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1、Lecture 3偏好与效用偏好与效用Consumers：Preferences&Utilities1本讲研究消费者的行为规律。与中级微观经济学在描述消费者行为时的做法不同，高级微观经济学更注重揭示消费者行为的理性特点。经济行为符合理性，这是所有经济学流派存在的基础和先验前提。不同流派对经济行为理性的解释有一定的差异，这里介绍新古典主义这一主流经济学对经济行为理性的解释新古典理性。新古典理性新古典理性对消费者的基本假定是：消费者具有良好的偏好或效用函数，追求效用最大化。满足这一假定的消费者，叫做理性消费者理性消费者。因此，行为理性存在于消费者的偏好或效用函数之中。我们将在商品空间 中讨论，即假
2、定市场上共有 种可供选择的商品。可供选择可供选择是说，这些商品既可供消费者选择一定的数量进行消费，也可供消费者选择一定的数量向社会提供。我们将在对消费集合分析的基础上，来揭示这种选择的逻辑。概述概述2并非任何消费活动都是允许的并非任何消费活动都是允许的。消费活动受到多种客观因素的影响，比如，制度、法律、政策、生理条件等，都给消费活动带来一定的制约，这些制约因素导致商品空间中的一部分向量代表着那些不允许的消费活动。可行消费活动可行消费活动：排除所有那些不允许的消费活动之后，剩下来的就是可行消费活动。所以可行消费计划的全体是商品空间的一个子集，叫做消费者的消费集合，用 X 表示之。l消费集合消费集
3、合 X 是是 中那些代表可行消费活动的向量的全体中那些代表可行消费活动的向量的全体。消费集合同具体的消费者有关，会因人而异。但目前考虑的只是单个特定的消费者，因此消费集合 X 便固定下来。Consumption Set消费活动可用 中的向量表示：代表一篮子商品，是一个完整的消费计划或消费方案。其中，正分量表示相应的商品是消费品，负分量表示相应的商品是消费者提供的商品(比如提供的劳动)。3n假设假设HC 消费集合消费集合 X 是商品空间是商品空间 的非空下有界闭凸子集的非空下有界闭凸子集。消费集合作为对可行消费活动的一种描述，必然要求反映消费选择的基本特点。为了找出这些特点，就需要从消费选择的可
4、行性着手，逐步总结可行消费选择的基本特点，得出对消费集合的基本认识，并以假设的形式将这些特点予以承认。经过近一个世纪的探索，人们发现消费集合具有三大基本特点：极限封闭性极限封闭性、下方有界性下方有界性、道路连通性道路连通性。对于道路连通性，人们常常又用凸性来代替。凸性特点不但是合理、符合实际的，而且比连通性具有更好的表现。如此一来，消费集合的特点可用下述假设来表达。(一一)消费集合的特点消费集合的特点X 是说“有可选方按”。其实，0 X，即“不消费”是允许的选择。下面来对 X 的其余三个特点逐一进行说明。Consumption Set41.极限封闭性极限封闭性一系列可行消费活动一系列可行消费活
5、动的极限活动依然可行的极限活动依然可行l消费集合消费集合 X 对极限运算封对极限运算封闭，从而闭，从而 X 是商品空间是商品空间 的闭子集的闭子集。a)允许“极限行为”b)允许“擦边球”c)包含边界：X Xd)若消费活动 不被允许，则与 y 差不多的消费活动都是不允许的。极限行为极限行为边边界界行行为为X X y与与 y 差不差不多的活动多的活动xz y X(一一)消费集合的特点消费集合的特点Consumption Set52.下方有界性下方有界性l存在向量存在向量 使得使得(xX)(x )。这样的向量 叫做 X 的下界下界。(一一)消费集合的特点消费集合的特点Consumption SetX
6、正消费量：消费品负消费量：生产要素商品 消费品：生存最低需要有限性 劳动24小时/天 要素 体力和精力都有限 自然资源有限消费集合下有界！消费集合下有界！消费集合上无界！消费集合上无界！个人欲望无限人的需要无限无限性 xxX63.道路连通性道路连通性l对任何x,yX，都存在连续映射:0,1 X 使得(0)=x 且(1)=y。这样的映射 叫做连接 x 与 y 的道路道路。Consumption SetX意义意义：可以通过连续调可以通过连续调整整，实现从一种消费活实现从一种消费活动向另一种的过渡动向另一种的过渡。path(一一)消费集合的特点消费集合的特点7l凸性的合理性凸性的合理性：实际中，当消
7、费者面临两种选择时，往往进行综合，使其二者兼顾。例如，消费者面临选择四两米饭或四两馒头时，常常会作出这样的综合：同时选择二两米饭和二两馒头，即消费多样化。消费多样化的通常做法是对两种消费计划进行加权平均。于是，消费集合表现出凸性。(1)(1)凸性及其合理性凸性及其合理性凸性及其合理性凸性及其合理性l任何两点都可用直线路径连接任何两点都可用直线路径连接。即对任何 x,yX 及任何 t 0,1，都有 t x+(1t)yX。直线路径直线路径：最短的连接路经。凸性凸性：最好的道路连通性 Consumption SetX(一一)消费集合的特点消费集合的特点3.道路连通性道路连通性8(2)(2)非凸集合的
8、凸化处理非凸集合的凸化处理非凸集合的凸化处理非凸集合的凸化处理凸化处理凸化处理：用 co X 代替 X，不会产生实质性影响。Consumption Set有两种情况让消费集合不是凸集：异地商品、整数计量。但进行凸化处理，可在不影响实质的情况下，使消费集合具备凸性。因此，凸性假定是合适的。电视机电视机l异地商品异地商品：凸化处理凸化处理：用 co X 代替 X。完全市场中没有此种情况完全市场中没有此种情况：任何两种商品都可直接交换，从而 X=co X。l整数计量整数计量：co Xco X面面粉粉北京北京西西藏藏(一一)消费集合的特点消费集合的特点3.3.道路连通性道路连通性9(二二)消费集合的形
9、状消费集合的形状作了以上说明，我们就可以根据消费集合的特点，划出消费集合的形状：消费集合消费集合 X 是非空的下有界凸闭集是非空的下有界凸闭集。XConsumption Set10Preference Relation消费者在消费集合内进行选择，当然要挑选自己满意的消费方案。消费者对这种方案满意，对那种方案不满意，这意味着消费者能够对各种可行消费方案的好坏作出判断。这种判断或者说是评价，反映了消费者的偏好，即嗜好或爱好。偏好与效用联系在一起。如果商品对消费者没有效用，消费者对商品就不会有偏好。效用效用是指消费者消费一定数量的若干种商品后感受到的满足消费者消费一定数量的若干种商品后感受到的满足程
10、度程度。商品之所以对消费者有效用，是因为商品具有满足人们需要的能力。商品的效用，其实就是消费者主观感受到的商品的使用价值。效用作为主观感受效用作为主观感受，因人而异因人而异，因时而异因时而异，因地而异因地而异。所谓“酒逢知己千杯少”、“雪中送碳”就表达了这样的含义。静态来看静态来看，效用可以自我比较效用可以自我比较。偏好偏好正是消费者对效用进行自我比较后得出的关于各种消费关于各种消费方案好坏的评价方案好坏的评价。11(一一)效用的自我比较效用的自我比较l效用可以效用可以自我比较自我比较：在既定的时空条件下，消费者可对任何两种可行消费方案进行效用大小的评断。序数效用序数效用：消费者作出的效用大小
11、评断，意味着消费者能够对一切可行消费方案排出个好坏次序。好坏排序好坏排序：对于任何两种方案 x,yX，如果消费者认为：x 比 y 的效用大，那么就记作 x y，并称 x 比 y 好；x 比 y 的效用小，那么就记作 x y，并称 x 比 y 差；x 与 y 一样好，就记作 x y(或 y x)，并称 x 与 y 无差异。理性排序理性排序：消费者对各种可行消费方案的排序不应产生自相矛盾，即对任何 x,yX，消费者至多只能作出至多只能作出以下三种评价之一：x y、x y、x y。l效用不可相互比较效用不可相互比较：不同消费者的效用不能比较。这主要是因为各人喜好不同，主观评价原则也可能不同。Pref
12、erence Relation12A例例例例1.1.买车好还是买房好？买车好还是买房好？买车好还是买房好？买车好还是买房好？消费者在作出是买房还是买车的决定之前，首先需要抛开收入和价格因素，来对车和房的效用进行比较。Preference Relation车车房房5万元万元10万元万元15万元万元20万元万元25万元万元30万元万元35万元万元30平米平米60平米平米90平米平米120平米平米150平米平米180平米平米210平米平米40万元万元0车的规格：按价值 v 计。房的规格：按面积 s 计。假定车对消费者的重要性占0.6，房占到0.4。l评判原则评判原则：看 0.6lnv+0.4ln s
13、。BCDEF(一一)效用的自我比较效用的自我比较13A例例例例2.2.吃好还是穿好？吃好还是穿好？吃好还是穿好？吃好还是穿好？假定消费者认为吃比穿重要得多。如果吃不饱，那么穿得再好都不管用。如果吃得好，那么穿得不好也不要紧。Preference Relation食品食品衣服衣服5斤斤10斤斤15斤斤20斤斤25斤斤30斤斤35斤斤1件件2件件3件件4件件5件件6件件7件件40斤斤0食品：按斤计，用 x 表示。衣服：按件计，用 y 表示。l评判原则评判原则：对于(x1,y1)和(x2,y2)先看食品数量：若 x1 x2，则(x1,y1)(x2,y2)。再看衣服件数：若 x1=x2 但却y1 y2
14、，则(x1,y1)(x2,y2)。BCDEF无差异：当且仅当 x1=x2&y1=y2 时，(x1,y1)(x2,y2)。l字典序字典序：如此排出的好坏次序是字典序(如同查字典)。(一一)效用的自我比较效用的自我比较14因此，偏好关系偏好关系 是自反、完全、传递的二元关系是自反、完全、传递的二元关系，即即 X 上的预序关系上的预序关系。可以证明：无差异关系 是等价关系。可以证明：偏好关系代表着消费者的效用评价体系。对于完全竞争市场上的理性消费者来说，其偏好关系应服从如下偏好公理偏好公理：(二二)偏好公理偏好公理 消费者对消费方案的好坏排序，确定出了消费集合 X 上的一种二元关系 ：对任何 x,y
15、X，(x y)(x y)(x y)。当 x y 时，也记作 y x。关系 (或 )叫做消费者的偏好关系偏好关系。不优于，不次于，次于，优于，无差异。lAxiom 1(自反性自反性)：(xX)(x x)lAxiom 2(完全性完全性)：(x,yX)(x y )(y x)lAxiom 3(传递性传递性)：(x,y,zX)(x y)(y z)(x z)Preference Relation151.自反性公理的意义自反性公理的意义任何消费方案都同自身无差别，因而效用评价无差异。假若某人认为消费方案同自己比较都有差异，那就很难说他是个理性人，恐怕他的头脑不正常。(二二)偏好公理偏好公理Preferenc
16、e Relationl从更深的层次上看，自反性公理意味着商品的时空一致性时空一致性。根据商品区分的时间原则，x=y 意味着 x 和 y 存在的时间一致。又根据区位原则，x=y 意味着 x 和 y 存在的空间一致。只有在时间、空间都一致(即时空一致性时空一致性)的情况下，才可以仅仅根据商品的物质属性来区分。因此，说 x x，就意味着所考虑的时间和空进条件都一致。可见，承认自反性公理自反性公理就暗含着暗含着承认时空一致性时空一致性。另外，目前没有涉及不确定性，是在确定性的环境中讨论静态经济问题。静态性正是时空一致性蕴含的一层含义。162.完全性公理的意义完全性公理的意义完全性公理是说任何两种消费方
17、案都可以比较。其实现实生活中，由于人们掌握的信息不够充分，会出现“难以比较”的情况。比如，若消费者不了解某两种产品，那么就很难判断这种好还是那种好。因此，信息是判断和评价的基本依据。作了上述解释之后，便可看出，偏好关系的完全性意味着消费者掌握着关于所有可行消费方案的所有信息。(二二)偏好公理偏好公理Preference Relationl完全性公理意味着消费者的信息完全性信息完全性。信息完全性是完全竞争市场的一个重要特征。作为价格接受者的理性消费者，当然是处于完全竞争市场中，从而必然掌握着完全的信息，其偏好关系也就具有了完全性。由此可见：l完全性公理是完全竞争市场的必然产物。173.传递性公理
18、的意义传递性公理的意义为了看出传递性的意义，我们给出一个不传递偏好事例。(1)张三提出用苹果换梨子，并要求李四找一分钱。仅花一分钱就能换来更大的满足，李四不会不答应，成交！(2)张三提出用梨子换桃子，并要求李四找一分钱，李四还会答应，成交！(3)张三提出用桃子换苹果，并要求李四找一分钱，李四依然同意，成交！交换一直进行下去，李四变成穷光蛋，张三变成富翁。显然，这样的事情不可能发生在理性消费者身上。李四的不传递偏好李四的不传递偏好事例事例：张三穷，李四富。张三只有一个苹果，李四不但有一个桃，还有一个梨。但李四的偏好不传递，他认为，桃比桃比苹果好苹果好，苹果比梨好苹果比梨好，梨比桃好梨比桃好。(二
19、二)偏好公理偏好公理Preference Relation184.无差异公理无差异公理 根据偏好公理可知，无差异关系 是消费集合 X 上的等价关系，即满足如下三条公理(无差异公理无差异公理)：Axiom 1(自反性自反性)：(xX)(x x)Axiom 2(对称性对称性)：(x,yX)(x y )(y x)Axiom 3(传递性传递性)：(x,y,zX)(x y)(y z)(x z)l对于 xX，集合 x=yX:y x 称作 x 的等价类等价类或无差异曲线无差异曲线。消费集合 X 中的每个点都要落在某条无差异曲线上。无差异曲线互不相交。无差异曲线可能很“薄”，也可能较“厚”，如右图所示。Xx
20、x(二二)偏好公理偏好公理Preference Relation19(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设理性消费者偏好还具有一些特点，偏好关系具有一些一般性质，这些一般性质通常以下面的假设形式提出。n假设假设HP 消费者的偏好关系是无满足、连续、严格凸的消费者的偏好关系是无满足、连续、严格凸的。这个假设实际上由以下三个分假设构成：l无满足性无满足性：对任何 xX，都存在 yX 使得 x y。l连续性连续性：对任何 xX，集合 yX:y x和 yX:y x都是 X 的(相对)开子集。l严格凸性严格凸性：对任何 x,yX，只要 x y 且 x y，那么对任何实 数 t(0,1)，都有 t x+(1
21、 t)y y。有些时候，还会要求偏好关系具有单调性：这些假设反映了实际消费活动的一些重要特点，下面来对这些特点作出解释。l偏好的单调性偏好的单调性：对任何 x,yX，只要 x y，就有 x y。Preference Relation20(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设1.偏好的无满足性偏好的无满足性l欲望无止境欲望无止境：在人的一个欲望得到了满足之后，接着会产生另一个更大的欲望。没有理由限制人的欲望的不断产生。l偏好的无满足性正是对消费者偏好的无满足性正是对消费者欲望无止境的准确表述欲望无止境的准确表述：任何一种消费方案都无法满足消费者无止境的欲望。与无满足性相关联的概念还有：子集中有满足
22、、子集中无满足、局部无满足。下面进行说明。欲望无止境欲望无止境XPreference Relation21l全局满足消费全局满足消费：如果消费者在整个消费集合 X 中有满足，则把消费者在 X 中的满足消费叫做全局满足消费全局满足消费。显然，偏好的无满足性是说消费者没有全局满足消费。(1)(1)子集中有满足子集中有满足子集中有满足子集中有满足l子集中的满足消费子集中的满足消费：设 W X 且 wW。w 称为是子集子集W 中的满中的满足消费足消费，是指(xW)(x w)。l子集中有满足子集中有满足：设 W X。如果存在 w W 使得 w 是子集 W 中的满足消费，则称消费者在子集在子集W 中有满足
23、中有满足。1.偏好的无满足性偏好的无满足性(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设Preference RelationWX22l显然，偏好全局无满足就是说消费者没有全局满足消费，也就是指偏好的无满足性。(2)(2)子集中无满足子集中无满足子集中无满足子集中无满足l子集中无满足子集中无满足：设W X。如果没有一个向量 wW 能成为消费者在子集 W 中的满足消费，则称子集子集W 中无满足中无满足。l全局无满足全局无满足：如果消费者在整个消费集合 X 中无满足，则称消费者全局无满足全局无满足，或称偏好全局无满足全局无满足。1.偏好的无满足性偏好的无满足性(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设Prefer
24、ence RelationWX23(3)(3)局部无满足局部无满足局部无满足局部无满足1.偏好的无满足性偏好的无满足性(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设Preference RelationXl消费者(或偏好关系)在在 xX 处处局部无满足局部无满足，是指对 x 的任何邻域 U(不论多么小)，都存在 yU X 使得 x y。l称消费者(或偏好关系)局部无局部无满足满足，是指消费者在任何方案xX 处都是局部无满足的。局部无满足性局部无满足性 无满足性无满足性。无满足的偏好未必局部无满足无满足的偏好未必局部无满足。下面的例子证明了这一点。24(x,yX)(x y)(x1x2 y1 y2)其中 x
25、=(x1,x2)，y=(y1,y2)，而 r 表示不小于实数 r 的最小整数。某人在两种消费品中进行选择，他关注这两种商品消费量的乘积：乘积越大越好。但他不斤斤计较，对乘积的小数位忽落不计：只要整数位相同，效用就相同。显然，该消费者的消费集合 ，偏好关系可表述为：例例例例1.1.无满足但非局部无满足的偏好事例无满足但非局部无满足的偏好事例无满足但非局部无满足的偏好事例无满足但非局部无满足的偏好事例这是一个无满足的偏好关系。无差异曲线很厚。如右图所示，x 的邻域 U 中的所有点都与x无差异，故U 中没有比x更优的点，说明该偏好并非局部无满足。x2x1U很厚的无很厚的无差异曲线差异曲线o1.偏好的
26、无满足性偏好的无满足性(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设Preference Relationx1 x2=125(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设2.偏好的连续性偏好的连续性Preference Relation对任何对任何xX,yX:y x 和和 yX:y x 都是都是 X 中的开中的开集集这里，N(z)表示 z 的邻域系，即商品空间 中包含 z 的所有开集。xl偏好关系偏好关系 类似于实数的序关系类似于实数的序关系 。l偏好的连续性类似于实数的连续性偏好的连续性类似于实数的连续性。对比对比rR，sR:s r都是 R 中的开集。xX，yX:y x和yX:y x都是 X 中的开集。Xx26
27、(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设(1)(1)意义之一：评价的持续性意义之一：评价的持续性意义之一：评价的持续性意义之一：评价的持续性评价结论不易推翻评价结论不易推翻评价结论不易推翻评价结论不易推翻Preference RelationxXx2.偏好的连续性偏好的连续性例如，“坏人”帽子难摘：若又发生了什么类似的坏事，肯定怀疑是他干的。反映在消费评价上，如果过去一系列消费活动都不比 x 好(差)，那么其极限活动也不会比 x 好(差)。这就是偏好偏好的连续性的连续性，即下述定理所述。n定理 设 为消费集合 X 上的偏好 关系。则下述三个命题相互等价：是连续的偏好关系；xX，yX:y x和yX:
28、y x都是 X 的相对闭子集；wx,z,w,zn,wnX(n=1,2,),lim n zn=z,lim n wn=w,zn x&wn x(n=1,2,)，都有 z x&w x。27(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设(2)(2)意义之二：生活水平较高意义之二：生活水平较高意义之二：生活水平较高意义之二：生活水平较高综合效用综合评价综合效用综合评价综合效用综合评价综合效用综合评价Preference Relation2.偏好的连续性偏好的连续性在温饱问题没有得到基本解决的情况下，消费者偏好不连续。他首先要解决吃饭问题，其次才考虑穿着，再其次才会考虑改善居住条件。这样，他的偏好可用字典序字典序来表
29、示。当生活水平较高时，消费者就要考虑综合效用，要对消费方案进行综合评价，故他的偏好不再是字典序，而要表现出连续性。因此，偏好的连续性是生活水平较高的表现偏好的连续性是生活水平较高的表现。l字典序不连续字典序不连续 对于 ，令A=zX:z x及B=zX:z x。则A 不是X 的相对开集，B 也不是相对闭集。ABx衣衣物物食物食物283.偏好的凸性偏好的凸性消费集合的凸性允许消费者对任何两种可行消费计划进行加权平均。那么加权平均的效果如何?一般来讲，加权平均后加权平均后的综合方案会比原来较差的方案要好的综合方案会比原来较差的方案要好，这种现象叫做偏好的凸偏好的凸性性。要严格表述偏好的凸性，则有如下
30、几种不同的程度。n定义 设消费集合 X 是凸集，X 上的偏好关系 称为是弱凸弱凸的，是指(x,yX)(t(0,1)(x y)(t x+(1 t)y y)；凸凸的，是指(x,yX)(t(0,1)(x y)(t x+(1 t)y y)；严格凸严格凸的，是指对任何 x,yX,只要 x y 且 x y,那么对任何实数 t(0,1)，都有 t x+(1 t)y y；内部严格凸内部严格凸的，是指 是凸的，且对任何 x,yX，只要 x y 且 x y，那么对任何实数 t(0,1)，都有 t x+(1 t)y y。下面来讨论这几种凸性的特点及其它们之间的关系。(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设Prefere
31、nce Relation29(1)(1)弱凸偏好弱凸偏好弱凸偏好弱凸偏好加权平均后的综合方案比原来较差的方案至少不差加权平均后的综合方案比原来较差的方案至少不差，这就是弱凸偏好弱凸偏好，即x,yX,t(0,1),x y t x+(1 t)y y。(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设Preference Relation3.偏好的凸性偏好的凸性n定理 设消费集合 X 是凸集，是 X 上的偏好关系。弱凸当且仅当当且仅当对任何 xX，集合 P(x)=zX:z x是凸集。弱凸当且仅当当且仅当对任何 xX，集合 Q(x)=zX:z x是凸集。z=t x+(1 t)y弱凸偏好允许无差异曲线很厚，更允许它包
32、含直线段。一般地，弱凸偏好具有如下特征：30定理的证明：定理的证明：定理的证明：定理的证明：的必要性的必要性的必要性的必要性()(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设Preference Relation3.偏好的凸性偏好的凸性w=t y+(1 t)z x已知 是弱凸的。欲证：对任何 xX，集合P(x)都是凸集。(1)(1)弱凸偏好弱凸偏好弱凸偏好弱凸偏好为此，任意给定 xX,y,zP(x)及 t(0,1)。记 w=t y+(1 t)z。我们来证明：wP(x)。根据偏好的完全性，必有 y z 或 z y 成立。但不论哪一个成立，偏好的弱凸性和传递性都保证了w x，即wP(x)。既然 y,z,t
33、任意给出，这就证明了 P(x)是凸集。必要性得证必要性得证。yz31定理的证明：定理的证明：定理的证明：定理的证明：的充分性的充分性的充分性的充分性()(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设Preference Relation3.偏好的凸性偏好的凸性w=t x+(1 t)y P(y)已知对任何 xX，集合P(x)都是凸集。欲证：是弱凸的。(1)(1)弱凸偏好弱凸偏好弱凸偏好弱凸偏好为此，设 x,yX 和 t(0,1)都是任意给定的，并且 x y。记 w=t x+(1-t)y。只要能够证明 w y，就证明了 弱凸。下面来证明：w y。根据已知条件，P(y)是凸集。注意，x,yP(y)。于是，我们
34、有 wP(y)，故 w y。证毕证毕 结论结论的证明留作练习的证明留作练习。yx32(2)(2)凸偏好凸偏好凸偏好凸偏好把有差异的两种方案加权平均后把有差异的两种方案加权平均后，其综合方案比原来较差其综合方案比原来较差的方案要好的方案要好，这就是凸偏好凸偏好。即对任何x,yX 及 t(0,1)，如果 x y，那么 t x+(1 t)y y。(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设Preference Relation3.偏好的凸性偏好的凸性无满足的凸偏好无满足的凸偏好不允许有厚度不允许有厚度!无满足的凸偏好不允许有厚度的无差异曲线存在。在凸偏好下，把两种无差异的方案加权平均后，其综合方案的效果未知
35、：是好是坏不得而知；而在弱凸偏好下，加权平均的效果确定：至少不坏。从这个意义上讲，弱凸性“强于”凸性。33例例4.对任何 ，(x y)(x1x2 y1y2)。此偏好既凸又弱凸既凸又弱凸。例例2.对任何 ，x y x1 x2 y1 y2。这个偏好关系 (即例1中的消费者偏好)是弱凸的是弱凸的，但不是凸的但不是凸的。例例3.X=(t,1-t)R:0 t 1，z=(0.5,0.5)。对任何 x,yX，当 x z 而 y=z 时，x y；当 x=z 而 y z 时，x y；当 x z 且 y z 时，x y；当 x=y=z 时，x y。这个偏好 凸但非弱凸但非弱凸凸。偏好的凸性与弱凸性相互独立偏好的凸
36、性与弱凸性相互独立偏好的凸性与弱凸性相互独立偏好的凸性与弱凸性相互独立：互不直接隐含互不直接隐含互不直接隐含互不直接隐含xyl凸偏好未必是弱凸的凸偏好未必是弱凸的，弱凸偏好也未必是凸的弱凸偏好也未必是凸的，而且存在既而且存在既凸又弱凸的偏好关系凸又弱凸的偏好关系。Preference Relation(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设3.偏好的凸性偏好的凸性(2)(2)凸偏好凸偏好凸偏好凸偏好34连续凸偏好连续凸偏好连续凸偏好连续凸偏好：必然弱凸必然弱凸必然弱凸必然弱凸Preference Relation(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设3.偏好的凸性偏好的凸性(2)(2)凸偏好凸偏好凸
37、偏好凸偏好n定理 设消费集合 X 为凸集，是 X 上连续的凸偏好关系。则对于任何 x,yX，x y，要么(t(0,1)(t x+(1-t)y y)，要么(t(0,1)(t x+(1-t)y y)。这就保证了连续的凸偏好必然弱凸连续的凸偏好必然弱凸。连续偏好很普遍，故通常情况下偏好的凸性蕴含着弱凸性，这就是“弱凸”的含义所在。另外，也确实存在着连续的弱凸但非凸的偏好关系。例例5.是连续连续的弱凸弱凸偏好但非凸非凸，如右图所示。Indiference curves35(3)(3)严格凸偏好严格凸偏好严格凸偏好严格凸偏好把两种不同方案加权平均后把两种不同方案加权平均后，其综合方案比原来较差的方其综合
38、方案比原来较差的方案要好案要好，这就是严格凸偏好严格凸偏好。即对任何x,yX 及 t(0,1)，如果 x y 且 x y，那么 t x+(1 t)y y。(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设Preference Relation3.偏好的凸性偏好的凸性无差异曲线无差异曲线又细又弯又细又弯!严格凸偏好不允许有厚度的无差异曲线存在，也不允许无差异曲线包含直线段。严格凸偏好不但凸，而且弱凸。之所以会有连续弱凸但非凸的偏好，是因为无差异曲线较厚。要使消费者需求唯一确定，就离不开偏好的(内部)严格凸性。364.偏好的单调性偏好的单调性(三三)关于偏好的假设关于偏好的假设Preference Relati
39、on也可用偏好的单调性来表达欲望无止境：数量越多越好。n定义 消费集合 X 上的偏好关系 称为是弱单调弱单调的，是指(x,yX)(x y)(x y)；单调单调的，是指(x,yX)(x y)(x y)；w严格单调严格单调的，是指(x,yX)(x y)(x y)；x强单调强单调的，是指(x,yX)(x u(y)(u(t x+(1-t)y)u(y)类似地，可给出一系列概念：u 弱拟凹弱拟凹是指 弱凸；u 严格严格拟凹拟凹是指 严格凸；u 内部严格拟凹内部严格拟凹是指 内部严格凸；u 弱单弱单调调是指 弱单调；u 单调单调是指 单调；u 严格单调严格单调是指 严格单调；u 强单调强单调是指 强单调。n
40、定理 设 u:X R 是偏好关系 的效用函数，M X。连续 当且仅当 u 等价于连续效用函数；无满足 当且仅当 u 在 X 上无最大值；w 局部无满足 当且仅当 u 在 X 中处处无极大值；x x 是 M 中的满足消费 当且仅当 x 是 u 在 M 上的最大值点。46(四四)效用梯度效用梯度Utility Function假定效用函数 u:X R 服从假设HU，xX。n效用梯度效用梯度：是指向量u(x)=(u1(x),u2(x),u(x)=u(x)。d x=(d x1,d x2,d x)d u =u1(x)d x1+u2(x)d x2+u(x)d x=u(x)d x可见，效用梯度指向效用增加最
41、快的方向：在不改变消费增向量d x的长度的情况下，沿着效用梯度方向去增加消费，效用才会增加得最多。l效用梯度效用梯度 u(x)是在点是在点 x 处让效处让效用函数用函数 u 的值增加最快的方向的值增加最快的方向。l效用梯度效用梯度 u(x)是通过点是通过点 x 的无的无差异曲线在点差异曲线在点 x 处的法向量处的法向量，其其大小与效用函数大小与效用函数 u 有关有关。法向量法向量无差异曲线无差异曲线471.方向不变性方向不变性Utility Function(四四)效用梯度效用梯度效用梯度与效用函数有关。表达同一偏好的效用函数无限多，同一点处的效用梯度也就无限多。下述定理表明，同一点处的这无数
42、多个效用梯度之间仅仅是长度差别，它们的方向都一样。这一特点就叫做效用梯度的方向不变性效用梯度的方向不变性。n定理 设 u 和 v 是等价的效用函数，它们都在消费集合 X 内部一阶连续可微，并且在 X 内部各点处的各个一阶偏导数不会同时全为零。则对任何 xint X，都有 u(x)int uX 且存在映射 :uX R 满足如下三个条件：对任何 xX，都有 v(x)=(u(x)；在 uX 内部可微，并且对任何 rint uX，都有(r)0；w对任何 xint X，都有v(x)=(u(x)u(x)，从而下式成立：482.偏好梯度偏好梯度Utility Function(四四)效用梯度效用梯度既然效用
43、梯度具有方向不变性，我们便可引入只与偏好关系有关，而与效用函数的具体选择无关的偏好梯度概念。n定义 设 u:X R 是偏好关系 的效用函数，且在 X 内部一阶连续可微，在 X 内部各点处的各个一阶偏到数不同时全为零。对于x X，我们把单位向量 称为 x 处的偏偏好梯度好梯度。l序数效用的基数含义序数效用的基数含义：序数效用本不具有量的含义，但现在偏好梯度始终指向效用增加最快的方向，这在一定程度上给偏好关系和序数效用赋予了量(基数)的含义，为基数效用论提供了一定的理论依据：在序数效用函数 u 下，效用增加量u(x)-u(y)在具有了“量差”的基数意义（本来，只有在基数效用下谈效用增加量才有实际意
44、义）。49第第3次作业次作业1.设消费集合 X 是凸集，是 X 上的偏好关系。证明：弱凸当且仅当对任何 zX，集合 Q(z)=xX:x z 是凸集。2.设消费集合 ，是 X 上严格单调的连续偏好关系。证明：是单调的。3.证明：对于严格凸偏好来说，强单调性等价于单调性，严格单调性等价于弱单调性。4.证明：如果 是消费者的效用函数，那么函数 也是消费者的效用函数，即 v 与 u 是等价的效用函数，其中 i 0,i=i/(1+2+)(i=1,2,)。5.设消费者的消费集合 X=R+，效用函数 u(x)=x。证明：u(x)是拟凹的凸函数。(10月月19日前，通过日前，通过e-mail交给助教交给助教胡谍胡谍)50