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1、第三章第三章 解线性方程组的直接法解线性方程组的直接法其中其中 且且解线性方程组解线性方程组3.1 高斯消元法高斯消元法 高斯消元法：高斯消元法：思思路路(1)(1)将将A化为上三角阵化为上三角阵，(2)(2)回代求解回代求解。=具体地具体地,可先看书中可先看书中P35,例例3.1.例例3.1 用顺序用顺序Gauss消去法解线性方程组消去法解线性方程组解解 1、消元过程：、消元过程：2、回代过程、回代过程 记记Step 1：设设 ，计算因子，计算因子将增广矩阵将增广矩阵 第第 i 行行 mi1 第第1 1行行，得到，得到其中其中Step k：设设 ，计算因子，计算因子且计算且计算共进行共进行？
2、步步n 1定理定理 若若A的所有的所有顺序主子式顺序主子式 均不为均不为0，则高斯消元无需，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。（例换行即可进行到底，得到唯一解。（例3.3，充要充要条件）条件）注注注注：事实上，只要事实上，只要 A 非奇异，即非奇异，即 A 1 存在，则可通过逐次存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。一解。例例3.3的证明：的证明：必要性必要性 若顺序若顺序Gauss消去法可行，即消去法可行，即 则可进行消去法则可进行消去法的第的第k-1步步 由于由于 是由是由A逐行实行初等逐行实行初等(消
3、法消法)变换得到的，变换得到的，这些运算不改变相应顺序主子式的值，故有这些运算不改变相应顺序主子式的值，故有 充分性充分性 用归纳法证明。当用归纳法证明。当k=1时显然成立。设命题对时显然成立。设命题对k-1成成立。现设立。现设 由归纳法假设有由归纳法假设有 因此，消去法可以进行第因此，消去法可以进行第k-1步，步，A约化为约化为其中其中 是对角元为是对角元为 的上三角矩阵，而且的上三角矩阵，而且A的的k阶顺序阶顺序主子式与主子式与 的相等的相等.function x=function x=magauss(A,b,flagmagauss(A,b,flag)%用途：顺序用途：顺序GaussGau
4、ss消去法解线性方程组消去法解线性方程组Ax=bAx=b%格式：格式：x=x=magauss(A,b,flagmagauss(A,b,flag),A),A为系数矩阵为系数矩阵,b,b为右端项为右端项,若若flag=0,flag=0,%则不则不显示中间过程，否则显示中间过程显示中间过程，否则显示中间过程,默认为默认为0,x0,x为解向量为解向量if if narginnargin3,flag=0;endA=1 1 1 1;-1 2-3 1;3-3 6-2;-4 5 2-5;b=10-2 7 0;x=magauss(A,b);x 得到计算结果：得到计算结果：x=1 2 3 4 运算量运算量 由于计
5、算机中乘除运算的时间远远超过加减运算的时间，由于计算机中乘除运算的时间远远超过加减运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数乘除的次数，而且，而且通常以乘除次数通常以乘除次数的的最高次幂最高次幂为运算量的为运算量的数量级数量级。Gaussian 消去法消去法:Step k：设设 ，计算因子，计算因子且计算且计算共进行共进行n 1步步(n k)次次(n k)2 次次(n k)次次(n k)(n k+2)次次消元乘除次数：消元乘除次数：1 次次(n i+1)次次回代乘除次数：回代乘除次数：Gaussian 消去法的总乘除次数为消去法的总乘除次数为
6、 ，运算量为，运算量为 级。级。3.2 选主元消去法选主元消去法 例：例：单精度解方程组单精度解方程组/*精确解为精确解为 和和 */8个个8个个用用Gaussian 消去法消去法计算：计算：8个个小主元可能导致小主元可能导致计算失败。计算失败。全全主元主元Gauss消去法消去法 每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证 。Step k:选取选取 If ik k then 交换第交换第 k 行与第行与第 ik 行行;If jk k then 交换第交换第 k 列与第列与第 jk 列列;消元消元注注注注：列交换改变了列交换改变了 xi 的顺序，须记录的顺序，须
7、记录交换次序交换次序，解完后再，解完后再换回来。换回来。列主元列主元Gauss消去法消去法 省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。例：例：注注注注：列主元法没有全主元法稳定。列主元法没有全主元法稳定。完全选主元法完全选主元法比比 Gaussian Elimination多出多出 ，保证稳定，但费时。，保证稳定，但费时。列主元法列主元法比比 Gaussian Elimination只多出只多出 ，略省时，但不保证稳定。，略省时，但不保证稳定。算法算法.(列主元高斯消去法列主元高斯消去法)步步1 1：输入系数矩阵，右端b，置k:=1;步步2 2：对k=1,
8、n-1进行如下操作：(1)选列主元，确定 ，使 若 ，则停止计算，否则，进行下一步；(2)若 ，交换 的第 两行；(3)消元：对 计算步步3 3：回代 对计算function x=magauss2(A,b,flag)function x=magauss2(A,b,flag)%用途：列主元用途：列主元GaussGauss消去法解线性方程组消去法解线性方程组Ax=bAx=b%格式：格式：x=x=magauss(A,b,flagmagauss(A,b,flag),A),A为系数矩阵为系数矩阵,b,b为右端项为右端项,若若flag=0,flag=0,%则不显示中间过程，否则显示中间过程则不显示中间过程
9、，否则显示中间过程,默认为默认为0,x0,x为解向量为解向量if if narginnargin3,flag=0;endn=k if pk t=t=A(kA(k,:);,:);A(kA(k,:)=,:)=A(pA(p,:);,:);A(pA(p,:)=t;,:)=t;t=t=b(kb(k););b(kb(k)=)=b(pb(p););b(pb(p)=t;)=t;end end%消元消元 m=A(k+1:n,k)/A(k,k);m=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n
10、,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(kb(k);A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1););A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1);if flag=0,if flag=0,AbAb=A,bA,b,end,endEndEnd%回代回代x=zeros(n,1);x=zeros(n,1);x(nx(n)=)=b(n)/A(n,nb(n)/A(n,n););for k=n-1:-1:1for k=n-1:-1:1 x(kx(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n)/A(k,k);)
11、=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n)/A(k,k);endend例例3.5 利用通用程序利用通用程序magauss2.m计算下列方程组计算下列方程组解解 在在MATLAB命令窗口执行命令窗口执行A=2-1 -3 1;-1 1 2 1 3;2 3 3-1;-3 1 3 2 4;1 3-1 4 4;b=11 14 4 16 18;x=magauss2(A,b);x 得到计算结果：得到计算结果：x=1.0000 2.0000 1.0000-1.0000 4.0000 3.3 解三对角方程组的追赶法解三对角方程组的追赶法Step 1:追追：其中与与Gauss消去法类似，一旦消去法类似，
12、一旦 =0 则算法中断，故并非任何则算法中断，故并非任何三对角阵都可以用此方法分解。三对角阵都可以用此方法分解。Step 2:赶赶即回代。（注：总共只有即回代。（注：总共只有6n-5次乘除计算量）次乘除计算量）定理定理则追赶法是可行的。则追赶法是可行的。若方程组若方程组(3.7)(3.7)的系数矩阵元素满足条件的系数矩阵元素满足条件证证:只需证只需证 即可，显然即可，显然 且且 设设 ，则对，则对function x=function x=machase(a,b,c,dmachase(a,b,c,d)%用途：追赶法解三对角方程组用途：追赶法解三对角方程组Ax=dAx=d%格式：格式：x=x=m
13、achase(a,b,c,dmachase(a,b,c,d)a)a为次下对角线元素向量，为次下对角线元素向量，b b主对角元素主对角元素%向量，向量，c c为次上对角线元素向量，为次上对角线元素向量，d d为右端向量，为右端向量，x x返回解向量返回解向量n=n=length(alength(a););for k=2:nfor k=2:n b(kb(k)=b(k)-a(k)/b(k-1)*c(k-1);)=b(k)-a(k)/b(k-1)*c(k-1);d(kd(k)=d(k)-a(k)/b(k-1)*d(k-1);)=d(k)-a(k)/b(k-1)*d(k-1);endendx(nx(n)
14、=)=d(n)/b(nd(n)/b(n););for k=n-1:-1:1for k=n-1:-1:1 x(kx(k)=()=(d(k)-c(kd(k)-c(k)*x(k+1)/b(k);)*x(k+1)/b(k);endend例例3.6 利用通用程序利用通用程序machase.m计算下列三对角方程组计算下列三对角方程组解解 在在MATLAB命令窗口执行命令窗口执行a=ones(50,1);b=4*ones(50,1);c=ones(50,1);d=6*ones(50,1);d(1)=5;d(50)=5;x=machase(a,b,c,d)得到计算结果：得到计算结果：x=(1,1,1,.,1)
15、定理定理 若若 A 为为对角占优对角占优/*diagonally dominant*/的三对角的三对角阵，且满足阵，且满足 ，则追赶法可解以，则追赶法可解以 A 为系数矩阵的方程组。为系数矩阵的方程组。它意味着矩阵的对角元是非常大它意味着矩阵的对角元是非常大.多大算大呢多大算大呢?它们满足下面的不等式它们满足下面的不等式:注注注注：如果如果 A 是是严格严格对角占优阵，则不要求三对角线上的对角占优阵，则不要求三对角线上的所有元素非零。所有元素非零。根据不等式根据不等式 可知：分解过程中，矩阵元素不会过分增大，算法可知：分解过程中，矩阵元素不会过分增大，算法保证稳定。保证稳定。运算量为运算量为
16、O(6n)。3.4 矩阵的三角分解矩阵的三角分解 高斯消元法的矩阵形式高斯消元法的矩阵形式 (书书P45P45例例3.8,3.8,设系数矩阵顺序主子式不为零设系数矩阵顺序主子式不为零)Step 1:记记 L1=，则，则Step n 1:其中其中 Lk=记为记为L单位下三角阵单位下三角阵记记 U=A 的的 LU 分解分解定理定理 若若A的所有顺序主子式均不为的所有顺序主子式均不为0，则，则 A 的的 LU 分解唯分解唯一（其中一（其中 L 为为单位单位下三角阵）。下三角阵）。证明：证明：由由前面分析前面分析可知，可知，LU 分解存在。下面证明唯一性。分解存在。下面证明唯一性。若不唯一，则可设若不
17、唯一，则可设 A=L1U1=L2U2，推出推出上上三角阵三角阵对角元为对角元为1的下三角阵的下三角阵注注注注：L 为一般下三角阵而为一般下三角阵而 U 为为单位单位上三角阵的分解称为上三角阵的分解称为Crout 分解分解。实际上只要考虑实际上只要考虑 A*的的 LU 分解，即分解，即 ，则，则 即是即是 A 的的 Crout 分解。分解。为什么要讨论三角分解？若在消元法进行前能实为什么要讨论三角分解？若在消元法进行前能实 现三角分解现三角分解 ，则则 容易回代求解容易回代求解,共有共有O(n2)O(n2)的的计算量计算量要确定矩阵要确定矩阵 中的元素中的元素,则可利用公式则可利用公式 来列式以
18、确定各个元素来列式以确定各个元素,具体可参看书中具体可参看书中 P46,(3.12)-(3.17).P46,(3.12)-(3.17).或下页或下页由由A=LU,A=LU,可得可得即即算法算法3.33.3步1 输入系数矩阵A，右端项b；步2 LU分解：对 计算步3 解下三角方程组Ly=b对 计算步4 用回代法解上三角方程组Ux=y:对 计算function function x,l,ux,l,u=malu(A,bmalu(A,b)%用途：用用途：用LULU分解法解方程组分解法解方程组Ax=bAx=b%格式：格式：x,l,ux,l,u=malu(A,bmalu(A,b)A)A为系数矩阵，为系数矩
19、阵，b b为右端向量，为右端向量，x x返回返回%解向量，解向量，l l返回下三角矩阵，返回下三角矩阵，u u返回上三角矩阵返回上三角矩阵format shortformat short%LU%LU分解分解n=n=length(b);ulength(b);u=zeros(n,nzeros(n,n););l=eye(n,n);u(1,:)=A(1,:);l=eye(n,n);u(1,:)=A(1,:);l(2:n,1)=A(2:n,1)/u(1,1);l(2:n,1)=A(2:n,1)/u(1,1);for k=2:nfor k=2:n u(k,k:nu(k,k:n)=A(k,k:n)-l(k,
20、1:k-1)*u(1:k-1,k:n);)=A(k,k:n)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,k:n);l(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-l(k+1:n,1:k-1)*u(1:k-1,k)/u(k,k);l(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-l(k+1:n,1:k-1)*u(1:k-1,k)/u(k,k);endend%解下三角方程组解下三角方程组Ly=bLy=by=zeros(n,1);y=zeros(n,1);y(1)=b(1);y(1)=b(1);for k=2:nfor k=2:n y(ky(k)=b(k)-l(k,1:k-1)*y(1:k-1);)=b(k)
21、-l(k,1:k-1)*y(1:k-1);endendx=zeros(n,1);x=zeros(n,1);x(nx(n)=)=y(n)/u(n,ny(n)/u(n,n););for k=n-1:-1:1for k=n-1:-1:1 x(kx(k)=(y(k)-u(k,k+1:n)*x(k+1:n)/u(k,k)=(y(k)-u(k,k+1:n)*x(k+1:n)/u(k,k);end例例3.9 利用通用程序利用通用程序malu.m计算下列方程组计算下列方程组解解 在在MATLAB命令窗口执行命令窗口执行A=2-1 -3 1;-1 1 2 1 3;2 3 3-1;-3 1 3 2 4;1 3-1
22、 4 4;b=11 14 4 16 18;x,l,u=malu(A,b);x 得到计算结果：得到计算结果：x=1.0000 2.0000 1.0000-1.0000 4.0000LU LU 分解与分解与 Gauss Gauss 消去法的关系消去法的关系则则取取记记 Lk=由此也可看出由此也可看出高斯消元法的消元过程相当于高斯消元法的消元过程相当于 的的求解求解,而回代过程相当于而回代过程相当于 的求解的求解.3.5 平方根法平方根法 /*Choleskiy分解分解*/：对称正定对称正定矩阵的分解法矩阵的分解法一个矩阵一个矩阵 A=(aij)n n 称为称为对称阵对称阵，如果，如果 aij=aj
23、i。一个矩阵一个矩阵 A 称为称为正定阵正定阵，如果，如果 对任意非零向对任意非零向量量 都成立都成立。回顾：回顾：对称正定阵的几个重要性质对称正定阵的几个重要性质 A 1 亦对称正定，且亦对称正定，且 aii 0若若不然，则不然，则存在非零解，即存在非零解，即存在非零解。存在非零解。对对任意任意 ,存在存在 ,使得使得 ,即即 。其中其中第第 i 位位 A 的顺序主子阵的顺序主子阵 Ak 亦对称正定亦对称正定对称性显然。对任意对称性显然。对任意 有有 ,其中其中 。A 的特征值的特征值 i 0 设对应特征值设对应特征值 的非零特征向量的非零特征向量为为 ，则，则 。A 的全部顺序主子式的全部
24、顺序主子式 det(Ak)0因为因为 将将对称对称 正定阵正定阵 A 做做 LU 分解分解U=uij=u11uij/uii111u22unn记为记为 A 对称对称即即记记 D1/2=为什么为什么 uii 0?因为因为det(Ak)0则则 仍是下三角阵仍是下三角阵定理定理 设矩阵设矩阵A对称正定，则存在非奇异下三角阵对称正定，则存在非奇异下三角阵 使使得得 。若限定。若限定 L 对角元为正，则分解唯一。对角元为正，则分解唯一。注注注注：对于对称正定阵对于对称正定阵 A，从从 可知对任意可知对任意k i 有有 。即即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元。的元素不会增大，误差可控，不需选主元。
25、现在利用现在利用 来求出来求出 的元素的元素 如下：如下：假设假设L L的第的第k-1k-1列元素已求得，下面求列元素已求得，下面求L L的第的第k k列元素列元素由于上述的由于上述的CholeskyCholesky分解法要作分解法要作n n次开平方运算，故也次开平方运算，故也称为平方根法，由于开平方运算是比较耗时的，故对整称为平方根法，由于开平方运算是比较耗时的，故对整个运算过程是不利的。个运算过程是不利的。(这时这时乘除运算总量为乘除运算总量为n3/6+O(n2)n3/6+O(n2)假如改用假如改用 来求出来求出 的元素的元素(L(L是单位下三角阵是单位下三角阵)设设L L和和D D的的1
26、 1至至k-1k-1列元素已求得，下面求它们的第列元素已求得，下面求它们的第k k列元素列元素虽然以上分解无需做开平方运算，但由计算公式不难发虽然以上分解无需做开平方运算，但由计算公式不难发现，乘除运算总量增加了一倍，为现，乘除运算总量增加了一倍，为n3/3+O(n2)n3/3+O(n2)。若要减少乘除法的运算量，可引入变量若要减少乘除法的运算量，可引入变量 并将并将 中中的分解公式变换如下：的分解公式变换如下：对对 ，计算，计算虽说改进后的虽说改进后的 乘除运算总量又降为乘除运算总量又降为n3/6+O(n2)n3/6+O(n2)但新加入的变量但存储量增加了一倍但新加入的变量但存储量增加了一倍
27、 算法算法:Choleskiy分解分解将将对称正定对称正定 n n n n矩阵矩阵 A A分解成分解成 LLLLT T,这里这里 L L是下三角阵是下三角阵 Input:矩阵矩阵A A的维的维数数n n;矩阵矩阵A A的元素的元素 aij 1 i,j n.Output:矩阵矩阵L 的的元素元素 lij：1 j i and 1 i n.Step 1 Set ;Step 2 For j=2,n,set ;Step 3 For i=2,n 1,do steps 4 and 5Step 4 Set ;Step 5 For j=i+1,n,set ;Step 6 Set ;Step 7 Output(l
28、ij for j=1,i and i=1,n);STOP.因为因为A 对称，所以只需存半个对称，所以只需存半个 A，即即其中其中运算量为运算量为 O(n3/6)，比比普通普通LU分解少一半，但有分解少一半，但有 n 次开方。用次开方。用A=LDLT 分解，可省开方时间。故见书分解，可省开方时间。故见书P51-52function function x,l,dx,l,d=machol(A,bmachol(A,b)%用途：用用途：用CholeskyCholesky分解法解方程组分解法解方程组Ax=Ax=bformatbformat short short%LDL%LDL分解分解n=n=length
29、(b);dlength(b);d=zeros(1,n);=zeros(1,n);l=l=eye(n,neye(n,n););d(1)=A(1,1);d(1)=A(1,1);l(2:n,1)=A(2:n,1)/d(1);l(2:n,1)=A(2:n,1)/d(1);d(2)=A(2,2)-l(2,1)*l(2,1)*d(1);d(2)=A(2,2)-l(2,1)*l(2,1)*d(1);for i=3:nfor i=3:n for j=2:(i-1)for j=2:(i-1)s=0;s=0;for k=1:(j-1)s=for k=1:(j-1)s=s+d(ks+d(k)*)*l(i,kl(i,
30、k)*)*l(j,kl(j,k););endend l(i,jl(i,j)=()=(A(i,j)-s)/d(jA(i,j)-s)/d(j););end end s=0;s=0;for j=1:(i-1)s=for j=1:(i-1)s=s+d(js+d(j)*)*l(i,jl(i,j)*)*l(i,jl(i,j);end);end d(id(i)=)=A(i,i)-sA(i,i)-s;endend%求解下三角方程组求解下三角方程组 Ly=b Ly=b（向前消去法）（向前消去法）y=zeros(n,1);y=zeros(n,1);y(1)=b(1);y(1)=b(1);for i=2:nfor
31、i=2:n y(iy(i)=b(i)-l(i,1:i-1)*y(1:i-1);)=b(i)-l(i,1:i-1)*y(1:i-1);endend%求解对角方程组求解对角方程组 DzDz=y=y for i=1:n for i=1:n z(iz(i)=)=y(i)/d(i);endy(i)/d(i);end%求解上三角方程组求解上三角方程组 LxLx=z=z（向前消去法）（向前消去法）llll=l;xl;x=zeros(n,1);x(n)=zeros(n,1);x(n)=z(nz(n););for i=(n-1):-1:1for i=(n-1):-1:1 x(ix(i)=z(i)-ll(i,i+
32、1:n)*x(i+1:n);)=z(i)-ll(i,i+1:n)*x(i+1:n);EndEndx=x;x=x;例例3.10 利用通用程序利用通用程序machol.m计算下列方程组计算下列方程组解解 在在MATLAB命令窗口执行命令窗口执行A=2-1 -3 1;-1 1 2 1 3;2 3 3-1;-3 1 3 2 4;1 3-1 4 4;b=11 14 4 16 18;x,l,d=machol(A,b);得到计算结果：得到计算结果：x=1.0000 2.0000 1.0000-1.0000 4.0000 d=2.0000 0.5000-37.0000 1.5676 2.68973.6 3.6
33、 线性方程组的误差分析线性方程组的误差分析线性方程组的误差分析线性方程组的误差分析 求解求解 时，时，A 和和 的误差对解的误差对解 有何影响？有何影响？设设 A 精确，精确，有误差有误差 ，得到的解为，得到的解为 ，即，即绝对误差放大因子绝对误差放大因子又又相对误差放大因子相对误差放大因子 设设 精确，精确，A有误差有误差 ，得到的解为，得到的解为 ，即，即 稍等稍等 为什么为什么(I+A 1 A)可逆可逆?(只要只要 A充分小，使得充分小，使得 是关键是关键的误差放大因子，称为的误差放大因子，称为A的的条件数条件数，记为，记为cond(A),越越 则则 A 越病态，越病态，难得准确解。难得
34、准确解。大大注注:cond(A)的具体大小与的具体大小与|的取法有关。的取法有关。cond(A)取决于取决于A，与解题方法无关。与解题方法无关。常用条件数有：常用条件数有：cond(A)1cond(A)cond(A)2特别地，若特别地，若 A 对称，则对称，则条件数的性质：条件数的性质：A可逆，则可逆，则 cond(A)p 1；A可逆，可逆，R 则则 cond(A)=cond(A)；A正交，则正交，则 cond(A)2=1；A可逆，可逆，R正交，则正交，则 cond(RA)2=cond(AR)2=cond(A)2。精确解精确解为为例：例：计算计算cond(A)2。A 1=解：解：考察考察 A
35、的特征根的特征根39206 1 测试病态程度：测试病态程度：给一个扰动给一个扰动，其相对误差为，其相对误差为此时此时精确解精确解为为2.0102 200%例：例：Hilbert 阵阵cond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9 106cond(Hn)as n 注：注：一般判断矩阵是否病态，并不计算一般判断矩阵是否病态，并不计算A 1，而由经验而由经验得出。得出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量
36、级。特征值相差大数量级。对于大型线性方程组对于大型线性方程组 ，GaussGauss消去法的计消去法的计算工作量很大，用算工作量很大，用向前误差分析方法向前误差分析方法非常困难。非常困难。下面介绍利用下面介绍利用向后误差分析方法向后误差分析方法：即：即 GaussGauss消去法的舍入误差消去法的舍入误差将实际计算过程的误差转换为原始数据的误差将实际计算过程的误差转换为原始数据的误差.具体提法是：具体提法是：对两种扰动：对两种扰动：考查对考查对 的解的解 的影响，的影响，即即的大小可以估计的大小可以估计在十进制且在十进制且1616位字长的计算机上：位字长的计算机上：其中其中表示表示GaussGauss消元过程中消元过程中 的元素的元素 其中其中表示表示GaussGauss消元过程中消元过程中 的元素的元素 特别，对特别，对GaussGauss消去法，消去法，只要只要 不是很大，则不是很大，则GaussGauss消去法是消去法是数值稳定的数值稳定的 结论：条件数越大，扰动对解的影响越大结论：条件数越大，扰动对解的影响越大.