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1、第五篇 自 适 应 控 制概 述 任何一个动态系统，通常都具有程度不同的不确定性。这种不确定性因素的产生主要由于：系统的输入包含有随机扰动，如飞行器飞行过程中的阵风；以上两者又称为不确定性的（或随机的）环境因素。系统的测量传感器具有测量噪声；系统数学模型的参数甚至结构具有不确定性。如导弹控制系统中气动力参数随导弹飞行高度、速度、导弹质量及重心的变化而变化。点击图片观看 在只存在不确定环境因素，但系统模型具有确定性的情况下，这是随机控制需要解决的问题；而自适应控制是解决具有数学模型不确定性为特征的最优控制问题。这时如果系统基本工作于确定环境下，则称为确定性自适应控制；如果系统工作于随机环境下，则
2、称为随机自适应控制。自适应控制的提法可归纳为：在系统数学模型不确定的条件下（工作环境可以是基本确定的或是随机的），要求设计控制规律，使给定的性能指标尽可能达到及保持最优。为了完成以上任务，自适应控制必须首先要在工作过程中不断地在线辨识系统模型（结构及参数）或性能，作为形成及修正最优控制的依据，这就是所谓的自适应能力，它是自适应控制主要特点。最早的自适应控制方案是在五十年代末由美国麻省理工学院怀特克(Whitaker)首先提出飞机自动驾驶仪的模型参考自适应控制方案。自适应控制是自动控制领域中的一个新分支，三十多年来取得了很大的发展，并得到了广泛的重视。自动驾驶仪 到目前为止，在先进的科技领域出现
3、了许多形式不同的自适应控制方案，但比较成熟并已获得实际应用的可以概括成两大类：模型参考自适应控制；自校正控制。自适应控制的应用领域 模型参考自适应控制需在控制系统中设置一个参考模型，要求系统在运行过程中的动态响应与参考模型的动态响应相一致（状态一致或输出一致），当出现误差时便将误差信号输入给参数自动调节装置，来改变控制器参数，或产生等效的附加控制作用，使误差逐步趋于消失。在这方面法国学者朗道(I.D.Landau)把超稳定性理论应用到模型参考自适应控制中来，做出了杰出贡献。自校正控制基于对被控对象数学模型的在线辨识，然后按给定的性能指标在线地综合最优控制的规律。它与一般确定性或随机性最优控制的
4、差别是增加了被控制对象的在线辨识任务，它是系统模型不确定情况下的最优控制问题的延伸，可用于导弹控制。第十六章 自 校 正 控 制图161 自校正控制的原理及组成见图，其中参数估计器的功用是根据被控对象的输入 及输出 信息连续不断地估计控制对象参数 。参数估计的常用算法有随机逼近法、最小二乘法、极大似然法等。调节器的功用是根据参数估计器不断送来的参数估值 。通过一定的控制算法，按某一性能指标不断地形成最优控制作用。调节器的常用算法有最小方差、希望极点配置、二次型指标等。其中，以用最小二乘法进行参数估计，按最小方差来形成控制作用的自校正控制最为简单，并在战术导弹控制中获得了实际应用。(AIM120
5、)在控制系统分析中，经常使用如下两类数学模型：输入输出模型：用微分方程及差分方程或传递函数表示。一般适合于描述线性定常的比较简单的工业系统模型。状态空间模型：用连续或离散的状态方程表示。常用来描述比较复杂的系统，更适合于描述非时变系统。本章所讨论的线性定常单输入单输出离散时间系统的最小方差自校正控制，应用了如下输入输出模型：(16-1)式中，表示采样时刻序列，表示控制对输出的传输延时。如引入一步延时算子 ，即则上式可表示为(16-2)其中，为系统脉冲传递函数。写成简式为(16-3)式中：(16-4)(16-5)(16-6)如果系统存在随机干扰，则有(16-7)式中，可以是有色噪声，设其为平稳随
6、机过程，则可以看成为白噪声通过成形滤波器的输出，成形滤波器的脉冲传递函数 可以由 的功率谱密度 进入谱分解求得，即(16-8)故随机干扰 的数学模型可表示为(16-9)式中，为白噪声。一般为分式多项式：(16-10)代入系统模型，则得(16-11)等式两边乘 ，则得(16-12)这里在辨识中，这类模型称为被控自回归滑动平均模型CARMA。(16-13)(16-14)(16-15)第一节 最小方差控制律 设已知线性定常单输入单输出受控系统在随机扰动作用下的数学模型如式(16-12)至式(16-15)，要求设计一个最优控制器，使随机输出的稳态方差为：为最小。式中，为确定性输出。(16-16)这里的
7、最优控制规律应为已测得的输出序列 的线性函数，便于实现闭环控制。由式(16-12)有(16-17)将 用长除法或待定系数法进行如下分解：(16-18)式中 的商式，的余式，于是有：经以上分解，如果 的阶次为 ，的阶次为 ，则可见该项表示未来的干扰序列，显然，与已得的测量序列 是独立的。与 独立。设 为 阶，则(16-20)(16-21)可见该项表示现在及过去的干扰序列，显然与已得的测量序列不独立。(16-22)(16-23)(16-24)与 不独立。设 为 阶,则设 及 的所有零点均在单位圆内，即它们均为稳定 的多项式。则由式(16-17)可得(16-25)代入式(16-20)得(16-26)
8、式中，为 步超前预测量，为 步超前干扰量。为简化起见，先假设输出量的设定值 ，即我们拟设计一个调节器，使输出量的方差尽量地小，可将式(16-26)代入性能指标，有：(16-27)已知 与 独立，又因假设 为 的线性函数，因此 与 独立，等式右边第三项可表示为(16-28)已知 为白噪声，故(16-29)因此，式(16-27)右边第三项等于零。其次，右边第一项与控制序列无关，它是不可控的。等式右边第二项为非向值，因此为使指标函数最小，应取控制序列满足：(16-30)由此可得最优控制序列为(16-31)相应的指标函数最小值为如设 为平稳白噪声，其方差为 ，则得这样，我们得到了为输出序列线性函数的最
9、优控制规律，因此可以很方便地实现闭环控制。第二节 最小方差自校正调节器 在第一节的讨论中，假设被控对象的模型已知，因此它属于随机控制问题。最小方差自校正调节器所要解决的问题是被控对象参数未知时的最小方差控制问题。这里，首先应该通过适当的方法进行参数估计，然后以参数的估值来代替实际的参数，按最小方差指标综合最优控制规律。按照参数估计模型的不同，最小方差自校正调节器可分为显式及隐式两种：显式最小方差自校正调节器：它是直接对式(16-18)中的多项式A、B、C的参数估计，然后用这些参数估值进一步计算最小方差调节器中的多项E及D的参数估值，最后求得最优控制 来。隐式最小方差自校正调节器：它并不直接对式
10、(16-18)中的多项式A、B、C的参数进行估计，而是直接对最小方差调节器中的多项式E及乘积多项式BD的参数进行估计。由此可见，隐式最小方差自校正调节器可以省略由A、B、C至E，BD参数估计的计算工作，从而使计算在为简化。要指出的是，当采用其他性能指标时（如二次型性能指标），这一步往往是不能省略的。下面，我们着重讨论隐式最小方差自校正调节器。根据最小方差控制律，已知(16-34)(16-35)(16-36)则(16-37)我们的任务是对 及 进行估计。这里，是根据经验设定或用试验方法事先测定的。由此可得：(16-38)(16-39)为了估计参数 及 ，我们假设一个预报模型如下：(16-40)这
11、个预报模型具有以下特点：它是由最小方差控制律的未知参数 及 组成，因此，求出这个模型的参数估后，就可直接求出控制律。这个模型的形式与实际模型是不同的，但是当采用如上形式的最小方差控制律时，输出预报值等于模型残差，并为白噪声。虽然我们采用了不同的预报模型，只要调节器具有自校正特性，就能达到最小方差控制的效果。所谓自校正调节器的自校正特性，即只要自校正调节器的递推参数估计收敛，则自校正调节器具有与对象参数已知时最小方差调节器相同的统计特性。现在我们就可根据预报模型来对未知参数 及 进行估计。式(16-40)可表示成如下形式：(16-41)如果被控对象是定常的，即参数 、为已知常数，则式(16-41
12、)可表示成(16-42)式中(16-44)(16-43)至此，我们就可用各种估计方法来估计未知参数 。一般常用比较简单的递推最小二乘法，递推算法如下：求得估值 后，即可直接代入式（16-34）得到最优控制律。(16-45)(16-45)(16-45)A、C的极点在单位圆内是保证系统稳定及预测 的稳定所要求的；当 的部分零点在单位圆外时，则式(16-34)控制规律将具有不稳定的极点，调节器将呈现不稳定，虽然这时整个系统的传递函数为：(16-48)这里，是对控制作用的加权。对应以上性能指标最小求出的最优控制律称为广义最小方差控制律。其中调节器的 的极点已被被控对象的 的零点对消，似乎 的不稳定零点
13、将对整个系统不起影响，但实际上这种精确的对消是达不到的。为了解决这个问题，途径之一是修正性能指标，即将纯最小方差指标 改成包含控制能量的指标，即：(16-49)将式(16-26)代入性能指标J，则得(16-50)为使J达到最小，求J关于u的导数，并令其等于零，得(16-51)式中，为 展开后的首项。解式(16-51)，最后得：(16-52)例16-1设系统模型为已知性能指标为求最优控制规律。设m=1，则 为m-1=0阶即 =1 为n-1=1阶 即代入式(16-53)，则得解：由已知多项式可求得 及 ，由式(16-19)知(16-53)对应阶次的系数相等，可解得：代入最优控制律：故控制误差为：这
14、里，假设 为平稳白噪声。设m=2，则代入式(16-53)，得令对应阶次的系数相等，可解得代入最优控制律：故控制误差为显然，由于系统延时增加，使 增加了，从而使性能变坏。当被控对象的参数未知时，可用上面的参数估计方法求出其估值，然后代入式(16-52)求得自校正调节器。第三节 最小方差自校正控制器 当要求系统输出能很好地跟踪某一参考输入时，就提出了自校正控制。设受控对象动态方程为(16-54)各系数多项式如前定义。性能指标为(16-55)式中，为与参考输入 对应的系统理想参考输出，K为跟踪比例系数。同样因为系统实际存在的延时，与广义最小方差自校正调节器相同，引入了 。因此，这是一个广义最小方差自
15、校正控制器的指标函数。为求广义最小方差控制律，受控对象方程可写成：(16-56)(16-57)代入性能指标，有 由于 与 及 不相关，上式第三项等于零，且第一项为：(16-58)故(16-59)求J对 的偏导数，并令其等于零可得故由于受控对象的参数未知，因此，同样需要进行对象参数的在线估计。广义最小方差自校正控制器结构图见图16-4。(16-61)例16-2 设系统方程为已知：性能指标为求最优控制律。解：已知 为 阶，为 阶，故 ；。代入得令对应阶次的系数相等，可解得：若令：，代入式(16-61)，可得最优控制律为如果对象模型未知，则需进行参数的在线估计，最后得到自校正控制器。第四节 极点配置
16、自校正调节器 由于最小方差自校正调节器不适用于非最小相位受控对象，解决此问题的另一种途径是按闭环系统希望的动态响应来重新配置极点，称此为极点配置自校正调节器。假设受控对象方程为(16-62)要求所设计的调节器脉冲传递函数为(16-63)式中：(16-64)(16-65)则输入为扰动 ，输出为 的闭环脉冲传递函数为(16-66)设闭环系统希望的脉冲传递函数为(16-67)式中，根据希望的闭环极点位置确定，一般可取 调节器脉冲传递函数的分母多项式 ，于是有：(16-68)故(16-69)由于对象的参数未知，需要假设一个预报模型来逼近对象的实际模型，然后对预报模型的参数进行在线估计。设预报模型为：(
17、16-70)式中：其中m系考虑了传输的延时，为白噪声。(16-71)(16-72)利用递推最小二乘法在线估计，可得：(16-73)令式(16-73)两边的相同幂次项的系数相等，可获得一组线性方程，解出 。但要求 的阶次满足 。求得 以后，代入式(16-63)，可得控制作用 。只要参数估计是收敛的，则调节器的控制规律最终将收敛到要求的控制规律。例 16-3 设受控对象模型为已知希望极点为0.5，试确定调节器传递函数。解 利用式(16-78)有设 则满足 ，代入上式得令对应阶次项的系数相等，可求得因此可得调节器的脉冲传递函数为如果受控对象参数未知，则需首先进行参数估计，然后代入式(16-82)，求
18、出 及 ，代入式(16-72)求得自校正调节器的脉冲传递函数。例：16-4 船舶自动驾驶仪在正常航行情况下的任务是，当船舶在各种因素的扰动（特别是气候条件）下偏离给定的航线时，能自动恢复到给定的航线上来。（即保持给定的航向角）。一般情况下，船舶在垂直面上的运动与其他运动可以分开。下面我们只即于研究其水平运动。设船舶的航向角为 ，航向角速度为 ，作为控制量的舵偏角为 ，则正常正常航行下的额定参数应为：设船舶航行速度为V，其在固定在船舶上的坐标系上的分量分别为 如图所示。根据动力学特性，并对运动方程进行线性化后可得下列方程：这里，为航行动力学参数，为船舶长度。由上可得，由舵偏角 到航向角 的传递函
19、数为：以上模型在很多情况下可简化成：这里 同样，都为给定的常值。由上可见，增益 正比于速度的平方，而时间常数反比于速度。我们将模型转化成ARMAX模型，可得：这里 为白噪声。如按广义最小方差来设计自校正调节器，则取性能指标函数为：由此我们即可求得其最小方差控制律。在工程应用中，由于在短的采样周期下无法采用最小方差控制律，目前已常用LQG控制律来代替，这时的性能指标函数为：然后可按LQG问题来解出自校正控制律，这里需要求解黎卡蒂方程。这种性能指标也符合在自动驾驶过程应使其引起的阻力为最小的要求，因为阻力的增量与航向角偏差及舵偏角的均方有以下关系：这里R为阻力，为阻力的增量，分别为航向角误差及舵偏角的均方。图16-7示出了某型船舶在采用自校正自适应自动驾驶仪及普通的PID自动驾驶仪时相应的航向偏差及舵偏运动。通常在随机扰动情况下，最小方差及广义最小方差控制效果最好，并且结构简单，计算工作量小，但对确定性扰动的动态响应较差。而最小时间控制及PI、PID控制是针对确定性扰动设计的，故效果正相反，极点配置控制方案则比较灵活，可以兼顾两种扰动的影响，但其计算工作量则要大得多。