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1、工程水文学 内蒙古农业大学水建院资源环境系：刘小燕 第四章第四章 水文统计基本方法水文统计基本方法 概述 概率的基本概念 随机变量及其概率分布 水文频率曲线线型 皮尔逊皮尔逊型分布参数估计 现行水文频率计算方法适线法 7.相关分析 第一节 概述 一、水文现象的随机性一、水文现象的随机性 二、概率论和数理统计学在水文分析中的应用二、概率论和数理统计学在水文分析中的应用 三、水文统计解决的问题三、水文统计解决的问题 给定样本，求指定频率的设计值给定样本，求指定频率的设计值 例：求指定频率的设计洪水。方法方法：确定频率曲线。资料插补展延资料插补展延 方法方法：建立变量间的相关关系 第二节第二节 概率
2、的基本概念概率的基本概念 一、事件一、事件 定义：指在一定条件组合下，随机试验的结果。分为：必然事件、不可能事件、随机事件。水文测验可看作随机试验水文测验可看作随机试验。二、概率二、概率 反映随机事件出现的可能性大小的数量标准：（古典型事件，总体有限）三、频率三、频率 对于水文现象，用频率作为概率的近似值：（非古典型事件，总体无限的，当n不大，W(A)是不稳定的,当n足够大时,W(A)P(A)第三节第三节 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 一、随机变量一、随机变量 随试验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取值用 表示,。例：水文特征值：年径流、洪峰流量年径流、洪峰流量。离散型随机变量
3、：离散型随机变量：随机变量仅能取有限个或可列无穷多个离散数值,连续型随机变量连续型随机变量：随机变量可以取得一个有限区间的任何数值,水文特征值属连续型随机变量水文特征值属连续型随机变量。二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率的对应关系，称为随机变量的概率分布概率分布。用 表示。对于水文变量对于水文变量；常研究大于等于某一取值常研究大于等于某一取值 x x 的概的概率率 ，即：例：年洪峰流量序列：水文上通常称随机变量的水文上通常称随机变量的累积频率曲线累积频率曲线，简称，简称频率曲线。频率曲线。三、概率分布函数与概率密度函数的关系三、概率分布函数与概率密度函数的关系
4、 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数概率分布函数导数负值，称为概率密度函数。四、随机变量的统计参数四、随机变量的统计参数 均值、均方差、变差系数、偏态系数均值、均方差、变差系数、偏态系数 总体统计参数、样本统计参数总体统计参数、样本统计参数 总体总体：随机变量所有取值的全体。样本样本：从总体中抽取的一部分。样本容量样本容量：样本包括的项数，样本大小。水文样本系列：水文样本系列：统计参数是样本统计参数。均值均值()()：表示系列平均情况。表示系列平均情况。定义模比系数：则：均方差均方差：反映系列中各变量值绝对集中或离散的绝对集中或离散的程度。例：5，10，15 =4.08 1，10，19 =
5、7.35变差系数变差系数（C Cv v）：反映系列中各变量值相对集中或离散的程反映系列中各变量值相对集中或离散的程 度。度。例例4-14-1：5，10，15 x=10 =4.08 C Cv v=0.48=0.48 995，1000，1005 x=1000 =4.08 C Cv v=0.0048=0.0048 偏态系数（偏态系数（C Cs s）:反映系列在均值两边的对称程度。正态曲线或正态分布：正态曲线或正态分布：密度函数：密度函数：密度曲线：密度曲线：样本样本序号序号序列序列取值取值1 13003002 22002003 31851854 41651655 5150150例：计算系列的统计参数
6、均值、变差系数、偏态系数。统计参数均值、变差系数、偏态系数。样本系列统计参数计算（样本系列统计参数计算（P40P40）样本序号序号系列取值取值(xi-x)2(xi-x)3KiKi-1(Ki-1)31 13001000010000001.50.50.1252 2200001003 3185225-33750.925-0.075-0.000421874 41651225-428750.825-0.175-0.005359385 51502500-1250000.75-0.25-0.015625均值均值20020027901657500.10359375均方差均方差52.8 52.8 变差变差系数系
7、数0.2641020.2641021.12 偏态偏态系数系数1.12 1.12 第四节第四节 水文频率曲线线型水文频率曲线线型一、经验频率曲线一、经验频率曲线 由实测资料（样本）绘制的频率曲线。绘制 设某水文要素（如年径流量）的实测系列共 n 项，按由大到小由大到小的次序排列为x x1 1、x x2 2、.、x x mm、.、x x n n，第m项的经验频率就是在系列中大于及等于样本 x x mm 的项数出现次数（m次）与样本容量（n）之比值，即 当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn是总体中的最小值，显然不符合实际，因为随着观测年数的增多，总会出现更小的数值。对上式进行修正，有：数学期
8、望公式：在频率格纸上以系列各项的频率为横坐标、在频率格纸上以系列各项的频率为横坐标、各各项的值为纵坐标点图，再通过项的值为纵坐标点图，再通过点群中心目估点群中心目估绘光滑绘光滑曲线即经验频率曲线。曲线即经验频率曲线。年份年份年最大洪峰年最大洪峰流量流量序号序号由大到小由大到小排列排列经验频率经验频率（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）196119617207201 1265026509.1 9.1 19621962108010802 22060206018.2 18.2 19631963103010303 31440144027.3 27.3 19641964125012504
9、41420142036.4 36.4 19651965144014405 51370137045.5 45.5 19661966142014206 61250125054.5 54.5 19671967112011207 71120112063.6 63.6 19681968206020608 81080108072.7 72.7 19691969137013709 91030103081.8 81.8 1970197026502650101072072090.9 90.9 例例42(P43)某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线某枢纽
10、年最大洪峰流量经验频率曲线例例4-2年份年份年径流年径流深深Ri(mmRi(mm)序序号号由大到由大到小排列小排列RiRi频率频率年份年份年径流年径流深深Ri(mmRi(mm)序号序号由大由大到小到小排列排列RiRi频率频率1952538.311064.541964769.213615.5521953624.9299881965615.514606.7561954663.23964.2121966417.715591.7601955591.74883.3161967789.316587.7641956557.25789.3201968732.917586.76819579986769.2241
11、9691064.518567.4721958641.57732.9281970606.719557.2761959341.48709321971586.720546.7801960964.29687.3361972567.421538.3841961687.310663.2401973587.722509.9881962546.711641.544197470923417.7921963509.912624.9481975883.324341.496作业（第四章作业（第四章P67）某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线2、经验频率曲线存在的问题某枢纽年最大洪峰流量经验频率曲线2、经验频率曲线存在的问
12、题 二、理论频率曲线：二、理论频率曲线：1 1、皮尔逊、皮尔逊型分布曲线（型分布曲线（P-P-)一端有限，一端无一端有限，一端无限的不对称单峰曲限的不对称单峰曲线线可以推证可以推证 形状、尺度、位形状、尺度、位置参数置参数 2 2、理论频率曲线的绘制：、理论频率曲线的绘制：已知统计参数 ，求不同频率 对应的值：然后在频率格纸上绘曲线，横坐标为频率，纵坐标为水文特征值。例例4-34-3：某站年径流系列符合某站年径流系列符合P-P-型分布，已知该系列的型分布，已知该系列的R=650mmR=650mm，C CV V=0.25=0.25 ，C CS S=2C=2Cv v，试绘理论频率曲线。，试绘理论频
13、率曲线。解：解：当当C CS S=2C=2Cv v 时，查附表时，查附表2 2，得不同频率下的，得不同频率下的K Kp p，代入下式，代入下式求求X Xp p：P P0.010.010.10.10.20.20.330.330.50.51 12 2KpKp2.222.221.961.961.871.871.811.811.771.771.671.671.581.58XpXp14431443127412741215.51215.51176.51176.51150.51150.51085.51085.510271027P P1010202050507575909095959999KpKp1.331.
14、331.21.20.980.980.820.820.70.70.630.630.520.52XpXp864.5864.5780780637637533533455455409.5409.5338338三、频率与重现期的关系三、频率与重现期的关系 水文上常用“重现期重现期”来代替“频率频率”1.1.当研究暴雨或洪水时（一般P50%）(大于等于)例如，当某一洪水的频率为P=1%时，则T=100年，称此洪水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪水平均100100年会遇到一次。三、频率与重现期的关系三、频率与重现期的关系 2.2.当研究枯水或年径流时（一般 P50%）(小于等于)例如:对于p=80%的枯
15、水流量，则 T=5 年，称作以五年一遇枯水流量作为设计来水的标准。表示小于等于这样的流量平均5 5年会遇到一次，说明具有80%的可靠程度。第五节 P P型分布参数估计 用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的参数，如P P型的 、CV、CS。一、矩法一、矩法 用样本矩估计总体矩，并通过矩与参数之间的关系，来估计频率曲线的参数。均值 的无偏估计：CV的无偏估计量：CS 的无偏估计量：（计算误差最大）（计算误差最大）二、权函数法二、权函数法 当样本容量较小时，用矩法估计的参数将产生误差，其中尤以CS的计算误差最大，为了提高CS的计算精度，马秀峰（1984）提出了权函数法。三、抽样误差三、抽样误差
16、由随机抽样引起的误差，称为抽样误差。以均值为例；抽样误差定义为：样本均值是随机变量,抽样误差也为随机变量。抽样误差近似服从正态分布。可以证明，系列的均方差 可作为度量抽样误差的指标，称为均方误。各参数的均方误（抽样误差）各参数的均方误（抽样误差）：第六节第六节 水文频率计算水文频率计算适线法（配线法）适线法（配线法）适线法（或称配线法）：是以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下，求解与经验点据拟合最优的频率曲线参数，得到一条理论频率曲线。目估适线法目估适线法、优化适线法优化适线法。一、目估适线法一、目估适线法 （1）将实测资料由大到小由大到小排列，计算各项的经验频经验频率率，在频率格纸上点绘
17、经验点据（纵坐标为变量取值，横坐标为对应的经验频率）。（2）选定水文频率分布线型（一般选用一般选用P-P-型型）。（3）初估一组参数初估一组参数 、CV、CS。为了使初估值大致接近实际，可用矩法或其它方法求出3个参数，作为3个参数第一次的假定值。当用矩法估计时，因C CS S的抽样误差太大，一般不计算CS，而是根据经验假定CS为CV的某一倍数（如CS=2 CV）。（4）根据假定的 、CV、CS，查附表查附表1(1(或附表或附表2)2)，计算，计算x x P P值值，以x P为纵坐标，p为横坐标，即可得到频率曲线。将此线画在绘有经验点据的图上，看与经验点据配合的情况，若不理想，则修改参数修改参数
18、（主要调整CV、CS）再次进行计算。（5）最后根据频率曲线与经验点据的配合情况，从中选择一条与经验点据配合较好的曲线较好的曲线作为采用曲线,相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值。二、统计参数对频率曲线的影响：二、统计参数对频率曲线的影响：（1 1）均值）均值 对对频率曲线的影响频率曲线的影响1.均值大的位均值大的位于均值小的之于均值小的之上。上。2.均值大的较均值大的较小的陡。小的陡。（2 2）C CV V对频率曲线的影响对频率曲线的影响1.1.随着随着C CV V的的增大增大,频频率曲线率曲线越越来越陡来越陡。（3 3）CSCS对频率曲线的影响对频
19、率曲线的影响 1.CSCS越大越大,均值均值(K=1)(K=1)对对应的频率越小，应的频率越小，频率曲线中部频率曲线中部越向左偏，且越向左偏，且上段上段 越陡，越陡，下段越平缓下段越平缓。三、计算实例：某枢纽处最大洪峰流量频率计算三、计算实例：某枢纽处最大洪峰流量频率计算某枢纽处年最大洪峰流量计算表某枢纽处年最大洪峰流量计算表年份年份洪峰流量洪峰流量序号序号排序排序模比系数（模比系数（KiKi)K Ki i-1-1(K(Ki i-1)-1)2 2频率（频率（P P）（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）（6 6）（7 7）（8 8）19451540127502.207 1.207
20、1.4562 4.5 1946980223901.918 0.918 0.8424 9.1 19471090318601.493 0.493 0.2426 13.6 19481050417401.396 0.396 0.1570 18.2 19491860515401.236 0.236 0.0556 22.7 19501140615201.220 0.220 0.0483 27.3 1951790712701.019 0.019 0.0004 31.8 19522750812601.011 0.011 0.0001 36.4 1953762912100.971-0.029 0.0008 40
21、.9 195423901012000.963-0.037 0.0014 45.5 195512101111400.915-0.085 0.0073 50.0 195612701210900.875-0.125 0.0157 54.5 195712001310500.843-0.157 0.0248 59.1 195817401410500.843-0.157 0.0248 63.6 1959883159800.786-0.214 0.0456 68.2 19601260168830.709-0.291 0.0849 72.7 1961408177940.637-0.363 0.1317 77.
22、3 19621050187900.634-0.366 0.1340 81.8 19631520197620.611-0.389 0.1510 86.4 1964483204830.388-0.612 0.3751 90.9 1965794214080.327-0.673 0.4524 95.5 总计261702617021.00 0.000 4.252 均值1246 变差系数0.46 1、矩法估计参数洪峰频率曲线选配计算表洪峰频率曲线选配计算表频率频率 P P（%）第一次配线第一次配线第二次配线第二次配线第三次配线第三次配线Q=1246 Q=1246 C CV V=0.5=0.5 C CS S
23、=2C=2CV V=1.0=1.0Q=1246 Q=1246 C CV V=0.6 =0.6 C CS S=2C=2CV V=1.2=1.2Q=1246 Q=1246 CV=0.5 CV=0.5 C CS S=2.5C=2.5CV V=1.5=1.5（1 1）（2 2）KpKp（3 3）QpQp（4 4）KpKp（5 5）QpQp（6 6）KpKp（7 7）QpQp1 12.512.513127 3127 2.892.893601 3601 3 33738 3738 5 51.941.942417 2417 2.152.152679 2679 2.172.172704 2704 10101.6
24、71.672081 2081 1.81.82243 2243 1.81.82243 2243 20201.381.381719 1719 1.441.441794 1794 1.421.421769 1769 50500.920.921146 1146 0.890.891109 1109 0.860.861072 1072 75750.640.64797 797 0.560.56698 698 0.560.56698 698 90900.440.44548 548 0.350.35436 436 0.390.39486 486 95950.340.34424 424 0.260.26324 3
25、24 0.320.32399 399 99990.210.21262 262 0.130.13162 162 0.240.24299 299 权函数法估计参数：权函数法估计参数：序号排序Qi(m3/s)（1）（2）（3）（4）（5）127500.00069429-3.42 0.03 2.26 2.73 3.292 223900.00069429-1.98 0.14 9.57 8.79 8.065 318600.00069429-0.57 0.57 39.24 19.33 9.520 417400.00069429-0.37 0.69 47.99 19.02 7.536 515400.00069
26、429-0.13 0.88 60.92 14.36 3.386 615200.00069429-0.11 0.89 61.98 13.62 2.992 712700.00069429 0.00 1.00 69.37 1.33 0.025 812600.00069429 0.00 1.00 69.41 0.77 0.009 912100.00069429 0.00 1.00 69.29-2.01 0.058 1012000.00069429 0.00 1.00 69.21-2.57 0.095 1111400.00069429-0.02 0.98 68.25-5.82 0.496 1210900
27、.00069429-0.04 0.96 66.91-8.39 1.051 1310500.00069429-0.06 0.94 65.50-10.31 1.623 1410500.00069429-0.06 0.94 65.50-10.31 1.623 159800.00069429-0.11 0.90 62.37-13.32 2.845 168830.00069429-0.20 0.82 56.86-16.57 4.829 177940.00069429-0.31 0.73 50.94-18.48 6.707 187900.00069429-0.32 0.73 50.66-18.55 6.7
28、89 197620.00069429-0.36 0.70 48.68-18.91 7.349 204830.00069429-0.88 0.41 28.74-17.60 10.779 214080.00069429-1.06 0.35 23.96-16.12 10.839 总和2617015.6649261087.60785-79.0174747189.90943292均值1246.19 E-4689.1 G6648976.8 CS1.6 两种参数估计方法配线结果对比：两种参数估计方法配线结果对比：第七节第七节 相关分析相关分析一、相关关系的概念一、相关关系的概念 1 1、相关分析相关分析：研
29、究两个或多个随机变量之间的联系。例如：降雨与径流之间、上下游洪水之间、水位与流量之间等。水文计算中的应用应用：资料的插补展延、水文预报等。2 2、注意的问题注意的问题：必须先分析变量在成因上成因上是否有联系，不能在两个毫不相关的变量之间硬凑出相关关系。零相关 3 3、两变量之间关系、两变量之间关系 完全相关 相关相关 直线相关直线相关曲线相关曲线相关4 4、多变量之间的关系多变量之间的关系 简单相关简单相关：两个变量之间的相关关系，在水文计算中应用较多。复相关复相关：3个或3个以上变量的相关关系，在水文预报中应用较多。此外还可分为：直线相关和非直线相关。二、简单相关关系二、简单相关关系 相关图
30、解法相关图解法相关分析法相关分析法 1、相关分析法（最小二乘法确定参数相关分析法（最小二乘法确定参数a、b）设：两变量之间的相关关系为：设：两变量之间的相关关系为：原理：在所有观测点与配合的直线在纵轴方原理：在所有观测点与配合的直线在纵轴方向的离差平方和最小的前提下求向的离差平方和最小的前提下求a、b：观测点与配合的直线在纵轴方向的离差离差为：要使直线拟合“最佳”，须使离差y yi i 的平方和为“最小”，即使：为极小值。为极小值。欲使上式取得极小值，可分别对a和b求一阶导数，并使其等于零，即令：以下方程组解方程组，可得：r：相关系数，表示x、y间关系的密切程度。将a、b代入是回归线的斜率，一
31、般称为y倚x的回归系数，记为：即：2、相关分析的误差 1.回归线的误差（常用均方误表示）y倚x的回归线的均方误：3.3.相关系数及其误差讨论相关系数及其误差讨论（1）y y与x完全相关；（2）y与x零相关或非直线相关（3 3）y与x存在相关关系，r 愈大，y、x关系愈密切。r 0，正相关；r 0负相关。水文计算中一般要求水文计算中一般要求：，n12n12，S S y y不大不大于均值于均值 y y 的的10%10%15%15%。例4-4(p64)：已知某水文站断面以上流域年降雨量与年径流量资料如下表，利用相关关系将缺测的资料展延。年份年份年降雨量年降雨量 x x (mm)(mm)年径流量年径流
32、量 y y(mm)(mm)年份年份年降雨量年降雨量 x (mm)x (mm)年径流量年径流量 y (mm)y (mm)1932193298298219491949922922193319331080108019501950146014601934193413201320195119511195119519351935880880195219521330133019361936115911591953195399599519371937141014101954195420142014136213621938193813601360195519551211121172872819391939101
33、01010195619561728172813691369194019408708701957195711571157695695194119411170117019581958125712577207201942194293093019591959102910295345341943194310401040196019601306130677877819441944885885196119611029102933733719451945126512651962196213101310809809194619461165116519631963135613569299291947194710701070196419641266126679679619481948136013601965196510521052383383