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1、第四章第四章 函数的插值与拟合法函数的插值与拟合法4.1 引言引言4.2 插值多项式的构造插值多项式的构造4.3 分段低次插值分段低次插值4.4 最小二乘法最小二乘法定义定义 4.1 设设 y=f(x)在区间在区间a,b上连续，在上连续，在a,b内内n+1个互不个互不 相同的点相同的点 上取值上取值 .求一个性态较好的简单函数求一个性态较好的简单函数P(x)，使使 得得 则称则称P(x)为为f(x)的的插值函数插值函数a,b-插值区间插值区间-插值节（结）点插值节（结）点f(x)-被插函数被插函数（4-1）-插值条件插值条件求插值函数求插值函数P(x)的方法的方法-插值法插值法一、插值函数一、
2、插值函数4.1 引言引言 yxo插值插值(1)当当P(x)为次数不超过为次数不超过n次的代数多项式时，相应的插值法称为次的代数多项式时，相应的插值法称为 多项式插值多项式插值；(2)当当P(x)为三角多项式时，相应的插值法称为为三角多项式时，相应的插值法称为三角插值三角插值；(3)当当P(x)为分段解析函数时，相应的插值法称为为分段解析函数时，相应的插值法称为分段插值分段插值。其中三角插值主要用于处理周期函数。其中三角插值主要用于处理周期函数。本章仅介绍本章仅介绍最基本的多项式插值最基本的多项式插值。定理定理 4.1 在在 n+1 个互异点个互异点 上满足插值条上满足插值条 件件(4-1)的次
3、数不超过的次数不超过n次的插值多项式次的插值多项式 存在且惟一。存在且惟一。所以，解存在且惟一，这说明由式所以，解存在且惟一，这说明由式(4-2)表示的表示的 存在存在且惟一，证毕。且惟一，证毕。证证二、多项式插值的唯一性二、多项式插值的唯一性设设 有有 4.2 插值多项式的构造插值多项式的构造 一、一、基本插值多项式基本插值多项式 定义定义 下列表函数下列表函数 的插值多项式的插值多项式 叫做以叫做以 为节点的基本插为节点的基本插值多项式。值多项式。由定义可知由定义可知xx0 x1-xi-1xixi+1-xny00-010-0 4.2.1 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式(4-4)解解-
4、n次次Lagrange插值基函数插值基函数注：注：1.n+1个节点个节点n+1个基本插值多项式。个基本插值多项式。2.仅与节点有关，与仅与节点有关，与f(x)无关。无关。二二、Lagrange插值多项式插值多项式求下列列表函数的多项式求下列列表函数的多项式Ln(x)xx0 x1-xi-1xixi+1-xnyy0y1-yi-1yiyi+1-yn-n次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式 解解 线性插值线性插值(n=1)，抛物插值抛物插值 (n=2)注：注：1.是是 的线性组合。的线性组合。2.与节点的排列顺序无关。与节点的排列顺序无关。例：已知列表函数例：已知列表函数,并并计算计算f(0.5)
5、的计算值。的计算值。解：解：x-1012y111-5三、三、Lagrange插值多项式的余项插值多项式的余项 定理定理 4.2（误差估计定理）（误差估计定理）注注（1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式之以误差估计式 （2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使 尽可能小，以减小误差。尽可能小，以减小误差。推论推论 例例 4.1 给定函数表给定函数表试分别用线性插值和抛物插值求试分别用线性插值和抛物插值求ln 1.46的近似值并估计误差。的近似值并估计误差。x1.21.31.41.51.61.7
6、lnx0.1823220.2623640.3364720.4054650.4700040.530628解解作线性插值作线性插值 得得 作抛物插值作抛物插值 4.2.2 牛顿均差插值多项式牛顿均差插值多项式 一、均差，均差表一、均差，均差表 定义定义 设设 f(x)在在a,b上连续，及自变量上连续，及自变量 节点节点 一阶均差一阶均差 二阶均差二阶均差 三阶均差三阶均差 四阶均差四阶均差 五阶均差五阶均差例例 4.3 试用列表法对下例表格函数求试用列表法对下例表格函数求 f1,3,5,7x012345678f(x)107-3-19-39-59-71-599列表计算得列表计算得 xif(xi)一阶
7、均差一阶均差 二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差13577-19-59-59-13-200-1.7551.125所以所以 f 1,3,5,7=1.125解解二、均二、均差的差的性质性质这性质又称为均差这性质又称为均差关于自变量对称关于自变量对称三、牛顿均差插值多项式三、牛顿均差插值多项式Nn(x)称为称为牛顿均差插值多项式牛顿均差插值多项式。证证例例1：已知：已知x0.400.550.650.800.901.05y0.410750.578150.696150.888111.026521.253860 0.40 0.410751 0.55 0.57815 1.11602 0.65 0.69615
8、1.1860 0.28003 0.80 0.88811 1.2757 0.3583 0.1974 0.90 1.02652 1.3848 0.4336 0.214 0.0345 1.05 1.25386 1.5156 0.5260 0.231 0.034 0 k xk yk 一阶一阶 二阶二阶 三阶三阶 四阶四阶 五阶五阶 解解:(1)(2)与与0.596最接近的三个节点最接近的三个节点例例 4.4 给定表格函数给定表格函数 x12345f(x)0.50.1751.31-1.49510.36（1）试用二次牛顿均差插值法求）试用二次牛顿均差插值法求 f(2.8)的近似值；的近似值；（2）设）设
9、f(x)=-1.166 已知，试用（已知，试用（1）中构造的插值多项）中构造的插值多项 式求式求 x 的近似值。的近似值。解解(1)选取节点选取节点x=2,3,4kxkf(xk)一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差020.1751.135-1.97-0.9131.31-2.0805-1.0724-1.495-0.665310.5 4.3 分段低次插值（略）分段低次插值（略）4.4 最小二乘法最小二乘法 4.4.1 最小二乘法的提出最小二乘法的提出 xx0 x1-xi-1xixi+1-xnyy0y1-yi-1yiyi+1-yn已知立表函数：已知立表函数：函函数数插插值值问问题题现在的
10、问题：现在的问题：对上面立表函数求一近似函数（不要求插值）对上面立表函数求一近似函数（不要求插值）y=P(x)满足：满足：（1）反映立表函数的一般趋势）反映立表函数的一般趋势（2）要求偏离立表函数很小要求偏离立表函数很小-函数的拟合函数的拟合yxo插值插值拟合拟合方差方差 4.4.2 数据的多项式最小二乘拟合数据的多项式最小二乘拟合 xx0 x1-xi-1xixi+1-xnyy0y1-yi-1yiyi+1-yn已知一组数据：已知一组数据：解解-这个多项式称为这组数据的这个多项式称为这组数据的 最小二乘拟合多项式最小二乘拟合多项式它称为它称为法方程组法方程组（或（或正规方程组正规方程组）。解得解
11、得例例4.5 试对以下数据进行多项式拟合试对以下数据进行多项式拟合 xi12345678yi1.13.88.715.624.6 37.4 49.664.2解解注注x-2012y1.905.113.8例例 4.6 用最小二乘法求形如用最小二乘法求形如 y=ax+bx2 的多项式，使与下的多项式，使与下列数据拟合（得数保留三位小数）列数据拟合（得数保留三位小数）解解例例 4.7 给定数据给定数据试求形如试求形如 y=a+bx2 的拟合多项式（得数保留三位小数）。的拟合多项式（得数保留三位小数）。解解x-5012y52.63.45.510.5 4.4.3 最小二乘法的应用例最小二乘法的应用例 例例
12、4.8 试对下表数据进行试对下表数据进行指数指数拟合拟合 xi123456yi15.420.426.837.248.863.3 4.4.3.1 数据的指数拟合数据的指数拟合 解解xi123456Zi=ln yi2.73443.01553.28843.61633.88774.1479xi123456yi15.420.426.837.248.863.3xi123456Zi=ln yi2.73443.01553.28843.61633.88774.1479 4.4.3.2 超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 解解例例 4.9 试求以下超定方程组的最小二乘解。试求以下超定方程组的最小二乘解。