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1、1中国数学会均匀设计分会沐浴在改革开发的阳光下，神州大地生机盎然，新生事物层出不穷。在科教兴国建设四化的过程中，人们熟悉的那些传统的试验设计方法，已不能充分满足快节奏高效率的要求。新时期呼唤新思维新方法。中国科学家巧妙的将“数论方法”和“统计试验设计”相结合，发明了一种全新的试验设计方法，这就是均匀设计法。均匀设计法诞生於年。由中国著名数学家方开泰方开泰教授和王元王元院士合作共同发明。前言2 均匀设计是一种试验设计 方法。它可以用较少的试验次数，安排多因素、多水平的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析因试验设计方法。均匀设计也是仿真试验设计和稳健设计的重要方法。3-1-4使用方法 我们通过制
2、药工业中的一个实例,来看均匀设计表的使用方法。例例1.11.1:阿魏酸的制备5 这就是说以阿魏酸的产量作为目标 Y。阿魏酸是某些药品的主要成分，在制备过程中，我们想增加其产量。全面交叉试验要N=73=343次,太多了。建议使用均匀设计。有现成的均匀设计表，提供使用。参见:6 经过分析研究，挑选出因素和试验区域，为原料配比:1.0-3.4吡啶总量:10-28反应时间:0.5-3.5确定了每个因素相应的水平数为7。如何安排试验呢?“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社(1994).”之附表 1网络地址:http:/www.math.hkbu.edu.hk/UniformDesign也可以浏览如
3、下网页第第1步步:将试验因素的水平列成下表：表表 1.1.1:7第第2步步:选择相应的均匀设计表.每个均匀设计表有一个记号，它有如下的含义:Un(qs)均匀设计试验次数水平数因素的最大数8例如:表表 1.1.2:表表 1.1.3:9每个表还有一个使用表，将建议我们如何选择适当的列。其中偏差为均匀性的度量值，数值小的设计表示均匀性好。例如 U7(74)的使用表为,表表 1.1.4:表表1.1.2:10第第3步步:应用选择的 UD-表,做出试验安排。1.将 x1,x2和 x3放入列1,和3.x1 x2 x3 2用x1的个水平替代第一列的1到 7.1.01.41.82.22.63.03.43.对第二
4、列，第三列做同样的替代.13 1.519 3.025 1.010 2.516 0.522 2.028 3.54.完成该设计对应的试验，得到个结果，将其放入最后一列.表表 1.1.5:11第第 4步步:用回归模型匹配数据首先，考虑线性回归模型:这个结果与人们的经验不符。使用回归分析中变量筛选的方法，比如向后法，得到推荐的模型为：12然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：使用向前的变量选择法，我们发现适宜的模型：13表表 1.1.6:方差分析（方差分析（ANOVA）表表状态是正常的，所以模型(1.1.4)是可接受的。图图1.1.1:14模型中的三项，在 5%的水平下都是显著的。图 1.1.2
5、a 匹配图图 1.1.2b 正态 Q-Q 图图 1.1.2c偏回归图15第第5步步:优化-寻找最佳的因素水平组合表1.1.5的设计是73=343个全面试验的部分实施,其中最好的试验点是值为Y=48.2%的#7。它不一定是全局最好的。人们想找到满足下式的x1*和 x3*:这里求取max的区域为：16x1x3的回归系数是正的，x3的回归系数也是正的,x1*=3.4.在x3*=2.7575达到最大值。图图 1.1.3 等值线图等值线图 (x1*,x3*)在x1*=3.4和 x3*=2.7575处估计响应的最大值是 51.85%。它比个试验点的最好值48.2%还大。17讨论讨论:18混合型水平的均匀设
6、计混合型水平的均匀设计试验中各因素若有不同水平数，比如，其水平数分别为q1，qk。19这时应使用相应的均匀设计表。见“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版(1994).”之附表2每个混合水平表有一个记号，含义为：Un(q1 qk )均匀设计试验次数各定量因素之水平数定量因素的最大数20下表是一个混合水平均匀设计表:21它的试验数为 12。可以安排水平数为、的因素各一个。U12(62 4)此表也是混合水平均匀设计表。22它的试验数为 12。可以安排二个6水平因素和一个4水平因素的设计。-2-23使用方法考虑考虑4 4个因素：个因素：平均施肥量X，分为12个水平(70,74,78,82,86,9
7、0,94,98,102,106,110,114)。种子播种前浸种时间T，分为6个水平(1,2,3,4,5,6)。土壤类型B，分4种B1，B2，B3，B4。种子品种A，分3个A1，A2，A3。对某农作物产量的影响对某农作物产量的影响,前两个为定量因素，后两个为定性因素。24例例2 2.1:在农业试验中如何安排试验，引出了下面的内容。混合型因素混合型水平的均匀设计混合型因素混合型水平的均匀设计一般情况下试验中既有定量型连续变化因素，又有定性型状态变化因素。假设有k个定量因素X1,Xk；这k个因素可化为k个连续变量，其水平数分别为q1，qk。又有t个定性因素G1,Gt，这t个定性因素分别有d1，dt
8、个状态。25人们使用“拟水平法”，或用优化方法计算，求出相应的均匀设计表。这种混合因素混合水平表有如下的记号和含义：Un(q1 qk d1 dt )均匀设计试验次数各定性因素之水平数定性因素的最大数各定量因素之水平数定量因素的最大数26 U12(12643 2)1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 3 3 3 3 2 1 1 2 4 4 4 4 3 1 2 1 5 5 5 1 1 2 2 2 6 6 6 2 3 2 1 1 7 7 1 3 1 1 1 1 8 8 2 4 3 3 2 1 9 9 3 1 1 3 2 2 10 10 4 2 2
9、 2 1 2 11 11 5 3 1 1 1 1 12 12 6 4 2 3 2 2 27例：次试验。可以安排个水平数为12和6的定量因素，以及总数为的一个水平为4、两个水平为3和两个水平为2的定性因素的设计。U12(12643 )28表2.1.1我们选均匀设计表2.1.1安排此试验第一列安排平均施肥量X，分为12个水平第二列安排种子播种前浸种时间T，分为6个水平第三列安排土壤类型B，分4种B1，B2，B3，B4。第四列安排种子品种A，分3个A1，A2，A3。试验的安排及结果如表2.1.229为了进行分析，我们引进5个伪变量。它们的记号和取值如下：30它们和、一起进行回归分析。B因素的A因素的
10、回归方程如下回归方程如下:+=31u不显著。需进一步考虑高阶回归项。u若我们考虑除主效应外，再多考虑一个2次效应和一个交互效应。这时回归方程化为32解得回归系数的最小二乘估计及其和值为：+=33解得非常显著非常显著34回归系数的最小二乘估计及其和值为：35方程为:其中1.含变量x 的两项与其它是分离的（即可加的），最大值点在 x=100.127。2.含变量z41 z42 的两项与其它是分离的，最大值点在 z41=0 z42=0，即品种3为好。3.含变量 z31 z32 z33 的四项与其它是分离的，最大值点可能在 z31=1 z32=0 z33=0 类型为1，=6或 z31=0 z32=1 z
11、33=0 类型为2，=6比较后知道为后者。所以得到最佳状态组合为施肥量X=100.127，浸种时间T=6，土壤类型B取2，种子品种A取3，此时最大值估计为36一、表的选择,因素及水平的安排u若试验中有k个定量因素和t个定性因素时，我们从混合型均匀设计表中选出带有s=k+t列的Un(q1qkd1dt)表。u这里要求nk+d+1,其中d=(d1+dt-t).为了给误差留下自由度，其中的n最好不取等号。u表中前k列对应k个连续变量，表中后t列可安排定性因素。安排n个试验，得到n个结果y1，y2，yn。37下面综述应注意的事项：u为了分析，首先要将定性因素之状态，依照伪变量法，将第i个因素分别化成(d
12、i-1)个相对独立的n维伪变量Zi1,Zi2,，Zi(di-1)。u将这总共d=(d1+dt-t)个伪变量与相应的k个连续变量X1，Xk一起进行建模分析。u为了保证主效应不蜕化，要对混合型均匀设计表进行挑选。38二、试验结果的回归建模分析如果不理想,则39首先考察它们的一阶回归模型：再考虑一些交互效应，和一些连续变量的高次效应。显然最多可考虑的附加效应数为m个，这里 mn-(k+d-2)u值得指出的是，由于Zij*Zij=Zij,因此无需考虑伪变量的高阶效应,只考虑连续变量的高次效应即可.u又因为Zij1*Zij2=0,j1j2时,因此也无需考虑同一状态因素内的伪变量间的交互效应。u只有i1i
13、2时,才有可能使Zi1j1*Zi2j20，即不同状态因素间的交互效应可能要考虑.。u此外，不要忘记考虑连续变量与伪变量的交互效应。u至于 三个以上的状态因素间 的交互效应项Zi1j1*Zi2j2*Zi3j30的可能性就更少了。40-3-41使用方法许多产品都是混合多种成分在一起形成的。面粉水糖蔬菜汁 椰子汁盐发酵粉乳酸钙 咖啡粉香料色素咖啡面包咖啡面包怎样确定各种成分的比例呢？经验经验试验试验混料试验混料试验混料配方均匀设计混料配方均匀设计42有 s 个因素:X1,Xs 满足 Xi 0,i=1,s 和 X1+Xs=1.试验区域为单纯形Ts=(x1,xs):xi 0,i=1,s,x1+xs=1.
14、单纯形格子点设计(Scheffe,1958).单纯形重心设计(Scheffe,1963).轴设计(Cornell,1975)人们提出了许多混料设计方法，如43例如,成分数 s=3单纯形格子点设计单纯形重心设计d轴设计这些设计的全面评价请参考：Cornell,J.A.(1990).Experiments with Mixtures:Designs,Models and the Analysis of Mixture Data.Wiley,New York.44混料均匀设计混料均匀设计上述设计的弱点：上述设计的弱点：许多点在Ts 的边界上；给用户设计的选择不多。混料均匀设计是要寻找在Ts上均匀散布
15、的试验点。问题问题:怎样设计这些试验点呢？变换方法45给定s-1维单位立方体C s-1上的均匀设计，且用Ck=(ck1,ck,s-1),k=1,n 表示。则进行下列必要的 变换：(3.1.1)xk=(xk1,xks),k=1,n 是 Ts.上的均匀设计。46 变换方法例例3.13.1 构造T3 上带有11 个(配方)试验点的均匀设计。假设我们选用 U11(112)和相关的 Ck,k=1,11:47变换公式(4.1)现在成为:(3.1.2)用这个变换公式,正方形0,12上的均匀设计 Ck=(ck1,ck2),k=1,11 导出T3上的均匀设计 Xk=(xk1,xk2,xk3),k=1,11 如下
16、:48区域 T3 是一个边长为 的等边三角形,用 V2 表示。111T3x1x2x3T3可以证明：V2 上的任何点(z1,z2)到V2的三条边之距离d1,d2和d3,满足 d1+d2+d3=1.d1d2d3因此，V2 上任何点(z1,z2)都对应一个T3 上的点(x1,x2,x3)，如果我们像这样在V2上建立一个新坐标系统的话。x1x2x349给定点(x1,x2,x3)，计算点(z1,z2)的公式是：图图 3.1.2ac1c2图图 3.1.2b50-4-51介绍 均匀设计软件均匀设计软件均匀设计软件有中、英文两个版本。该软件中列举了许多较均匀的设计表，并给出了数据分析方法。525354程序设计
17、者杜明亮和方法指导者方开泰教授在一起55均匀设计软件可用于 *与试验设计相关的大学本科或研究生课程 *自然科学研究的试验设计 *工业试验和国防科研*系统工程、仿真试验56（一）设计均匀设计表 -用好格子点法生成 -用拉丁方生成 -用优化方法生成带拟水平的均匀设计表带约束的配方设计无约束的配方设计57（二）数据分析建模 -简单线性模型 -二次模型 -自选模型选择变量 -前进法 -逐步回归法 -最优子集法 -自选变量统计诊断 -残差点图、正态Q-Q点图 -偏回归点图 -拟合比较图 -等高线图 -三维图综合分析 -多响应模型分析 -优化 -预报 -相关系数 -各类诊断点图小结我们介绍了有关均匀设计的
18、一些知识：均匀设计表的构造和用法；介绍了有关均匀设计软件的一些内容。我们强调的是正确使用正确使用均匀设计表。即：能确定试验目标，能找出影响因素及其变化范围，合理确定水平数及其值，正确安排试验，对试验结果进行适当的分析，得出恰当的认识。幸好，均匀设计分会研制的“均匀设计软件3.0”可以帮助帮助你完成这些工作。58想了解原理者请接看下面的附录。主要参考文献59,PPT，kaitai,Fang含有定性因素的均匀设计,PPT,王柱均匀设计八讲，拷贝，方开泰均匀设计与均匀设计表，书，方开泰均匀设计与正交设计的关联和比较，文章，方开泰，马长兴含有定性因素均匀设计均匀性的度量，文章,王柱，方开泰均匀设计理论及其应用研讨会，论文集均匀设计论文选，第一集均匀设计.0，软件，方开泰，杜明亮均匀设计论文选，第二集