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1、第三章第三章平稳时间序列分析平稳时间序列分析本章结构本章结构n方法性工具方法性工具 nARMA模型模型 n平稳序列建模平稳序列建模n序列预测序列预测 3.1 方法性工具方法性工具 n差分运算差分运算n延迟算子延迟算子n线性差分方程线性差分方程差分运算差分运算n一阶差分一阶差分n二阶差分二阶差分np 阶差分阶差分 n 步差分步差分延迟算子延迟算子n延迟算子类似于一个时间指针，当前序延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻前序列值的时间向过去拨了一个时刻 n记记B为延迟算子，有为延迟算子，有 延迟算子的性
2、质延迟算子的性质n n n n n ，其中其中 用延迟算子表示差分运算用延迟算子表示差分运算n 阶差分阶差分 n 步差分步差分？线性差分方程线性差分方程 n线性差分方程线性差分方程n齐次线性差分方程齐次线性差分方程齐次线性差分方程的解齐次线性差分方程的解n特征方程特征方程n特征方程的根称为特征方程的根称为特征根特征根，记作，记作齐次线性差分方程的解齐次线性差分方程的解n齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解n不相等实数根场合不相等实数根场合n有相等实根场合有相等实根场合 1=dn复根场合复根场合 1=a+bi=rei,2=a-bi=re-i 非齐次线性差分方程的解非齐次线性差分方程的解
3、n非齐次线性差分方程的非齐次线性差分方程的特解特解n使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解n非齐次线性差分方程的通解非齐次线性差分方程的通解n齐齐次次线线性性差差分分方方程程的的通通解解和和非非齐齐次次线线性性差差分分方方程程的的特解之和特解之和例题1例题2例题3nxt=0.5xt-1-0.25xt-2n特征方程 2-0.5 +0.25=0n重根 1=2=0.5n通解通解(c1+c2t)0.5t3.2 ARMA模型的性质模型的性质 nAR模型（模型（Auto Regression Model）nMA模型（模型（Moving Average Model）nA
4、RMA模型（模型（Auto Regression Moving Average model）AR模型模型的定义的定义n具有如下结构的模型称为具有如下结构的模型称为 阶自回归模阶自回归模型，简记为型，简记为n特别当特别当 时，称为中心化时，称为中心化 模型模型白噪声白噪声(对中心化对中心化AR)AR(P)序列中心化变换序列中心化变换n称称 为为 的中心化序列的中心化序列，令，令n主要研究中心化模型主要研究中心化模型自回归系数多项式自回归系数多项式n引进延迟算子，中心化引进延迟算子，中心化 模型又可模型又可以简记为以简记为 n自回归系数多项式自回归系数多项式AR模型平稳性判别模型平稳性判别 n判别
5、原因判别原因nAR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的但并非所有的AR模型都是平稳的模型都是平稳的 n判别方法判别方法n单位根判别法单位根判别法n平稳域判别法平稳域判别法例例3.1:考察如下四个考察如下四个模型的平稳性模型的平稳性例例3.1平稳序列时序图平稳序列时序图例例3.1非平稳序列时序图非平稳序列时序图AR模型平稳性判别方法模型平稳性判别方法n特征根判别特征根判别nAR(p)AR(p)模模型型平平稳稳的的充充要要条条件件是是它它的的p p个个特特征征根根都都在在单单位圆内位圆内|i|1,i=1,2,.,pn根据特征根和自回根据特征根和自回归
6、归系数多系数多项项式的根成倒数的性式的根成倒数的性质质，等价判等价判别别条件是条件是该该模型的自回模型的自回归归系数多系数多项项式的根都式的根都在在单单位位圆圆外外n平稳域判别平稳域判别(更直观更直观)n平稳域平稳域AR(1)模型平稳条件模型平稳条件n特征根特征根n平稳域平稳域AR(2)模型平稳条件模型平稳条件n特征根特征根n平稳域平稳域例例3.1平稳性判别平稳性判别模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳平稳平稳AR模型的统计性质模型的统计性质n均值均值n方差方差n协方差协方差n自相关系数自相关系数n偏自相关系数偏自相关系数均值均值 n如果如果AR(p)模型满
7、足平稳性条件，则有模型满足平稳性条件，则有n根据平稳序列均值为常数，且根据平稳序列均值为常数，且 为白噪声序列，为白噪声序列，有有n推导出推导出n中心化序列中心化序列=0Green函数定义函数定义nAR模型的传递形式模型的传递形式n其中系数其中系数 称为称为Green函数函数Green函数递推公式函数递推公式n原理原理n方法方法n待定系数法待定系数法n递推公式递推公式方差方差n平稳平稳AR模型的传递形式模型的传递形式n两边求方差得两边求方差得例例3.2:求平稳求平稳AR(1)模型的方模型的方差差n平稳平稳AR(1)模型的传递形式为模型的传递形式为nGreen函数为函数为n平稳平稳AR(1)模型
8、的方差模型的方差协方差函数协方差函数n在平稳在平稳AR(p)模型两边同乘模型两边同乘 ，再求期望，再求期望n根据根据n得协方差函数的递推公式得协方差函数的递推公式例例3.3:求平稳求平稳AR(1)模型的协方差模型的协方差n递推公式递推公式n平稳平稳AR(1)模型的方差为模型的方差为n协方差函数的递推公式为协方差函数的递推公式为例例3.4:求平稳求平稳AR(2)模型的协方差模型的协方差n平稳平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为模型的协方差函数递推公式为自相关系数自相关系数n自相关系数的定义自相关系数的定义n平稳平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式模型的自相关系数递推公式(差分方程差分方程)
9、常用常用AR模型自相关系数递推公式模型自相关系数递推公式nAR(1)模型模型nAR(2)模型模型AR模型自相关系数的性质模型自相关系数的性质n拖尾性拖尾性n平稳平稳|i|1(拖尾)MA模型的统计性质模型的统计性质n偏自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾书上证明错！书上证明错！例例3.6:考察如下考察如下MA模型的相关性质模型的相关性质MA模型的自相关系数截尾模型的自相关系数截尾n n MA模型的自相关系数截尾模型的自相关系数截尾n n MA模型的偏自相关系数拖尾模型的偏自相关系数拖尾n n MA模型的偏自相关系数拖尾模型的偏自相关系数拖尾n n MA模型的可逆性模型的可逆性n n自相关系数不唯一决定
10、自相关系数不唯一决定MA模型模型n例例3.6中不同的中不同的MA模型具有完全相同的自相关模型具有完全相同的自相关系数系数(从而也有完全相同的偏自相关系数从而也有完全相同的偏自相关系数)可逆的定义可逆的定义n可逆可逆MA模型定义模型定义n若一个若一个MA模型能够表示成为收敛的模型能够表示成为收敛的AR模模型形式，那么该型形式，那么该MA模型称为可逆模型称为可逆MA模模型型n可逆概念的重要性可逆概念的重要性n一个自相关系数列唯一对应一个可逆一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。模型。可逆可逆MA(1)模型模型n n 可逆意义下，可逆意义下，两个模型一样两个模型一样MA模型的可逆条件模型的可逆条
11、件nMA(q)模型的可逆条件是：模型的可逆条件是：nMA(q)模型的特征根都在单位圆内模型的特征根都在单位圆内n等价条件是移动平均系数多项式的根都在单等价条件是移动平均系数多项式的根都在单位圆外位圆外逆函数的递推公式逆函数的递推公式n原理原理n方法方法n待定系数法待定系数法n递推公式（递推公式（比较：比较：GreenGreen函数函数）AR平稳与平稳与MA可逆可逆对偶！对偶！例例3.6续续:考察如下考察如下MA模型的可逆性模型的可逆性(1)(2)n n n逆函数逆函数n逆转形式逆转形式(3)(4)n n n逆函数逆函数n逆转形式逆转形式ARMA模型模型的定义的定义n具有如下结构的模型称为自回归
12、移动平具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为均模型，简记为n特别当特别当 时，称为中心化时，称为中心化 模型模型系数多项式系数多项式n引进延迟算子，中心化引进延迟算子，中心化 模型模型又可以简记为又可以简记为 n 阶自回归系数多项式阶自回归系数多项式n 阶移动平均系数多项式阶移动平均系数多项式ARMA=AR+MA平稳条件与可逆条件平稳条件与可逆条件nARMA(p,q)模型的平稳条件模型的平稳条件nP阶自回归系数多项式阶自回归系数多项式 的根都在单位圆外的根都在单位圆外n即即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定平稳性决定nARMA
13、(p,q)模型的可逆条件模型的可逆条件nq阶移动平均系数多项式阶移动平均系数多项式 的根都在单位圆外的根都在单位圆外n即即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定的可逆性决定传递形式与逆转形式传递形式与逆转形式n传递形式传递形式n逆转形式逆转形式注意：这两个公式与注意：这两个公式与AR和和MA中公式的区别！中公式的区别！ARMA(p,q)模型的统计性质模型的统计性质n均值均值n协方差协方差n自相关系数自相关系数ARMA模型的相关性模型的相关性n自相关系数拖尾自相关系数拖尾n偏自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾例例3.7:考察考察ARMA模型的相
14、关模型的相关性性n拟合模型拟合模型ARMA(1,1):ARMA(1,1):并直观地考察该模型自相关系数和偏自并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。相关系数的性质。自相关系数和偏自相关系数拖尾性自相关系数和偏自相关系数拖尾性n样本自相关图样本自相关图n样本偏自相关图样本偏自相关图ARMA模型相关性特征模型相关性特征模型自相关系数偏自相关系数AR(P)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾3.3平稳序列建模平稳序列建模 n建模步骤建模步骤n模型识别模型识别n参数估计参数估计n模型检验模型检验n模型优化模型优化n序列预测序列预测建模步骤建模步骤平平稳稳非非白白噪噪声
15、声序序列列计计算算样样本本相相关关系系数数模型模型识别识别参数参数估计估计模型模型检验检验模模型型优优化化序序列列预预测测YN计算样本相关系数计算样本相关系数(SAS identify过程过程)n样本自相关系数样本自相关系数(ACF)n公式公式n样本偏自相关系数样本偏自相关系数（PACF）n解解Yule-Walker方程方程模型识别模型识别n基本原则基本原则选择模型拖尾P阶截尾AR(P)q阶截尾拖尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)模型定阶的困难模型定阶的困难n因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的呈现出理论截尾的
16、完美情况，本应截尾的 或或 仍会呈现出小值振荡的情况仍会呈现出小值振荡的情况n由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数着延迟阶数 ，与与 都会衰减至零值附都会衰减至零值附近作小值波动近作小值波动n当当 或或 在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？减到零值附近作拖尾波动呢？样本相关系数的近似分布样本相关系数的近似分布nBarlettn
17、Quenouille模型定阶经验方法模型定阶经验方法n95的置信区间的置信区间n模型定阶的经验方法模型定阶的经验方法n如如果果样样本本(偏偏)自自相相关关系系数数在在最最初初的的d阶阶明明显显大大于于两两倍倍标标准准差差范范围围，而而后后几几乎乎95的的自自相相关关系系数数都都落落在在2倍倍标标准准差差的的范范围围以以内内，而而且且通通常常由由非非零零自自相相关关系系数数衰衰减减为为小小值值波波动动的的过过程程非非常常突突然然。这这时时，通通常常视视为为(偏偏)自相关系数截尾。截尾阶数为自相关系数截尾。截尾阶数为d。例例2.5续续n1950年年1998年年北北京京市市城城乡乡居居民民定定期储蓄
18、比例序列。期储蓄比例序列。序列自相关图序列自相关图序列偏自相关图序列偏自相关图拟合模型识别拟合模型识别n自相关图显示延迟自相关图显示延迟3阶之后，自相关系数全部衰减阶之后，自相关系数全部衰减到到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾可视为不截尾 n偏自相关图显示除了延迟偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著阶的偏自相关系数显著大于大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数
19、都在倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾偏自相关系数可视为一阶截尾 n所以可以考虑拟合模型为所以可以考虑拟合模型为AR(1)例例3.8美国科罗拉多州某一加油站连续美国科罗拉多州某一加油站连续57天的天的OVERSHORT序列序列 序列自相关图序列自相关图序列偏自相关图序列偏自相关图拟合模型识别拟合模型识别n自相关图显示除了延迟自相关图显示除了延迟1阶的自相关系数在阶的自相关系数在2倍倍标准差范围之外，
20、其它阶数的自相关系数都在标准差范围之外，其它阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根据这个特点可以判断倍标准差范围内波动。根据这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，可以认为该序列自相关系数同时，可以认为该序列自相关系数1阶截尾阶截尾n偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。n综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为为拟合模型定阶为MA(1)例例3.9n1880-19851880-1985全球气表平均温度改变值差分序列全球气表平均温度
21、改变值差分序列 序列自相关图序列自相关图序列偏自相关图序列偏自相关图拟合模型识别拟合模型识别n自相关系数显示出不截尾的性质自相关系数显示出不截尾的性质n偏自相关系数也显示出不截尾的性质偏自相关系数也显示出不截尾的性质n综合该序列自相关系数和偏自相关系数综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可以尝试使用的性质，可以尝试使用ARMA(1,1)模型模型拟合该序列拟合该序列参数估计参数估计n待估参数待估参数n 个未知参数个未知参数n先中心化先中心化n常用估计方法常用估计方法n矩估计矩估计n极大似然估计极大似然估计n最小二乘估计最小二乘估计矩估计矩估计n原理原理(中心化后中心化后)n样本自相关系数估
22、计总体自相关系数样本自相关系数估计总体自相关系数n样本一阶均值估计总体均值，样本方差估计总样本一阶均值估计总体均值，样本方差估计总体方差体方差仅对仅对MA模模型正确！型正确！例例3.10:求求AR(2)模型系数的矩估计模型系数的矩估计nAR(2)模型模型n由由 和和 k=-k(注意：注意：不是不是Yule-Walker方程方程)n矩估计（的解）矩估计（的解）例例3.11:求求MA(1)模型系数的矩估模型系数的矩估计计nMA(1)模型模型n由于由于n矩估计矩估计(可逆性条件可逆性条件|1)例例3.12:求求ARMA(1,1)模型系数的矩估模型系数的矩估计计nARMA(1,1)模型模型n方程方程n
23、矩估计矩估计对矩估计的评价对矩估计的评价n优点优点n估计思想简单直观估计思想简单直观n不需要假设总体分布不需要假设总体分布n计算量小（低阶模型场合）计算量小（低阶模型场合）n缺点缺点n信息浪费严重信息浪费严重n只用到了只用到了p+qp+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略n估计精度差估计精度差n通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值乘估计迭代计算的初始值 极大似然估计极大似然估计n原理原理n在极大似然准则下，认为样本来自使该样本在极大似然准则下，认为样本来自使该样本出现概率最大的总体。因此
24、未知参数的极大出现概率最大的总体。因此未知参数的极大似然估计就是使得似然函数（即联合密度函似然估计就是使得似然函数（即联合密度函数）达到最大的参数值数）达到最大的参数值n假设中心化序列服从多元正态分布假设中心化序列服从多元正态分布似然方程似然方程n由于由于 和和 都不是都不是 的显式表的显式表达式。因而似然方程组实际上是由达式。因而似然方程组实际上是由p+q+1+1个超个超越方程构成，通常需要经过复杂的迭代算法才越方程构成，通常需要经过复杂的迭代算法才能求出未知参数的极大似然估计值能求出未知参数的极大似然估计值 对极大似然估计的评价对极大似然估计的评价n优点优点n极大似然估计充分应用了每一个观
25、察值所提极大似然估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高供的信息，因而它的估计精度高n同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐近有效性等许多优良的统计性质近有效性等许多优良的统计性质n缺点缺点n需要假定总体分布需要假定总体分布最小二乘估计最小二乘估计n原理原理n使残差平方和达到最小的那组参数值即为最使残差平方和达到最小的那组参数值即为最小二乘估计值小二乘估计值 条件最小二乘估计条件最小二乘估计n实际中最常用的参数估计方法实际中最常用的参数估计方法n假设条件假设条件n逆转形式逆转形式 n残差平方和方程残差平方和方程n解法解法n迭代法迭代法对最
26、小二乘估计的评价对最小二乘估计的评价n优点优点n最小二乘最小二乘估计充分应用了每一个观察值所提估计充分应用了每一个观察值所提供的信息，因而它的估计精度高供的信息，因而它的估计精度高n条件条件最小二乘最小二乘估计是最常用的估计是最常用的(SASSAS默认默认)n缺点缺点n未利用统计信息未利用统计信息例例2.5续续n确定确定1950年年1998年北京市城乡居年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的口径民定期储蓄比例序列拟合模型的口径 n拟合模型：拟合模型：AR(1)n估计方法：极大似然估计估计方法：极大似然估计n模型口径模型口径例例3.8续续n确定美国科罗拉多州某一加油站连续确定美国科罗拉多州某
27、一加油站连续57天的天的OVERSHORTS序列拟合模型的口序列拟合模型的口径径 n拟合模型：拟合模型：MA(1)n估计方法：条件最小二乘估计估计方法：条件最小二乘估计n模型口径模型口径例例3.9续续n确定确定1880-19851880-1985全球气表平均温度改变值全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型的口径差分序列拟合模型的口径 n拟合模型：拟合模型：ARMA(1,1)n估计方法：条件最小二乘估计估计方法：条件最小二乘估计n模型口径模型口径模型检验模型检验n模型的显著性检验模型的显著性检验n整个模型对信息的提取是否充分整个模型对信息的提取是否充分n参数的显著性检验参数的显著性检验n模型结构
28、是否最简模型结构是否最简模型的显著性检验模型的显著性检验n目的目的n检验模型的有效性检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）（对信息的提取是否充分）n检验对象检验对象n残差序列残差序列n判定原则判定原则n一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列 n反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效模型不够有效假设
29、条件假设条件n原假设：残差序列为白噪声序列原假设：残差序列为白噪声序列n备择假设：残差序列为非白噪声序列备择假设：残差序列为非白噪声序列检验统计量检验统计量nLB统计量统计量例例2.5续续n检验检验1950年年1998年北京市城乡居年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合模型的显著性民定期储蓄比例序列拟合模型的显著性 n残差白噪声序列检验结果残差白噪声序列检验结果延迟阶数LB统计量P值检验结论65.830.3229拟合模型显著有效1210.280.50501811.380.8361参数显著性检验参数显著性检验n目的目的n检验每一个未知参数是否显著非零。删除不检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显
30、著参数使模型结构最精简显著参数使模型结构最精简 n假设条件假设条件n检验统计量检验统计量例例2.5续续n检验检验1950年年1998年北京市城乡居民定期年北京市城乡居民定期储蓄比例序列极大似然估计模型的参数是否显储蓄比例序列极大似然估计模型的参数是否显著著 n参数检验结果参数检验结果检验参数t统计量P值结论均值46.120.0001显著6.720.0001显著例例3.8续续:对对OVERSHORTS序列的拟合模型进行检序列的拟合模型进行检验验 n残差白噪声检验残差白噪声检验n参数显著性检验参数显著性检验检验参数t统计量P值结论均值3.750.0004显著10.600.0001显著延迟阶数LB统
31、计量P值结论63.150.6772模型显著有效129.050.6171例例3.9续续:对对1880-19851880-1985全球气表平均温度改变值差全球气表平均温度改变值差分序列拟合模型进行检验分序列拟合模型进行检验 n残差白噪声检验残差白噪声检验n参数显著性检验参数显著性检验检验参数t统计量P值结论16.340.0001显著3.50.0007显著延迟阶数LB统计量P值结论65.280.2595模型显著有效1210.300.4247模型优化模型优化n问题提出问题提出n当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序置信水平下，
32、该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。n优化的目的优化的目的n选择相对最优模型选择相对最优模型 例例3.13:拟合某一化学序列拟合某一化学序列序列自相关图序列自相关图序列偏自相关图序列偏自相关图拟合模型一拟合模型一n根据自相关系数根据自相关系数2阶截尾，拟合阶截尾，拟合MA(2)模模型型n参数估计参数估计n模型检验模型检验n模型显著有效模型显著有效 n三参数均显著三参数均显著 拟合模型二拟合模型二n根据偏自相关系数根据偏自相关系数1阶截尾，拟合阶截尾，拟合AR(1)模型模型n参数估计参数估计n模型检验模型检验n模型显著有效模型显著
33、有效 n两参数均显著两参数均显著 问题问题n同一个序列可以构造两个拟合模型，两同一个序列可以构造两个拟合模型，两个模型都显著有效，那么到底该选择哪个模型都显著有效，那么到底该选择哪个模型用于统计推断呢？个模型用于统计推断呢？n解决办法解决办法n确定适当的比较准则，构造适当的统计量，确定适当的比较准则，构造适当的统计量，确定相对最优确定相对最优AIC准则准则n最小信息量准则（最小信息量准则（Akaike Information Criterion）n指导思想指导思想n似然函数值越大越好似然函数值越大越好 n未知参数的个数越少越好未知参数的个数越少越好 nAIC统计量统计量SBC准则准则nAIC准
34、则的缺陷准则的缺陷n在样本容量趋于无穷大时，由在样本容量趋于无穷大时，由AIC准则选择的准则选择的模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多含的未知参数个数要多 nSBC统计量统计量(Schwarz Bayes Criterion)例例3.13续续n用用AIC准则和准则和SBC准则评判例准则评判例3.13中两中两个拟合模型的相对优劣个拟合模型的相对优劣 n结果结果nAR(1)优于优于MA(2)模型AICSBCMA(2)536.4556543.2011AR(1)535.7896540.2866序列预测序列预测n线性预测函数线性预测函数n预
35、测方差最小原则预测方差最小原则序列分解序列分解预测误差预测误差预测值预测值误差分析误差分析n估计误差估计误差n期望期望n方差方差AR(p)序列的预测序列的预测n预测值预测值n预测方差预测方差n95置信区间置信区间例例3.14n已知某超市月销售额近似服从已知某超市月销售额近似服从AR(2)模模型（单位：万元型（单位：万元/每月）每月）n今年第一季度该超市月销售额分别为：今年第一季度该超市月销售额分别为：101，96，97.2万元万元n请确定该超市第二季度每月销售额的请确定该超市第二季度每月销售额的95的置信区间的置信区间 例例3.14解：预测值计算解：预测值计算n四月份四月份n五月份五月份n六月
36、份六月份例例3.14解：预测方差的计算解：预测方差的计算nGREEN函数函数n方差方差例例3.14解：置信区间解：置信区间n公式公式n估计结果估计结果预测时期95置信区间四月份（85.36，108.88）五月份（83.72，111.15）六月份（81.84，113.35）例例2.5:北京市城乡居民定期储蓄比例序列北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合与预测图拟合与预测图 MA(q)序列的预测序列的预测n预测值预测值n预测方差预测方差例例3.15n已知某地区每年常驻人口数量近似服从已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型模型（单位：万）：（单位：万）：n最近最近3年的常驻人口数量及一步预测数
37、量如下：年的常驻人口数量及一步预测数量如下：n预测未来预测未来5年该地区常住人口的年该地区常住人口的95置信区间置信区间年份统计人数预测人数200210411020031081002004105109例例3.15解：随机扰动项的计算解：随机扰动项的计算例例3.15解：估计值的计算解：估计值的计算例例3.15解：预测方差的计算解：预测方差的计算例例3.15解：置信区间的计算解：置信区间的计算预测年份95置信区间2005（99，119）2006（83，109）2007（87，115）2008（86，114）2009（86，114）ARMA(p,q)序列预测序列预测n预测值预测值n预测方差预测方差例
38、例3.16n已知模型为：已知模型为：n且且 n预测未来预测未来3期序列值的期序列值的95的置信区间。的置信区间。例例3.16解：估计值的计算解：估计值的计算例例3.16解：预测方差的计算解：预测方差的计算nGreen函数函数n方差方差例例3.16解：置信区间的计算解：置信区间的计算时期95置信区间101（0.136，0.332）102（0.087，0.287）103（0.049，0.251）修正预测修正预测n定义定义n所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值去获得精度更高的预测值 n方法方法n在新的信息量比较大时在新的信息量比较大时把新
39、信息加入到把新信息加入到旧的信息中，重新拟合模型旧的信息中，重新拟合模型 n在新的信息量很小时在新的信息量很小时不重新拟合模型，不重新拟合模型，只是将新的信息加入以修正预测值，提高预只是将新的信息加入以修正预测值，提高预测精度测精度修正预测原理修正预测原理n在旧信息的基础上，在旧信息的基础上，的预测值为的预测值为n假设新获得一个观察值假设新获得一个观察值 ，则，则n 的修正预测值为的修正预测值为n修正预测误差为修正预测误差为n预测方差为预测方差为一般情况一般情况n假设新获得假设新获得p个观察值个观察值 ，则，则n 的修正预测值为的修正预测值为n修正预测误差为修正预测误差为n预测方差为预测方差为例例3.14续续:假如假如四月份的真实销售额为四月份的真实销售额为100万元，万元，求二季度后两个月销售额的修正预测值求二季度后两个月销售额的修正预测值 n计算四月份的预测误差计算四月份的预测误差n计算修正预测值计算修正预测值n计算修正方差计算修正方差修正置信区间修正置信区间预测时期修正前置信区间修正后置信区间四月份（85.36，108.88）五月份（83.72，111.15）（87.40，110.92）六月份（81.84，113.35）（85.79，113.21）