微微分分方方程程的的加加权权余余量量的的积积分分为为零零，即：即：i=1,2 第二部分第二部分热过程的数值模拟 一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法 n n对对于于积积分分中中的的第第二二项项进
31、进行行分分部部积积分分，则则以以上公式转变为上公式转变为n n将将插插值值函函数数及及相相应应的的Ni带带入入上上式式，与与上上一一节的分析类似，可以获得如下两个公式：节的分析类似，可以获得如下两个公式：i=1,2 第二部分第二部分热过程的数值模拟 一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法 n n经计算经计算第二部分第二部分热过程的数值模拟 一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法 n n圆圆棒棒的的直直径径为为60mm，长长1m，圆圆棒棒周周向向绝绝热热，其其 左左 半半 部部 为为 铝铝，导导 热热 系系 数数 为为200W/(m)，
32、右右半半部部分分为为铜铜，其其导导热热系系数数为为389W/(m)。铝铝棒棒左左端端的的热热流流为为4000W/m2；铜铜棒棒右右端端温温度度一一直直保保持持在在80。应应用用4个个等等长长度度单单元元分分析析稳稳态态条条件件下下棒棒材材的的温温度度分分布布。这这个个例例子子我我们们可可以以简简单单的的采采用用本本部部分分刚刚刚刚开开始始的的时时提提到到的的直直接接法法进进行行求求解解，但但是是这这里里主主要要为为了了说说明明伽伽辽辽金金法法的的工工作作原原理理，所所以以采采用用伽伽辽辽金金法法进进行行求求解解。以以期读者掌握这种方法热分析的基本流程。期读者掌握这种方法热分析的基本流程。第二部
33、分第二部分热过程的数值模拟 一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法 n n对对于于铝铝相相关关的的单单元元1和和单单元元2，其其传传热热矩矩阵阵为：为：W/第二部分第二部分热过程的数值模拟 一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法 n n铜相关的单元铜相关的单元3和单元和单元4，其传热矩阵为：，其传热矩阵为：n n将将边边界界条条件件q14000W/m2，T580，带带入到整体矩阵方程中去，则入到整体矩阵方程中去，则W/第二部分第二部分热过程的数值模拟 一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法 n n将将T5
34、带带入入到到前前四四个个方方程程中中，则则前前四四个个方方程程变成如下的矩阵方程变成如下的矩阵方程 n n这里四个方程，四个未知数，最终解得：T195.15、T290.14、T385.15、T482.57。将T4和T5带入原矩阵方程的第五个方程，解得q54038.6W/m2。第二部分第二部分热过程的数值模拟 一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法一维稳态传热问题的伽辽金有限元解法 n n从从以以上上的的结结果果可可以以看看出出传传入入圆圆棒棒的的热热流流q1 4000W/m2与与 传传 出出 圆圆 棒棒 的的 热热 流流 q54038.6W/m2之之间间存存在在一一定定的的差差距距，而而实实际际上
35、上，他他们们应应该该相相等等，这这主主要要是是由由于于这这里里采采用用了了手手工工计计算算的的形形式式，中中间间数数据据的的有有效效数数字字不不够够，如如果果采采用用高高精精度度的的计计算算，则则可可以以近似获得近似获得q54000W/m2。第三部分第三部分三维焊接结构应力变形的有限元法第三部分第三部分三维焊接结构应力变形的有限元法n n焊焊接接过过程程中中的的应应力力与与变变形形的的有有限限元元分分析析的的实实质质是是热热应应力力的的分分析析。目目前前关关于于热热应应力力的的分分析析一一般般有有两两种种解解法法，其其中中一一种种是是解解耦耦算算法法，另另外外一一种种是是热热机机耦耦合合算算法
36、法。所所谓谓解解耦耦算算法法就就是是仅仅考考虑虑温温度度对对于于结结构构应应变变、应应力力的的作作用用，而而不不考考虑虑由由于于结结构构变变形形而而产产生生的的热热效效应应；而而热热机机耦耦合合算算法法则则在在计计算算中中同同时时考考虑虑这这种种相相互互作作用用。实实际际上上对对于于焊焊接接过过程程而而言言，解解耦耦算算法法就就能能满满足足计计算算精精度度要要求求。所以本节主要介绍解耦算法的基本思想。所以本节主要介绍解耦算法的基本思想。第三部分第三部分三维焊接结构应力变形的有限元法n n解解耦耦算算法法的的基基本本思思想想是是先先进进行行结结构构的的温温度度场场的的计计算算，然然后后以以温温度
37、度场场为为边边界界条条件件计计算算应力场应力场。第三部分第三部分三维焊接结构应力变形的有限元法n n当当当当物物物物体体体体各各各各部部部部分分分分的的的的温温温温度度度度发发发发生生生生变变变变化化化化时时时时，物物物物体体体体由由由由于于于于热热热热胀胀胀胀冷冷冷冷缩缩缩缩（通通通通常常常常的的的的材材材材料料料料符符符符合合合合这这这这个个个个规规规规律律律律，在在在在此此此此这这这这样样样样说说说说，是是是是希希希希望望望望容容容容易易易易理理理理解解解解）而而而而产产产产生生生生膨膨膨膨胀胀胀胀或或或或收收收收缩缩缩缩，从从从从而而而而产产产产生生生生线应变：线应变：线应变：线应变：
38、n n当当当当物物物物体体体体的的的的热热热热变变变变形形形形不不不不受受受受任任任任何何何何条条条条件件件件的的的的约约约约束束束束，则则则则物物物物体体体体不不不不会会会会产产产产生生生生热热热热应应应应力力力力，但但但但是是是是当当当当物物物物体体体体受受受受到到到到外外外外界界界界条条条条件件件件的的的的约约约约束束束束、或或或或者者者者物物物物体体体体受受受受热热热热不不不不均均均均匀匀匀匀各各各各部部部部分分分分存存存存在在在在一一一一定定定定的的的的温温温温度度度度差差差差时时时时，各部分的热应变之间相互作用而产生应力。各部分的热应变之间相互作用而产生应力。各部分的热应变之间相互
39、作用而产生应力。各部分的热应变之间相互作用而产生应力。第三部分第三部分三维焊接结构应力变形的有限元法n n物物体体由由于于热热膨膨胀胀的的作作用用只只产产生生线线性性应应变变，而剪应变为零。而剪应变为零。n n这这种种由由热热应应变变产产生生的的应应变变可可以以看看作作物物体体的的自由应变自由应变 第三部分第三部分三维焊接结构应力变形的有限元法n n其其中中的的T可可以以通通过过前前面面提提到到的的温温度度场场的的计计算算中中的的方方法法求求得得。在在获获得得了了自自由由应应变变之之后后，可可以以根根据据外外观观变变形形、自自由由变变形形和和内内部部变变形形之间的关系，确定内部应变的表达式为：
40、之间的关系，确定内部应变的表达式为：n n外外观观应应变变与与具具体体的的坐坐标标的的位位置置相相关关，就就是是我我们们前前面面进进行行应应力力应应变变分分析析中中的的应应变变，其其为节点坐标的函数。即：为节点坐标的函数。即：第三部分第三部分三维焊接结构应力变形的有限元法n n而而而而结结结结构构构构的的的的应应应应力力力力则则则则与与与与结结结结构构构构的的的的内内内内部部部部应应应应变变变变相相相相对对对对应应应应，存存存存在在在在如下的关系如下的关系如下的关系如下的关系 n n通通通通过过过过虚虚虚虚功功功功原原原原理理理理，我我我我们们们们可可可可以以以以建建建建立立立立起起起起来来来
41、来节节节节点点点点位位位位移移移移与与与与节节节节点力之间的关系，即点力之间的关系，即点力之间的关系，即点力之间的关系，即 n n而而而而 f ff f 是体积力及表面力等作用所产生的节点力。是体积力及表面力等作用所产生的节点力。是体积力及表面力等作用所产生的节点力。是体积力及表面力等作用所产生的节点力。第三部分第三部分三维焊接结构应力变形的有限元法n n由以上的公式可以看出，结构的热应力问题和无由以上的公式可以看出，结构的热应力问题和无由以上的公式可以看出，结构的热应力问题和无由以上的公式可以看出，结构的热应力问题和无热载荷的应力分析相比，除了增加一项初始温度热载荷的应力分析相比，除了增加一
42、项初始温度热载荷的应力分析相比，除了增加一项初始温度热载荷的应力分析相比，除了增加一项初始温度应变所产生的温度载荷以外，其他的完全相同，应变所产生的温度载荷以外，其他的完全相同，应变所产生的温度载荷以外，其他的完全相同，应变所产生的温度载荷以外，其他的完全相同，这样对于稳态温度场的应力问题，可采用关于三这样对于稳态温度场的应力问题，可采用关于三这样对于稳态温度场的应力问题，可采用关于三这样对于稳态温度场的应力问题，可采用关于三维应力分析的有限元计算方法进行计算分析。而维应力分析的有限元计算方法进行计算分析。而维应力分析的有限元计算方法进行计算分析。而维应力分析的有限元计算方法进行计算分析。而对
43、于瞬态温度所产生的应力场，可以在每一步瞬对于瞬态温度所产生的应力场，可以在每一步瞬对于瞬态温度所产生的应力场，可以在每一步瞬对于瞬态温度所产生的应力场，可以在每一步瞬态温度场计算后进行相应的应力场计算。亦可在态温度场计算后进行相应的应力场计算。亦可在态温度场计算后进行相应的应力场计算。亦可在态温度场计算后进行相应的应力场计算。亦可在所有瞬态温度场计算完成后，对于所有时间步或所有瞬态温度场计算完成后，对于所有时间步或所有瞬态温度场计算完成后，对于所有时间步或所有瞬态温度场计算完成后，对于所有时间步或者特定的时间步的应力场进行计算。者特定的时间步的应力场进行计算。者特定的时间步的应力场进行计算。者
44、特定的时间步的应力场进行计算。n n针对于焊接应力场的计算，如果在获得温度场的针对于焊接应力场的计算，如果在获得温度场的针对于焊接应力场的计算，如果在获得温度场的针对于焊接应力场的计算，如果在获得温度场的计算的情况下，是可以利用这里提到的分析方法计算的情况下，是可以利用这里提到的分析方法计算的情况下，是可以利用这里提到的分析方法计算的情况下，是可以利用这里提到的分析方法进行相应的应力场计算的。对于焊接变形问题，进行相应的应力场计算的。对于焊接变形问题，进行相应的应力场计算的。对于焊接变形问题，进行相应的应力场计算的。对于焊接变形问题，由于我们获得了所有节点的位移情况，所以可以由于我们获得了所有节点的位移情况，所以可以由于我们获得了所有节点的位移情况，所以可以由于我们获得了所有节点的位移情况，所以可以方便的获得结构的变形情况。方便的获得结构的变形情况。方便的获得结构的变形情况。方便的获得结构的变形情况。