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1、第九节第九节 连续函数的运算连续函数的运算 与初等函数的连续性与初等函数的连续性一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结四、小结一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1例如例如,二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理3 3证证将上两步合起来将上两步合起来:意义意义1.极限符号可以与函数
2、符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1解解例例2 2解解同理可得同理可得定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函
3、数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.例例3 3例例4 4解解解解四、小结四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.思考题思考题思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点练练 习习 题题练习题答案练习题答案