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1、WY第八章第八章非线性非线性方程求解方程求解 8-1阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY第八章第八章 非线性方程求解目录非线性方程求解目录 1对分法对分法2迭代法迭代法2.1迭代法的基本思想迭代法的基本思想2.2迭代法的收敛条件迭代法的收敛条件2.3 Steffensen方方 法法 简简 单单 迭迭 代代法的加速法的加速3Newton法与弦截法法与弦截法3.1Newton法法3.2弦截法弦截法4抛物线法抛物线法2阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY第八章第八章 非线性方程求解概述非线性方程求解概述 很多科学计算问题常常很多科学计算问题常常很多科学计算问题常常很多科学计算问题常常归结为求解方
2、程：归结为求解方程：归结为求解方程：归结为求解方程：3阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY非线性方程求解概述非线性方程求解概述(续）续）例如，从曲线例如，从曲线例如，从曲线例如，从曲线y y=x x和和和和y y=lglg x x的简单草图可看出方程的简单草图可看出方程的简单草图可看出方程的简单草图可看出方程lglg x x+x x=0=0有唯一的正根有唯一的正根有唯一的正根有唯一的正根x x*，但是没有求但是没有求但是没有求但是没有求x x*的准确值的已的准确值的已的准确值的已的准确值的已知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。知
3、方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。对于二次方程对于二次方程对于二次方程对于二次方程axax2 2+bx+cbx+c=0=0，我们可以用熟悉的求根公式：我们可以用熟悉的求根公式：我们可以用熟悉的求根公式：我们可以用熟悉的求根公式：对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能不实用。而对于大于等于五次的代数方程
4、，它的根不能不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。依靠某种数值方法来求其近似解。依靠某种数值方法来求其近似解。依靠某种数值方法来求其近似解。对于方程（对于方程（对于方程（对于方
5、程（8-18-1）要求得其准确解一般来说是不可能的。）要求得其准确解一般来说是不可能的。）要求得其准确解一般来说是不可能的。）要求得其准确解一般来说是不可能的。4阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY求方程根近似解的几个问题：求方程根近似解的几个问题：求方程根的近似解，一般有下列几个问题：求方程根的近似解，一般有下列几个问题：求方程根的近似解，一般有下列几个问题：求方程根的近似解，一般有下列几个问题：3.3.3.3.根的精确化：根的精确化：根的精确化：根的精确化：已知一个根的粗略近似值后，建立计算已知一个根的粗略近似值后，建立计算已知一个根的粗略近似值后，建立计算已知一个根的粗略近似值后，建立
6、计算方法将近似解逐步精确化，直到满足给定精度为止。方法将近似解逐步精确化，直到满足给定精度为止。方法将近似解逐步精确化，直到满足给定精度为止。方法将近似解逐步精确化，直到满足给定精度为止。设函数设函数设函数设函数f f(x x)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且f f(a a)f f(b b)0)0，则在则在则在则在 a a,b b 内方程内方程内方程内方程f f(x x)=0)=0有且仅有一个实根。有且仅有一个实根。有且仅有一个实根。有且仅有一个实根。根据此结论，我们可以采用如下两种方法求出根的隔根据此结
7、论，我们可以采用如下两种方法求出根的隔根据此结论，我们可以采用如下两种方法求出根的隔根据此结论，我们可以采用如下两种方法求出根的隔离区间。离区间。离区间。离区间。1.1.根的存在性：根的存在性：根的存在性：根的存在性：方程是否有根？如果有根，有几个根？方程是否有根？如果有根，有几个根？方程是否有根？如果有根，有几个根？方程是否有根？如果有根，有几个根？2.2.2.2.根的隔离：根的隔离：根的隔离：根的隔离：确定根所在的区间，使方程在这个小区间确定根所在的区间，使方程在这个小区间确定根所在的区间，使方程在这个小区间确定根所在的区间，使方程在这个小区间内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离，完成根
8、的隔内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离，完成根的隔内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离，完成根的隔内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离，完成根的隔离，就可得到方程的各个根的近似值。离，就可得到方程的各个根的近似值。离，就可得到方程的各个根的近似值。离，就可得到方程的各个根的近似值。关于根的存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关于根的存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关于根的存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关于根的存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关代数学内容。关代数学内容。关代数学内容。关代数学内容。根的隔离主要依据如下结论：根的隔离主要依据如下结论：根的隔离主
9、要依据如下结论：根的隔离主要依据如下结论：5阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY求根的隔离区间的两种方法求根的隔离区间的两种方法 1.1.描图法：描图法：描图法：描图法：画出画出画出画出y=y=f f(x x)的草图，由的草图，由的草图，由的草图，由f f(x x)与与与与x x轴交点的大概轴交点的大概轴交点的大概轴交点的大概位置来确定有根区间。也可利用导函数位置来确定有根区间。也可利用导函数位置来确定有根区间。也可利用导函数位置来确定有根区间。也可利用导函数f f (x x)的正、负与的正、负与的正、负与的正、负与函数函数函数函数f f(x x)的单调性的关系来确定根的大概位置。的单调性的
10、关系来确定根的大概位置。的单调性的关系来确定根的大概位置。的单调性的关系来确定根的大概位置。例例例例1 1 求求求求f f(x x)=3)=3x x 1 1 coscos x x=0=0的有根区间的有根区间的有根区间的有根区间解：解：解：解：将方程变形为将方程变形为将方程变形为将方程变形为3 3x x 1=1=coscos x x绘出曲线绘出曲线绘出曲线绘出曲线 y y=3=3x x 1 1及及及及 y y=coscos x x，由图由图由图由图8-18-1可知，方程只有一个可知，方程只有一个可知，方程只有一个可知，方程只有一个实根：实根：实根：实根：yxx x*图图图图8-18-1例例例例2
11、 2紧接下屏紧接下屏紧接下屏紧接下屏6阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY例例2（续）（续）2.2.逐步搜索法：逐步搜索法：逐步搜索法：逐步搜索法：从区间从区间从区间从区间 a a,b b 的左端点的左端点的左端点的左端点a a出发，按选定的出发，按选定的出发，按选定的出发，按选定的步长步长步长步长h h一步步向右搜索，若一步步向右搜索，若一步步向右搜索，若一步步向右搜索，若:则区间则区间则区间则区间 a a+jhjh,a a+(+(j j+1)+1)h h 内必有根。搜索过程也可以内必有根。搜索过程也可以内必有根。搜索过程也可以内必有根。搜索过程也可以从从从从 b b开始，这时应取步长开始
12、，这时应取步长开始，这时应取步长开始，这时应取步长h h00,)0,f f(0)=10,(0)=10,f f(3)=(3)=260,260)0所以仅有二个实根，所以仅有二个实根，所以仅有二个实根，所以仅有二个实根，分别位于分别位于分别位于分别位于(0,3),(3,(0,3),(3,)内。又因内。又因内。又因内。又因f f(4)=10,(4)=10,所以，二个所以，二个所以，二个所以，二个隔根区间确定为隔根区间确定为隔根区间确定为隔根区间确定为(0,3),(3,4)(0,3),(3,4)。7阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY1对分法对分法设设设设f f(x x)在区间在区间在区间在区间 a
13、a,b b 上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且上连续，严格单调，且f f(a a)f f(b b)0)0，不妨设不妨设不妨设不妨设f f(a a)0,)0)0，则方程则方程则方程则方程f f(x x)=0)=0在在在在 a a,b b 内存在唯一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方内存在唯一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方内存在唯一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方内存在唯一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方法，通过判别函数法，通过判别函数法，通过判别函数法，通过判别函数f f(x x)在每个对分区间中点的符号，逐步在每个对分区间中点的符号，逐
14、步在每个对分区间中点的符号，逐步在每个对分区间中点的符号，逐步将有根区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似将有根区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似将有根区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似将有根区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体步骤为根。具体步骤为根。具体步骤为根。具体步骤为:8阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY对分法（续）对分法（续）若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限地进行下去，当上述过程将无限地进行下去，当n时，区间将时，区间将最终收缩为一点最终收缩为一点x*，显然显然x*就是所求方程
15、的根。就是所求方程的根。9阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY对分法的误差估计对分法的误差估计作为作为作为作为x x*的近似值，则误差为：的近似值，则误差为：的近似值，则误差为：的近似值，则误差为：只要只要只要只要n n足够大（即区间对分次数足够多），足够大（即区间对分次数足够多），足够大（即区间对分次数足够多），足够大（即区间对分次数足够多），x xn n的误差就的误差就的误差就的误差就可足够小，且只要可足够小，且只要可足够小，且只要可足够小，且只要f f(x x)连续，对分区间总是收敛的。连续，对分区间总是收敛的。连续，对分区间总是收敛的。连续，对分区间总是收敛的。式（式（式（式（8-2
16、8-2）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以给定的误差限给定的误差限给定的误差限给定的误差限 估计出对分区间的次数，因为由式（估计出对分区间的次数，因为由式（估计出对分区间的次数，因为由式（估计出对分区间的次数，因为由式（8-28-2）有：有：有：有：若取区间若取区间若取区间若取区间 a an n,b bn n 的中点：的中点：的中点：的中点：10阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY对分法举例对分法举例例例3解：解：解：解：因为因为因为因为f f(x x)连续且连续且连续
17、且连续且f f (x x)=3)=3x x2 2+100(+100(x x (,)，故故故故f f(x x)在在在在(,)上单调增加上单调增加上单调增加上单调增加而而而而f f(1)=(1)=90,90(2)=80所以所以所以所以原方程在（原方程在（原方程在（原方程在（1 1，2 2）内有唯一实根。）内有唯一实根。）内有唯一实根。）内有唯一实根。N Na an nb bn nx xn nf f(x xn n)0 01 12 21.51.5-1.625-1.6251 11.51.52 21.751.752.8593752.8593752 21.51.51.751.751.6251.6250.54
18、1015630.541015633 31.51.51.6251.6251.56251.5625-0.56030273-0.560302734 41.56251.56251.6251.6251.593751.59375-0.01431274-0.014312745 51.593751.593751.6251.6251.6093751.6093750.262172700.262172706 61.593751.593751.60937501.60937501.60156251.60156250.123636720.123636727 71.593751.593751.60156251.601562
19、51.59765621.59765620.054588850.054588858 81.593751.593751.59765621.59765621.59570311.59570310.020119790.020119799 91.593751.593751.59570311.59570311.59472661.59472660.002898960.0028989610101.593751.593751.59472661.59472661.59423831.5942383-0.00570803-0.0057080311111.59423831.59423831.59472661.594726
20、61.59448241.5944824-0.00140482-0.0014048212121.59448241.59448241.59472661.59472661.59460451.59460450.000747000.0007470013131.59448241.59448241.59460451.59460451.59454351.5945435-0.00032893-0.0003289314141.59454361.59454361.59460461.59460461.59457411.5945741 表表表表8-18-111阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY对分法的优缺点对分法的
21、优缺点对分法的优点是计算简单，对分法的优点是计算简单，方法可靠，容易估计误差。方法可靠，容易估计误差。但它收敛较慢，不能求偶次但它收敛较慢，不能求偶次重根，也不能求复根。重根，也不能求复根。因此，一般在求方程近似根因此，一般在求方程近似根时，很少单独使用，常用于为其时，很少单独使用，常用于为其他高速收敛算法（如牛顿法）提他高速收敛算法（如牛顿法）提供初值。供初值。12阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY2 2 迭代法迭代法 迭代法迭代法是求解方程是求解方程f(x)=0的根的一种主要方法。它是利的根的一种主要方法。它是利用同一个迭代公式，逐次逼近用同一个迭代公式，逐次逼近方程的根，使其得到满足
22、预先方程的根，使其得到满足预先给定精度要求的近似值。给定精度要求的近似值。13阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY2.1迭代法的基本思想迭代法的基本思想迭代法是一种重要的逐次逼近法，迭代法是一种重要的逐次逼近法，迭代法是一种重要的逐次逼近法，迭代法是一种重要的逐次逼近法，其基本思想是其基本思想是其基本思想是其基本思想是：设方程设方程设方程设方程f f(x x)=0)=0在区间在区间在区间在区间 a a,b b 内有一根内有一根内有一根内有一根x x*，将方程化为等将方程化为等将方程化为等将方程化为等价方程价方程价方程价方程x x=(x x)，并在并在并在并在 a a,b b 内任取一点内任取
23、一点内任取一点内任取一点x x0 0作为初始近似作为初始近似作为初始近似作为初始近似值，然后按迭代公式计算：值，然后按迭代公式计算：值，然后按迭代公式计算：值，然后按迭代公式计算：产生迭代序列产生迭代序列产生迭代序列产生迭代序列x x0 0,x x1 1,x xn n,显然，若显然，若显然，若显然，若 x xn n 收敛于收敛于收敛于收敛于x x*，(x x)在在在在x x*处连续，就有处连续，就有处连续，就有处连续，就有:这种求根方法称为这种求根方法称为这种求根方法称为这种求根方法称为迭代法迭代法迭代法迭代法，式（，式（，式（，式（8-38-3）称为）称为）称为）称为迭代格式迭代格式迭代格式
24、迭代格式，(x x)称为称为称为称为迭代函数迭代函数迭代函数迭代函数，x x0 0称为称为称为称为迭代初值迭代初值迭代初值迭代初值，x xn n 称为称为称为称为迭代序列迭代序列迭代序列迭代序列如果迭代序列收敛，则称迭代格式（如果迭代序列收敛，则称迭代格式（如果迭代序列收敛，则称迭代格式（如果迭代序列收敛，则称迭代格式（8-38-3）收敛收敛收敛收敛，否，否，否，否则称为则称为则称为则称为发散发散发散发散。即：即：即：即：x x*是方程是方程是方程是方程f f(x x)=0)=0的解。的解。的解。的解。故：当故：当故：当故：当n n充分大时，可取充分大时，可取充分大时，可取充分大时，可取x x
25、n n作为方程的近似解。作为方程的近似解。作为方程的近似解。作为方程的近似解。满足x=(x)的点的点x也称为不点动也称为不点动14阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY迭代法举例迭代法举例例例4解：解：解：解：容易验证，容易验证，容易验证，容易验证，方程在方程在方程在方程在1,21,2内内内内有根，取有根，取有根，取有根，取x x0 0=1.5=1.515阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY例例4（续）（续）n nx xn nn nx xn n0 01.51.58 81.59449341.59449341 11.63265311.63265319 91.59459001.59459002 2
26、1.57908581.579085810101.59455081.59455083 31.60083091.600830911111.59456671.59456674 41.59201961.592019612121.59456031.59456035 51.59559281.595592813131.59456291.59456296 61.59414421.594144214141.59456181.59456187 71.59473151.594731515151.59456221.5945622表表8-216阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY迭代法举例续迭代法举例续例例例例5 5
27、 解解解解：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：对方程进行变换，可得如下三种等价形式：分别按以上三种分别按以上三种分别按以上三种分别按以上三种形式建立迭代格式，形式建立迭代格式，形式建立迭代格式，形式建立迭代格式，并取并取并取并取x x00=1=1进行迭代进行迭代进行迭代进行迭代计算，结果如下：计算，结果如下：计算，结果如下：计算，结果如下：例例例例5 5的计算结果表明：的计算结果表明：的计算结果表明：的计算结果表明：将一方程化为等价方程的方法很多，将一方程化为等价方程的方法很多，将一方程化为等价方程的方法很多，将一
28、方程化为等价方程的方法很多，由此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而由此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而由此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而由此可构造许多不同的迭代函数，得到多种迭代格式。而它们所产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收它们所产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收它们所产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收它们所产生的迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收敛很快，也可能收敛很慢。敛很快，也可能收敛很慢。敛很快，也可能收敛很慢。敛很快，也可能收敛很慢。迭代法的收敛性取决于迭代函迭代法的收敛性取决于迭代函迭代法的收敛性取决于迭代
29、函迭代法的收敛性取决于迭代函数在方程的根的邻近的性态。数在方程的根的邻近的性态。数在方程的根的邻近的性态。数在方程的根的邻近的性态。17阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY迭代法的几何含义迭代法的几何含义从几何上看，迭代法是将求曲线从几何上看，迭代法是将求曲线从几何上看，迭代法是将求曲线从几何上看，迭代法是将求曲线y y=f f(x x)的零点问题化的零点问题化的零点问题化的零点问题化为求曲线为求曲线为求曲线为求曲线y y=(x x)与直线与直线与直线与直线y y=x x的交点，迭代过程如图的交点，迭代过程如图的交点，迭代过程如图的交点，迭代过程如图8-28-2所示，从初始点所示，从初始点所
30、示，从初始点所示，从初始点x x0 0出发，沿直线出发，沿直线出发，沿直线出发，沿直线x x=x x0 0走到曲线走到曲线走到曲线走到曲线y y=(x x)，得点得点得点得点(x x0 0,(x x0 0)，再沿直线再沿直线再沿直线再沿直线y y=(x x0 0)走到直线走到直线走到直线走到直线y y=x x，交交交交点点点点为为为为(x x1 1,(x(x1)1)，如此继续下去，越来越接近点如此继续下去，越来越接近点如此继续下去，越来越接近点如此继续下去，越来越接近点(x x*,*,x x*)*)。y=xy=(x)xx0 x2x*x1xyy y=x xy y=(x x)x x2 2x x0
31、0 x*x x1 1图图图图8-28-218阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY当然，迭代过程也可能出现图当然，迭代过程也可能出现图当然，迭代过程也可能出现图当然，迭代过程也可能出现图8-38-3所示的情况，此时点所示的情况，此时点所示的情况，此时点所示的情况，此时点(x xn n,x xn n)越来越远离交点越来越远离交点越来越远离交点越来越远离交点(x x*,*,x x*)*)，迭代序列发散迭代序列发散迭代序列发散迭代序列发散。yy=xy=(x)xx2x0 x*x3x1y=xy=(x)xx2x0 x*x1图图图图8-38-3由此可见，由此可见，由此可见，由此可见，使用迭代法必须解决两个问
32、题使用迭代法必须解决两个问题使用迭代法必须解决两个问题使用迭代法必须解决两个问题：一是一是一是一是迭代迭代迭代迭代格式满足什么条件才能保证收敛；格式满足什么条件才能保证收敛；格式满足什么条件才能保证收敛；格式满足什么条件才能保证收敛；二是二是二是二是如何判别迭代收敛如何判别迭代收敛如何判别迭代收敛如何判别迭代收敛的速度，建立收敛快的迭代格式。的速度，建立收敛快的迭代格式。的速度，建立收敛快的迭代格式。的速度，建立收敛快的迭代格式。迭代法的几何含义（续）迭代法的几何含义（续）19阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY2.2迭代法的收敛条件迭代法的收敛条件（三大定理）（三大定理）（三大定理）（三大
33、定理）定理定理8.1（压缩映象原理）（压缩映象原理）（压缩映象原理）（压缩映象原理）设设设设函数函数函数函数 (x x)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上满足条件：上满足条件：上满足条件：上满足条件：则则则则方程方程方程方程x x=(x x)在在在在 a a,b b 内有唯一的内有唯一的内有唯一的内有唯一的根根根根x x*，且对任意且对任意且对任意且对任意初值初值初值初值x x00 a a,b b，迭代序列：迭代序列：迭代序列：迭代序列：证明见下屏：证明见下屏：证明见下屏：证明见下屏：定定定定理理理理 给给给给出出出出了了了了判判判判别别别别迭迭迭迭代代代代收收收收敛敛敛敛的的的的充
34、充充充分分分分条条条条件件件件。8.18.120阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY对任意的对任意的x0 a,b，由迭代公式有：由迭代公式有：即对任意初值即对任意初值x0 a,b，迭代序列迭代序列xn均收敛到方程均收敛到方程的根的根x*。压缩映象原理的证明（续压缩映象原理的证明（续1）（收敛性）收敛性）22阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY类似地，对任意正整数类似地，对任意正整数类似地，对任意正整数类似地，对任意正整数K K，有有有有：定理定理定理定理8.18.1证明中的两个误差估计式证明中的两个误差估计式证明中的两个误差估计式证明中的两个误差估计式（8 8-5-5）,（8 8-6-6）
35、是很有意义的。）是很有意义的。）是很有意义的。）是很有意义的。压缩映象原理的证明（续压缩映象原理的证明（续2）（误差估计公式）（误差估计公式）利用利用利用利用23阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY两个重要误差公式说明两个重要误差公式说明1.式式式式（8-58-5）说明，在正常情况下，即说明，在正常情况下，即说明，在正常情况下，即说明，在正常情况下，即L L不太接近于不太接近于不太接近于不太接近于1 1（若（若（若（若L L接近于接近于接近于接近于1 1，则收敛速度很慢），则收敛速度很慢），则收敛速度很慢），则收敛速度很慢），可用相邻两次迭代值可用相邻两次迭代值可用相邻两次迭代值可用相邻两次
36、迭代值之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数之差的绝对值来估计误差，控制迭代次数。就停止计算，取就停止计算，取就停止计算，取就停止计算，取x xn n作为方程的近似根。作为方程的近似根。作为方程的近似根。作为方程的近似根。这种用相邻两次计这种用相邻两次计这种用相邻两次计这种用相邻两次计算结果来估计误差的方法，称为算结果来估计误差的方法，称为算结果来估计误差的方法，称为算结果来估计误差的方法，称为事后估计法事后估计法。即当给定精度即当给定精度即当给定精度即当给定精度时，如果有：时，如果有：时，如果有：时，如果有：24阜师院数科
37、院第八章 非线性方程求解WY2.而式而式而式而式（8-68-6）的误差估计，称为的误差估计，称为的误差估计，称为的误差估计，称为事前估计法事前估计法，因为用，因为用，因为用，因为用它可以估计出要达到给定精度它可以估计出要达到给定精度它可以估计出要达到给定精度它可以估计出要达到给定精度 所需次数所需次数所需次数所需次数n事实上，由事实上，由事实上，由事实上，由 注意：注意：定理定理定理定理8.18.1给出了判别迭代收敛的给出了判别迭代收敛的给出了判别迭代收敛的给出了判别迭代收敛的 充分条件充分条件充分条件充分条件。在实际计算时，由于。在实际计算时，由于。在实际计算时，由于。在实际计算时，由于L
38、L比较难求，而我们所讨比较难求，而我们所讨比较难求，而我们所讨比较难求，而我们所讨 论的函数通常是可导函数，因此，论的函数通常是可导函数，因此，论的函数通常是可导函数，因此，论的函数通常是可导函数，因此，实用的收敛条件是用实用的收敛条件是用实用的收敛条件是用实用的收敛条件是用 导数的界得到的导数的界得到的导数的界得到的导数的界得到的。见下屏的定理。见下屏的定理。见下屏的定理。见下屏的定理8.28.2：两个重要误差公式说明（续）两个重要误差公式说明（续）25阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY迭代法的收敛条件之二迭代法的收敛条件之二定理定理8.2 （1 1）对任意的）对任意的）对任意的）对任意
39、的x x a a,b b，有有有有 (x x)a a,b b；（2 2）存在常数存在常数存在常数存在常数00L L 11，使得对任意使得对任意使得对任意使得对任意x x a a,b b，都有：都有：都有：都有：则则则则方程方程方程方程x x=(x x)在在在在 a a,b b 上有唯一的根上有唯一的根上有唯一的根上有唯一的根x x*，且对任意初值且对任意初值且对任意初值且对任意初值x x0 0 a a,b b，迭代序列迭代序列迭代序列迭代序列：均收敛于均收敛于均收敛于均收敛于x x*，并有：并有：并有：并有：证明见下屏：证明见下屏：证明见下屏：证明见下屏：设设设设函数函数函数函数 (x x)在
40、区间在区间在区间在区间 a a,b b 上满足条件：上满足条件：上满足条件：上满足条件：26阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY定理定理8.2证明证明设设x,y为为a,b上的任意两点，由微分中值定理，在上的任意两点，由微分中值定理，在 x,y之间至少存在一点之间至少存在一点，使得，使得:于是于是：即即(x)满足定理满足定理8.1的条件（的条件（2），故结论成立。），故结论成立。27阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY定理定理2.2应用举例应用举例采用的三种迭代格式，采用的三种迭代格式，采用的三种迭代格式，采用的三种迭代格式，在隔根区间（在隔根区间（在隔根区间（在隔根区间（1,1.21,1.
41、2）内有：）内有：）内有：）内有：用定理用定理8.2判别简单迭代法的收敛性比定理判别简单迭代法的收敛性比定理8.1方便方便如对例题如对例题5：28阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第第一种迭代格式发散，第二、三种迭代格式收敛且第三种迭代格式比第二种迭代格式中的三种迭代格式比第二种迭代格式中的三种迭代格式比第二种迭代格式中的三种迭代格式比第二种迭代格式中的L L要小，因而收敛要要小，因而收敛要要小，因而收敛要要小，因而收敛要快得多，这与实际迭代结果完全吻合。
42、快得多，这与实际迭代结果完全吻合。快得多，这与实际迭代结果完全吻合。快得多，这与实际迭代结果完全吻合。故可取故可取故可取故可取n n=7=7，只需迭代只需迭代只需迭代只需迭代7 7次就可达到所要求的精度。次就可达到所要求的精度。次就可达到所要求的精度。次就可达到所要求的精度。定理定理2.2应用举例（续）应用举例（续）根据根据定理定理8.2可知，可知，对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过对第三种迭代格式，为使与方程近似根的误差不超过1010-6-6，可估计迭代次数：，可估计迭代次数：，可估计迭代
43、次数：，可估计迭代次数：29阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY应用举例应用举例LeonardoLeonardo于于于于12251225年研究了方程年研究了方程年研究了方程年研究了方程曾经轰动一时，因为没有人知道他用的是什么方法。曾经轰动一时，因为没有人知道他用的是什么方法。曾经轰动一时，因为没有人知道他用的是什么方法。曾经轰动一时，因为没有人知道他用的是什么方法。我们现在可用迭代法求解：我们现在可用迭代法求解：我们现在可用迭代法求解：我们现在可用迭代法求解：还可用还可用还可用还可用NewtonNewton法，法，法，法，弦截法求解弦截法求解弦截法求解弦截法求解30阜师院数科院第八章 非线性
44、方程求解WY迭代法的收敛条件之三迭代法的收敛条件之三定理定理8.3 31阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY定理定理定理定理8.38.3强调迭代初值强调迭代初值强调迭代初值强调迭代初值x x0 0应取在根应取在根应取在根应取在根x x*的邻域中。的邻域中。的邻域中。的邻域中。如果对如果对如果对如果对任意给定的任意给定的任意给定的任意给定的x x0 0，迭代格式均收敛，则称此格式具有迭代格式均收敛，则称此格式具有迭代格式均收敛，则称此格式具有迭代格式均收敛，则称此格式具有全局收全局收全局收全局收敛性敛性敛性敛性，但这样的格式是极其稀少的。如果对根，但这样的格式是极其稀少的。如果对根，但这样的格
45、式是极其稀少的。如果对根，但这样的格式是极其稀少的。如果对根x x*的某邻域的某邻域的某邻域的某邻域内的任一点内的任一点内的任一点内的任一点x x0 0，迭代格式均收敛，则此格式具有迭代格式均收敛，则此格式具有迭代格式均收敛，则此格式具有迭代格式均收敛，则此格式具有局部收敛局部收敛局部收敛局部收敛性性性性。即可保证对其中任取的一点即可保证对其中任取的一点即可保证对其中任取的一点即可保证对其中任取的一点x x0 0迭代收敛。事实上，在用迭迭代收敛。事实上，在用迭迭代收敛。事实上，在用迭迭代收敛。事实上，在用迭代法求解方程（代法求解方程（代法求解方程（代法求解方程（8-18-1）时，常常先用对分区
46、间求得较好的）时，常常先用对分区间求得较好的）时，常常先用对分区间求得较好的）时，常常先用对分区间求得较好的初值，然后再进行迭代。初值，然后再进行迭代。初值，然后再进行迭代。初值，然后再进行迭代。本定理给出的就是局部收敛性条件本定理给出的就是局部收敛性条件本定理给出的就是局部收敛性条件本定理给出的就是局部收敛性条件。具体解题时，虽然。具体解题时，虽然。具体解题时，虽然。具体解题时，虽然无法判别隔根区间是否为以无法判别隔根区间是否为以无法判别隔根区间是否为以无法判别隔根区间是否为以x x*为中心的邻域，但只要它足为中心的邻域，但只要它足为中心的邻域，但只要它足为中心的邻域，但只要它足够小，且在邻
47、域中满足：够小，且在邻域中满足：够小，且在邻域中满足：够小，且在邻域中满足：定理定理8.3（续）（续）32阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY2.3Steffensen方程方程简单迭代法的加速简单迭代法的加速简单迭代法的加速简单迭代法的加速 收敛速度（收敛速度的阶）：收敛速度（收敛速度的阶）：成立，则称成立，则称xn是是r 阶收敛的，或称阶收敛的，或称xn的收敛阶的收敛阶为为r，收敛阶收敛阶r 的大小刻划了序列的大小刻划了序列xn的收敛速度：的收敛速度：r 越大，收敛越快越大，收敛越快:r=1线性收敛线性收敛r 1超线性收敛超线性收敛r=2平方收敛平方收敛设序列设序列xn收敛于收敛于x*，若
48、存在正数若存在正数r和和a使得：使得：33阜师院数科院第八章 非线性方程求解WYxn的的r 阶收敛定理阶收敛定理定理定理8.4设迭代函数设迭代函数(x)在在x*邻近有邻近有r阶连续导数，阶连续导数，且且x*=(x*)，并且有并且有证明：证明：1）(x)满足收敛定理的条件满足收敛定理的条件xnx*；紧接下屏紧接下屏紧接下屏紧接下屏34阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY定理定理2.4（续）（续）2 2）利用）利用）利用）利用TaylorTaylor公式将公式将公式将公式将 (x x)在在在在x x*附近展开附近展开附近展开附近展开：这表明：这表明：这表明：这表明：x xn n 是是是是r r阶
49、收敛的。阶收敛的。阶收敛的。阶收敛的。一阶收敛即为线性收敛，收敛速度较慢，下面想法加速：一阶收敛即为线性收敛，收敛速度较慢，下面想法加速：一阶收敛即为线性收敛，收敛速度较慢，下面想法加速：一阶收敛即为线性收敛，收敛速度较慢，下面想法加速：35阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY1、Aitken加速法加速法若序列若序列xn线性收敛于线性收敛于x*，可按式：可按式：当当当当n n充分大时，有：充分大时，有：充分大时，有：充分大时，有：紧接下屏紧接下屏紧接下屏紧接下屏36阜师院数科院第八章 非线性方程求解WYAitken加速法（续）加速法（续）由此式可推导出：由此式可推导出：由此式可推导出：由此式
50、可推导出：由此可得比值：由此可得比值：由此可得比值：由此可得比值：37阜师院数科院第八章 非线性方程求解WY2、Steffensen加速收敛式加速收敛式将将将将AitkenAitken加速法与简单迭代格式加速法与简单迭代格式加速法与简单迭代格式加速法与简单迭代格式x xn n+1+1 =(x xn n)相结合相结合相结合相结合就得到就得到就得到就得到 Steffensen加速收敛式加速收敛式加速收敛式加速收敛式：当当当当n n 时，比值中分子趋于时，比值中分子趋于时，比值中分子趋于时，比值中分子趋于0 0的速度比分母趋于的速度比分母趋于的速度比分母趋于的速度比分母趋于0 0的速度快，亦即分子是