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1、数字逻辑逻辑代数基础1现在学习的是第1页，共77页2.1 逻辑代数的基本概念逻逻辑辑代代数数：是是由由逻逻辑辑变变量量集集、常常量量“0”“0”、“1”“1”及及“与与”、“或或”、“非非”等等运运算算符符号号、函函数数、表表达达式式等等构构成成的的代代数数系系统统。利利用用逻逻辑辑代代数数可可以以描描述述任任何何复复杂杂的的电电路中条件与输出结果间的逻辑关系。路中条件与输出结果间的逻辑关系。逻逻辑辑代代数数中中也也用用字字母母表表示示变变量量,这这种种变变量量称称为为逻逻辑辑变变量量。变变量量的的取取值值只只能能是是1 1或或0 0，代代表表逻逻辑辑电电路路中中两两种种不不同同的的逻逻辑辑状
2、状态态，如如开开关关的的闭闭合合与与打打开开，电电路路的的导导通通与与截截止止，电电压与电流的有或无等。压与电流的有或无等。2现在学习的是第2页，共77页1、基本逻辑运算1）逻辑“与”运算 对对于于逻逻辑辑问问题题，如如果果决决定定某某一一事事件件发发生生的的多多个个条条件件必必须须同同时时具具备备，事事件件才才能能发发生生，则则这这种种因因果果关关系系称称之之为为“与与”逻辑。逻辑代数中，逻辑。逻辑代数中，“与与”逻辑关系用逻辑关系用“与与”运算描述。运算描述。“与与”运运算算又又称称为为逻逻辑辑乘乘，其其符符号号为为“”“”、“”、“AND”AND”。逻辑表达式：逻辑表达式：F=AF=AB
3、=AB=B=AB=1 (A、B均为1)0 (A、B中任一为0)3现在学习的是第3页，共77页4现在学习的是第4页，共77页2）逻辑“或”运算 对对于于逻逻辑辑问问题题，如如果果决决定定某某一一事事件件发发生生的的多多个个条条件件中中，只只要要有有一一个个或或一一个个以以上上条条件件成成立立，事事件件便便可可发发生生，则则这这种种因因果果关关系系称称之之为为“或或”逻逻辑辑。逻逻辑辑代代数数中中，“或或”逻辑关系用逻辑关系用“或或”运算描述。运算描述。“或或”运运算算又又称称为为逻逻辑辑加加，其其符符号号为为“+”“+”、“”、“OR”OR”。逻辑表达式：逻辑表达式：F=A+B=AF=A+B=A
4、B=B=1 (A、B中任一为1)0 (A、B均为0)5现在学习的是第5页，共77页举例6现在学习的是第6页，共77页3）逻辑“非”运算 对对逻逻辑辑问问题题，如如果果某某一一事事件件的的发发生生取取决决于于条条件件的的否否定定，即即事事件件与与事事件件发发生生的的条条件件之之间间构构成成矛矛盾盾，则则这这种种因因果果关关系系称称为为“非非”逻逻辑辑。逻逻辑辑“非非”又又称称为逻辑反运算为逻辑反运算.运算符号：运算符号：“”（上面加横线）（上面加横线）逻辑表达式为：逻辑表达式为：F=F=A1 （A=0）0 （A=1）7现在学习的是第7页，共77页4）复合逻辑运算与非逻辑与非逻辑或非逻辑或非逻辑与
5、或非逻辑与或非逻辑异或逻辑异或逻辑同或逻辑同或逻辑8现在学习的是第8页，共77页3、逻辑函数在在数数字字电电路路中中，如如某某一一输输出出变变量量与与一一组组输输入入变变量量存存在在着着一一定定对对应应关关系系，即即输输入入变变量量取取任任意意一一组组确确定定的的值值，输输出出变变量量的的值值也也就就唯唯一一地地被被确确定定，则则称称这这种种关关系系为为逻逻辑辑函函数数关关系系。设设输输入入变变量量为为A1,A2,An,A1,A2,An,输输出变量为出变量为F F，则：则：F=f(A1,A2,An)F=f(A1,A2,An)。注意：注意：1.1.无论自变量或函数均只能取无论自变量或函数均只能取
6、0 0或或1 1两值。函数和自变量的关两值。函数和自变量的关系只能由系只能由“与与”、“或或”、“非非”三种基本运算来定义。三种基本运算来定义。2.2.设设F1=fF1=f(A1,A2,(A1,A2,An)An)，F2=fF2=f(A1,A2,(A1,A2,An)An)，若若对对应应于于A1,A2,A1,A2,AnAn的的任任何何一一组组取取值值，F1F1和和F2F2的的值值都都相相同同，则则称称函函数数F1F1和和F2F2相相等等，记成记成F1=F2F1=F2。9现在学习的是第9页，共77页2.2 逻辑代数的公理、定理及规则1.1.公理系统：公理系统：(满足一致性、独立性和完备性满足一致性、
7、独立性和完备性)交换律：交换律：A+B=B+AA+B=B+A，AB=BAAB=BA；结合律结合律：(A+B)+C=A+(B+C);(AB)C=A(BC)A+B)+C=A+(B+C);(AB)C=A(BC)分配律：分配律：A+(BC)=(A+B)(A+C)A+(BC)=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC A(B+C)=AB+AC0-10-1律：律：A+0=AA+0=A，A1=AA1=A；A+1=1A+1=1，A0=0A0=0互补律：互补律：A+A=1A+A=1，AA=0AA=010现在学习的是第10页，共77页2、基本定理(由上述公理推出下述基本定理)定理定理1 1：0+0=00+0=
8、0，1+0=11+0=1，0+1=10+1=1，1+1=11+1=1 00=0 00=0，10=010=0，01=001=0，11=111=1证明：由公理证明：由公理4 4(0-1(0-1律律)，分别以，分别以0 0和和1 1代替代替A A，可得上述各式。可得上述各式。推论：推论：1=01=0，0=10=1证明：由公理证明：由公理5 5(互补律互补律)，分别以，分别以0 0和和1 1代替代替A A，可得上述两式。可得上述两式。11现在学习的是第11页，共77页定理2：A+A=A，AA=A （重叠律）证明：A+A=(A+A)1 公理4（0-1律）=(A+A)(A+A)公理5（互补律）=A+(AA
9、)公理3（分配律）=A+0 公理5 =A 公理4证明：AA=AA+0 公理4 =AA+AA 公理5 =A(A+A)公理3 =A 公理412现在学习的是第12页，共77页定理3：A+AB=A （吸收律）证明：A+AB=A1+AB 公理4（0-1律）=A(1+B)公理3（分配律）=A1 公理4 =A 公理4 A(A+B)=A证明：A(A+B)=AA+AB 公理3 =A+AB =A 13现在学习的是第13页，共77页定理4：A+AB=A+B（消因律）证明：A+AB=(A+A)(A+B)(分配律)=1(A+B)(互补律)=A+B (0-1律)A(A+B)=AB证明:A(A+B)=AA+AB (分配律)
10、=0+AB (互补律)=AB (0-1律)14现在学习的是第14页，共77页定理5：A=A （还原律）证明:由公理5可以得出A=A15现在学习的是第15页，共77页定理6：(摩根定理)(是最重要和有用的定理)A+B=AB AB=A+B 证明:定义两组逻辑式为A+B和AB，则(AB)+(A+B)=(AB+A)+B 结合律 =(A+AB)+B 交换律 =(A+A)(A+B)+B 分配律 =1(A+B)+B=(A+B)+B =A+1=1(AB)(A+B)=ABA+ABB 分配律 =B0+A0 互补律 =0+0=016现在学习的是第16页，共77页因此，根据公理5（互补律）可得到：A+B=AB，或是
11、A+B=AB 即得证同理，可证明：AB=A+B17现在学习的是第17页，共77页定理7（合并律）AB+AB=A (A+B)(A+B)=A证明：AB+AB=A(B+B)公理3 =A1 公理5 =A 公理4 (A+B)(A+B)=A+(BB)公理3 =A+0 公理5 =A 公理4 18现在学习的是第18页，共77页定理8（包含律、多余项定理）：AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)19现在学习的是第19页，共77页3、逻辑代数三条重要规则规则规则1 1：代入规则：代入规则任任何何一一个个含含有有变变量量A A的的逻逻辑辑等等式式，如如果果将将所所有有出出现
12、现A A的的位置都代之以同一个逻辑函数位置都代之以同一个逻辑函数F F，则等式仍然成立。，则等式仍然成立。用用途途：利利用用代代入入规规则则，可可以以将将逻逻辑辑代代数数公公理理、定定理理中中的的变量用任意函数代替，从而推导出更多的等式。变量用任意函数代替，从而推导出更多的等式。20现在学习的是第20页，共77页规则2：反演规则：如果将逻辑函数式F中所有的“”变成“+”，“+”变成“”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，则所得到的新函数表达式为原函数F的反函数F。例：F=AB+BCD，则 F=(A+B)(B+C+D)用途：利用反演规则，可以方便地求出一个函
13、数的反函数。21现在学习的是第21页，共77页规则3：对偶规则：如果将逻辑函数式F中所有的“”变成“+”，“+”变成“”，“0”变成“1”，“1”变成“0”，而逻辑变量保持不变，则所得到的新函数表达式称为原函数F的对偶式，记作F。对偶规则:若F和G相等,则F和G也相等。即若两函数相等，则其对偶式也相等。用途：根据对偶规则,若某两个逻辑函数表达式相等,则它们的对偶式也必定相等。可使定理和公式的证明减少一半。（如定理7、8等）22现在学习的是第22页，共77页2.3 逻辑函数的表达形式与转换2.3.1 逻辑函数的表示方法：逻辑函数的表示方法：1、逻辑表达式：、逻辑表达式：即即由由逻逻辑辑变变量量、
14、逻逻辑辑常常量量和和运运算算符符所所构构成成的的式式子子。前前面已经通过逻辑表达式讨论了公理、定理和规则。面已经通过逻辑表达式讨论了公理、定理和规则。注注意意：非非运运算算可可以以不不加加括括号号、与与运运算算符符通通常常省省略略、运算优先级由高到低为非、与、或。运算优先级由高到低为非、与、或。23现在学习的是第23页，共77页逻辑函数表达式的基本形式1 1、“积之和积之和”是是指指一一个个函函数数表表达达式式中中包包含含着着若若干干个个“积积”项项，每每个个“积积”项项中中可可有有一一个个或或多多个个以以原原变变量量或或反反变变量量形形式式出出现现的的字字母母，所所有有这这些些“积积”项项的
15、的“和和”就就表表示示了了一一个个函函数数。例例如如：B B、ABAB、ABCABC均均为为“积积”项项，而而它它们们的的“积积”之之“和和”就就构成了一个函数：构成了一个函数：F=B+AB+ABCF=B+AB+ABC“积之和积之和”又被称为又被称为“与与-或表达式或表达式”。24现在学习的是第24页，共77页最小项表达式一一个个具具有有n n个个变变量量的的函函数数的的“积积”项项如如果果包包含含全全部部n n个个变变量量，每每个个变变量量都都以以原原变变量量或或反反变变量量形形式式出出现现，且且仅仅出出现现一一次次，则则这这个个“积积”项项被被称称为为最最小小项项。例例如如三三变变量量最最
16、小小项项：ABCABC、ABCABC、ABCABC等等。等等。如如果果一一个个函函数数完完全全由由最最小小项项组组成成，则则称称该该函函数数为为标标准准“积积之之和和”表表达达式式，即即最最小小项项表表达达式。式。25现在学习的是第25页，共77页问题：由问题：由n n个变量组成的最小项总共可有多少个？个变量组成的最小项总共可有多少个？因因为为最最小小项项中中每每个个变变量量可可以以用用原原变变量量和和反反变变量量两两种种形形式式出出现现，所所以以n n个个变变量量共共可可以以组组成成2 2n n个个最最小小项项，即即3 3个个变变量可以组成量可以组成8 8个最小项。个最小项。通通常常用用m
17、mi i表表示示最最小小项项，下下标标i i是是怎怎样样确确定定的的呢呢？当当ABCABC确确定定后后，如如果果将将原原变变量量看看成成1 1，反反变变量量看看成成0 0，则则1 1和和0 0就就排排列列成成一一个个二二进进制制数数，与与这这个个二二进进制制数数相相对对应应的的十十进进制制数数，就是最小项的下标就是最小项的下标i i的值。的值。例例如如：ABC(011)ABC(011)2 2=(3)=(3)10 10 mm3 3,3,3个个变变量量的的最最小小项项有有如如下下8 8个：个：m m0 0、m m1 1、m m2 2、m m3 3、m m4 4、m m5 5、m m6 6、m m7
18、 7。26现在学习的是第26页，共77页所以函数所以函数 F(A、B、C)=ABC+ABC+ABC+ABC =m(2、3、6、7)注意：注意：等等式式左左边边括括号号内内变变量量的的顺顺序序非非常常重重要要，与与最最小小项项的的编编号有关，切记！号有关，切记！任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数都都可可以以表表示示成成若若干干个个最最小小项项的的“和和”。27现在学习的是第27页，共77页最小项性质：、对对于于任任意意一一个个最最小小项项，只只有有一一组组变变量量的的取取值值使使其其为。为。、对于任一组变量的取值，任意两个最小项之积为。、对于任一组变量的取值，任意两个最小项之积为。、变量的全部最小
19、项之和为。、变量的全部最小项之和为。、个变量的任一最小项，都有个相邻的最小项。、个变量的任一最小项，都有个相邻的最小项。28现在学习的是第28页，共77页2、“和之积”指指一一个个函函数数表表达达式式中中包包含含着着若若干干个个“和和”项项，每每个个“和和”项项中中可可有有一一个个或或多多个个以以原原变变量量或或反反变变量量形形式式出出现现的的字字母母，所所有有这这些些“和和”项项的的“积积”就就表表示示了了一一个个函函数数。例例如如：(A+B)(A+B)、(B+C)(B+C)、(A+B+D)(A+B+D)均均为为“和和”项项，而而它它们们的的“和和”之之“积积”就构成了一个函数：就构成了一个
20、函数：F=(A+B)(B+C)(A+B+D)F=(A+B)(B+C)(A+B+D)“和之积和之积”又被称为又被称为“或或-与表达式与表达式”。29现在学习的是第29页，共77页最大项表达式：一个具有n个变量的函数的“和”项如果包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现，且仅出现一次，则这个“和”项被称为最大项。例如：A+B+C、A+B+C、A+B+C等等。如果一个函数完全由最大项组成，则称该函数为标准“和之积”表达式，即最大项表达式。30现在学习的是第30页，共77页问题：由n个变量组成的最大项总共可有多少个？因为最大项中每个变量可以用原变量和反变量两种形式出现，所以n个变量共可以组
21、成2n个最大项，即3个变量可以组成8个最大项，例如：由A、B、C三个变量组成的最大项可以有如下8个：A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C。通常用Mi 表示最大项，i是怎样确定的呢？当ABC确定后，如果将原变量看成0，反变量看成1，则0和1就排列成一个二进制数，与这个二进制数相对应的十进制数，就是最大项的下标i的值。例如：A+B+C (010)2=(2)10 M231现在学习的是第31页，共77页所以函数 F(A、B、C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M(2、3、6、7)注意：等式左边括号内变量的顺序非常重要
22、，与最大项的编号有关，切记！任何一个逻辑函数都可以表示成若干个最大项的“积”的形式。32现在学习的是第32页，共77页推论：n个变量的2n个最大项不是包含在F的标准“和之积”之中，便是被包含在F的标准“和之积”之中。推论：n个变量的2n个最大项之积恒等于0。33现在学习的是第33页，共77页问题：最小项和最大项有什么关系？下标相同的最小项和最大项之间存在互补关系。即：Mi=mi mi=Mi 例如：m3=ABC，则 M3=A+B+C 因为 M3=A+B+C，所以 M3=A+B+C=ABC=m334现在学习的是第34页，共77页3、其它形式例如例如F=(AB+D)(AB+CD)F=(AB+D)(A
23、B+CD)上上式式既既不不是是“与与或或”表表达达式式，也也不不是是“或或与与”表表达达式式，但但通通过过一一定定的的运运算算，可可以以转转换换成成“与与或或”表表达达式式或或“或或与与”表表达达式。式。F=(A+D)(B+D)(AB+C)(AB+D)F=(A+D)(B+D)(AB+C)(AB+D)=(A+D)(B+D)(A+C)(B+C)(A+D)(B+D)=(A+D)(B+D)(A+C)(B+C)(A+D)(B+D)=(A+D)(B+D)(A+C)(B+C)=(A+D)(B+D)(A+C)(B+C)即得即得“或与或与”表达式，同理可得表达式，同理可得“与或与或”表达式表达式35现在学习的是
24、第35页，共77页2.3.4 逻辑函数表达式的转换通常都转换成标准形式通常都转换成标准形式(最小项或最大项最小项或最大项):):一、代数转换法一、代数转换法 1 1、转换成最小项、转换成最小项利利用用逻逻辑辑代代数数的的公公理理、定定理理和和规规则则对对表表达达式式进进行行逻逻辑变换。过程如下：辑变换。过程如下：将表达式转换成一般将表达式转换成一般“与与或表达式或表达式”。将表达式中非最小项的将表达式中非最小项的“与与”项都扩展成最小项。项都扩展成最小项。36现在学习的是第36页，共77页例：将F=A+BC转换成最小项之和 F=A+BC=A(B+B)(C+C)+(A+A)BC =ABC+ABC
25、+ABC+ABC+ABC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =m(1,4,5,6,7)37现在学习的是第37页，共77页例：将F=(AB+AB+C)AB转换成最小项之和38现在学习的是第38页，共77页2 2、转换成最大项、转换成最大项利利用用逻逻辑辑代代数数的的公公理理、定定理理和和规规则则对对表表达达式式进进行行逻逻辑变换。过程如下：辑变换。过程如下：将表达式转换成一般将表达式转换成一般“或或与表达式与表达式”。将表达式中非最大项的将表达式中非最大项的“或或”项都扩展成最大项。项都扩展成最大项。39现在学习的是第39页，共77页例如2.3：将F=AB+AC转换成最大项之积。
26、F=AB+AC=ABAC=(A+B)(A+C)=(A+B+CC)(A+BB+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M6M7M1M3=M(1,3,6,7)40现在学习的是第40页，共77页二、真值表转换法由由逻逻辑辑变变量量的的所所有有可可能能取取值值的的组组合合及及其其对对应应的的逻逻辑函数值所构成的表格。是一种输入变量的穷举表。辑函数值所构成的表格。是一种输入变量的穷举表。对对应应每每一一个个逻逻辑辑函函数数的的表表达达式式可可以以列列出出其其真真值值表表，由由每每一一个个真真值值表表也也可可以以写写出出其其对对应应的的逻逻辑辑函数表达式。函数表达式。41现在学习的
27、是第41页，共77页真值表转换为逻辑表达式、转换成最小项、转换成最小项当当列列出出真真值值表表后后，只只要要将将真真值值表表中中取取值值为为1 1的的最最小小项项或或起起来来，就就可可以以得得到到函函数数的的与与或或表表达达式式这这样样得得到到的的一一般般是最小项表达式。是最小项表达式。、转换成最大项、转换成最大项当当列列出出真真值值表表后后，只只要要将将真真值值表表中中取取值值为为0 0的的最最大大项与起来，就可以得到函数的表达式。项与起来，就可以得到函数的表达式。42现在学习的是第42页，共77页例如：三人表决器。43现在学习的是第43页，共77页3、卡诺图：逻逻辑辑关关系系的的一一种种图
28、图形形表表示示形形式式。同同时时也也是是化化简逻辑表达式的一种非常有效的方法。简逻辑表达式的一种非常有效的方法。卡卡诺诺图图是是一一种种直直观观的的平平面面方方块块图图。它它根根据据输输入入变变量量的的数数量量n n将将平平面面划划分分为为2 2n n 个个方方格格，用用来来表表示示全全部部输输入入变变量量组组合合项项或或者者表表示示全全部部输输出出项项。后后面面详详细讨论。细讨论。44现在学习的是第44页，共77页2.4 逻辑函数的化简为什么要讨论逻辑函数的化简为什么要讨论逻辑函数的化简?一一般般地地说说,逻逻辑辑函函数数表表达达式式愈愈简简单单,则则其其对对应应的的逻逻辑辑电电路也就愈简单
29、路也就愈简单,工作就愈可靠工作就愈可靠,成本就愈低。成本就愈低。虽虽然然同同一一个个逻逻辑辑函函数数可可以以有有不不同同的的表表达达式式的的形形式式,但但是是它它们们的的逻逻辑辑功功能能都都是是相相同同的的,所所以以人人们们必必须须对对逻逻辑辑函函数数进进行化简行化简,求得最简的逻辑表达式。求得最简的逻辑表达式。45现在学习的是第45页，共77页什么样的逻辑函数表达式算是最简的呢？1 1、如如果果最最后后得得到到的的式式子子是是“与与-或或”形形式式的的，则则在在满满足足“与与”项项必必须须为为最最少少的的条条件件下下，每每个个“与与”项项中中的的变变量个数必须为最少量个数必须为最少。2 2、
30、如如果果最最后后得得到到的的式式子子是是“或或-与与”形形式式的的，则则在在满满足足“或或”项项必必须须为为最最少少的的条条件件下下，每每个个“或或”项项中中的的变变量个数必须为最少。量个数必须为最少。46现在学习的是第46页，共77页2.4.1 代数化简法：利利用用逻逻辑辑代代数数的的公公理理、定定理理和和规规则则对对表达式进行逻辑化简。表达式进行逻辑化简。1、“与-或”表达式的化简 (1)并项法:ABC+ABC=AB (2)吸收法:B+ABD=B (3)消去法:A+AB+DE=A+B+DE (4)配项法:AB+AC+BC=AB+AC47现在学习的是第47页，共77页例、化简下面函数。例、化
31、简下面函数。F=A+AB+AB+ABF=AC+ABC+ACD+CDF=A(B+C)(A+B+C)(ABC)(AB+AC)=AB+AC48现在学习的是第48页，共77页2、“或-与”表达式的化简如何对如何对“或或-与与”表达式进行化简？表达式进行化简？利利用用逻逻辑辑代代数数的的公公理理、定定理理和和规规则则对对表表达达式式进进行行逻辑化简。逻辑化简。如如果果对对“或或-与与”不不太太熟熟悉悉，则则可可用用两两次次求求对对偶偶的的方方法法。先先将将“或或-与与”求求对对偶偶转转换换成成“与与-或或”，然然后后化化简简得得出出最最简简式式，最最后后再再求求一一次次对对偶偶，即即可可得得到到最最简简
32、的的“或或-与与”表达式。表达式。49现在学习的是第49页，共77页 总结总结逻逻辑辑代代数数化化简简要要求求对对逻逻辑辑代代数数的的公公理理、定定理理和和规规则则非非常常熟熟悉悉，技技巧巧性性很很强强，有有一一定定的的难难度度，优优点点是是化化简简时时不受逻辑变量数目的约束。不受逻辑变量数目的约束。50现在学习的是第50页，共77页2.4.2 卡诺图化简法1 1、卡诺图的构成、卡诺图的构成 n n变变量量的的卡卡诺诺图图是是一一种种由由2 2n n个个方方格格构构成成的的图图形形，每每个个方方格格表表示示逻逻辑辑函函数数的的一一个个最最小小项项，由由于于任任何何函函数数都都可可以以表表示示成
33、成“最最小小项项之之和和”形形式式，所所以以逻逻辑辑函函数数可可由由卡卡诺诺图图中中若若干干个个方方格格组组成成的的区区域域来来表表示。示。51现在学习的是第51页，共77页 AAA+A=1BBB+B=1一变量卡诺图52现在学习的是第52页，共77页两变量卡诺图如下：AB 0 1 0 1m0m2m1m3ABA A0 1AB ABABABB 0B 1只只有有一一个个变变量量不不同同的的任任何何两两个个最最小小项项称称为为相相邻邻。每每一一个个方方格格和和2 2个方格相邻个方格相邻.53现在学习的是第53页，共77页三变量卡诺图下下图图为为三三变变量量卡卡诺诺图图。卡卡诺诺图图的的左左边边、上上边
34、边书书写写自自变变量量的的可可能能取取值值，规规则则是是相相邻邻只只有有一一位位变变。方方格格中间则表明最小项。中间则表明最小项。ABC 00 01 11 1001m0 m2 m6 m4m1 m3 m7 m5每一个方格和每一个方格和3 3个方格相邻。个方格相邻。ABC ABC ABC ABCABC ABC ABC ABCABC0100 01 11 1054现在学习的是第54页，共77页四变量卡诺图 m0 m4 m12 m8 m1 m5 m13 m9 m3 m7 m15 m11 m2 m6 m14 m10CDAB0001111000011110ADBC每一个方格和每一个方格和4 4个方格相邻。个
35、方格相邻。55现在学习的是第55页，共77页总结一一个个含含有有n n个个变变量量的的卡卡诺诺图图由由2 2n n个个方方格格组组成成，每每个个方方格格代代表表一一个个最最小小项项，在在n n个个变变量量的的卡卡诺诺图图中中，能能直直观观、方方便便地地找找到到每每个个最最小小项项(方方格格)的的n n个个相相邻最小项邻最小项(方格方格)。所所谓谓相相邻邻，就就是是最最小小项项只只含含有有一一个个不不同同的的变量。变量。56现在学习的是第56页，共77页2、逻辑函数在卡诺图上的表示如果逻辑函数已经转换成如果逻辑函数已经转换成“最小项最小项”之和之和的形式，则只要在卡诺图上找到这些最小的形式，则只
36、要在卡诺图上找到这些最小项的方格，并标以项的方格，并标以1 1，其它方格，标以，其它方格，标以0 0，就得到该函数的卡诺图。就得到该函数的卡诺图。例如：F=m1+m2+m3AB 0 101 0 1 1 157现在学习的是第57页，共77页又如：F(A.B.C)=m(0,3,5)画出对应的卡诺图如下：ABC 00 01 11 1001 1 0 0 0 0 1 0 158现在学习的是第58页，共77页再如：F(A.B.C.D)=m(0,3,5,7,10,11,12,14)画出对应的卡诺图如下：ABCD 00 01 11 1000011110 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
37、1 159现在学习的是第59页，共77页如果逻辑函数是如果逻辑函数是“与与-或或”表达式，则要将各表达式，则要将各“与与”项分别表示在卡诺图上，然后填入项分别表示在卡诺图上，然后填入1 1。如：F(A.B.C)=AC+AB+ABC+BCABC 00 01 11 1001 0 1 0 0 1 1 1 160现在学习的是第60页，共77页3.卡诺图上最小项的合并卡卡诺诺图图上上合合并并最最小小项项的的基基本本原原理理是是根根据据逻逻辑辑代代数数定定理理7 7：AB+AB=AAB+AB=A，因因为为它它表表明明，如如果果两两个个“与与”项项(最最小小项项)只只有有一一个个变变量量不不同同，其其余余变
38、变量量都都相相同同，则则这这两两个个“与与”项项可可以以合合并并，并并消消去去这这个个不不同同的的变变量量。由由于于卡卡诺诺图图的的每每个个方方格格代代表表一一个个最最小小项项，两两个个相相邻邻方方格格仅仅有有一一个个变变量量不不同同，因因而而可可以以合合并并成成一一个个较大的区域，并用一个较大的区域，并用一个“与与”项来表示。项来表示。61现在学习的是第61页，共77页二变量卡诺图的三种典型相邻方格的合并图AB 0 101两个最小项合并两个最小项合并AB 0 101AB 0 1010 01 11 01 01 11 0其中AB分别和AB及AB相邻,合并消去两个变量AB+AB=B AB+AB=A
39、 AB+AB+AB=A+B消去一个变量 消去一个变量62现在学习的是第62页，共77页三变量卡诺图的两种典型相邻方格的合并图四个最小项合并四个最小项合并ABC00 01 11 1001ABC00 01 11 10011 0 0 11 0 0 10 1 1 00 1 1 0m0、m1、m4、m5相邻，m2、m3、m6、m7相邻，合并成 B(消去2个变量)合并成 B(同左)63现在学习的是第63页，共77页例如：C 1 1 1 1AB00 01 11 1001以三人表决逻辑为例：根据真值表得到的逻辑表达式为：F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC =m3+m5+m6+m7ABBC AC根
40、据卡诺图化简结果：F=AB+BC+AC相邻的方格可以合并。64现在学习的是第64页，共77页四变量卡诺图的三种典型相邻方格的合并图四个相邻最小项合并的三种情况，消去四个相邻最小项合并的三种情况，消去2 2个变量个变量ABCD00 01 11 1000011110ABCD00 01 11 1000011110ABCD00 01 11 100001111010 0 10 1 1 00 1 1 01 0 0 10 1 1 01 0 0 11 0 0 10 1 1 00 1 0 00 1 0 01 1 1 10 1 0 0m0+m2+m8+m10=BDm5+m7+m13+m15=BDm1+m3+m9+
41、m11=BDm4+m6+m12+m14=BDm4+m5+m6+m7=ABm3+m7+m11+m15=CD65现在学习的是第65页，共77页四变量卡诺图的两种典型相邻方格的合并图八个相邻最小项合并的两种情况，消去八个相邻最小项合并的两种情况，消去3个变量个变量ABCD 00 01 11 1000011110ABCD 00 01 11 10000111100 1 1 00 1 1 00 1 1 00 1 1 01 0 0 11 0 0 11 0 0 11 0 0 1F=BF=B66现在学习的是第66页，共77页推论在在n n个个变变量量组组成成的的卡卡诺诺图图中中，2 2n n个个标标以以1 1的
42、的相相邻邻方方格格都都可可以以进进行行合合并并，即即由由2 2n n个个相相邻邻方方格格所所表表示示的的最最小小项项并并成成一一项项(为为1)1)，并并且且消消去去n n个个变变量。量。67现在学习的是第67页，共77页4、用卡诺图化简逻辑函数：、任任何何两两个个标标“1”1”的的相相邻邻单单元元可可以以形形成成一一个个圈圈，从从而而消消去去一一个变量；个变量；、部部分分四四个个标标“1”1”的的相相邻邻单单元元可可以以形形成成一一个个圈圈，从从而而消消去去两两个个变量；变量；、部部分分八八个个标标“1”1”的的相相邻邻单单元元可可以以形形成成一一个个圈圈，从从而而消消去去三三个变量；个变量；
43、、卡卡诺诺图图化化简简的的过过程程就就是是在在卡卡诺诺图图上上找找出出能能够够覆覆盖盖给给定定函函数数全全部部为为1 1的的单单元元的的圈圈，它它应应该该满满足足个个数数最最少少、同同时时覆覆盖盖面面尽尽可可能能大。然后写出其对应的逻辑表达式。大。然后写出其对应的逻辑表达式。68现在学习的是第68页，共77页CDAB 00 01 11 100001111011111111例：试用卡诺图化简下面的逻辑表达式。解：根据逻辑表达式做出卡诺图如下：根据卡诺图化简 规则，最后得到 化简后的结果：69现在学习的是第69页，共77页CDAB 00 01 11 101111000111101111例：试用卡诺
44、图化简下面的逻辑表达式。解：根据逻辑表达式做出卡诺图如下：根据卡诺图化简 规则，最后得到 化简后的结果：ABCDDCABCDBADCBACDBADCBACDBADCBADCBAF+=),(70现在学习的是第70页，共77页问题：有时要求函数的最简“或与”表达式，如何求呢？合合并并卡卡诺诺图图上上的的1 1方方格格（最最小小项项）可可以以得得到到最最简简与与或或表表达达式式，那那么么合合并并卡卡诺诺图图上上的的0 0方方格格（最最大大项）则可以得到最简或与表达式。项）则可以得到最简或与表达式。71现在学习的是第71页，共77页用卡诺图求函数F=AC+AD+BC+BD的最简“或与”表达式ABCD0
45、0 01 11 10 000111101 0 1 110 1 11 0 1 10 0 0 01.1.先作函数先作函数F F的卡诺图。的卡诺图。2.2.对对图图中中的的0 0方方格格进进行行合合并并，合合并并时时直直接接写写成成或或与与形形式式，得得到到F F的最简的最简“或或与与”表达式：表达式：F=(A+B)(C+D)F=(A+B)(C+D)72现在学习的是第72页，共77页2.4.3 逻辑函数化简中有关问题的考虑1 1、包括无关最小项的逻辑函数的化简、包括无关最小项的逻辑函数的化简实实际际问问题题中中会会遇遇到到虽虽然然大大多多数数最最小小项项有有确确定定的的值值，但但是是另另一一些最小项
46、就没有确定的值，既可以为些最小项就没有确定的值，既可以为1 1，也可以为，也可以为0 0。这是因为：这是因为：某某些些输输入入变变量量组组合合不不允允许许出出现现，或或根根本本不不可可能能出出现现，所所以以没没有有必要考虑其值为必要考虑其值为0 0或或1 1。虽虽然然每每种种输输入入变变量量组组合合都都可可能能出出现现，但但是是人人们们对对其其中中某某些些输输入入组组合合究究竟竟使使函函数数值值为为1 1还还是是0 0并并不不关关心心。如如果果遇遇到到这这类类情情况况，将将这这种种根根本本不不出出现现，或或即即使使出出现现也也不不影影响响函函数数值值的的输输入入变变量量组组合合所所构成的与问题
47、无关的最小项，称为任意项。构成的与问题无关的最小项，称为任意项。73现在学习的是第73页，共77页例如例如8421BCD8421BCD码表达式：码表达式：当当用用4 4位位二二进进制制数数代代码码表表示示1 1位位十十进进制制数数时时，有有6 6种种组组合合是是没没有有用用的的，这这6 6种种组组合合构构成成的的最最小小项项，就就是是无无关关最最小小项项，或称为任意项，常用或称为任意项，常用“d”d”、“x”x”、或、或“”来表示。来表示。例例如如下下面面题题目目：当当用用8421BCD8421BCD码码表表示示的的十十进进制制数数大大于于或或等等于于5 5时时，输输出出为为1 1，否否则则为
48、为0 0。A A、B B、C C、D D为为自自变变量量，F F为为输输出出。最最后后的的6 6种种输输入入变变量量组组合合，在在实实际际中中，不不会会出出现现，它它们对应的函数值用们对应的函数值用“d”d”表示。如何化简函数式？表示。如何化简函数式？74现在学习的是第74页，共77页函数可以写成ABCD 00 01 11 1000011110 0 0 d 1 0 1 d 1 0 1 d d 0 1 d dF=m(5,6,7,8,9)+d(10,11,12,13,14,15)画出左下卡诺图。为了得到最简与或式，可以将任意项看成1项，则经卡诺图化简后，得到最简的“与或”表达式如下：F=A+BC+
49、BD75现在学习的是第75页，共77页如果将任意项看成0项，则经卡诺图化简后，得到最简“与或”表达式如下：ABCD 00 01 11 1000011110 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0F=ABC+ABD+ABC结论：显然，前一个函数表达式比后一个函数表达式要简单，所以巧妙地使用任意项，可以使函数表达式更简单。76现在学习的是第76页，共77页2、多输出逻辑函数的化简问题的提出：问题的提出：对对于于一一组组具具有有相相同同输输入入变变量量的的几几个个输输出出函函数数的的化化简简，不不只只是是考考虑虑单单个个函函数数最最简简，而而且且要要考考虑虑以以多多个个函函数数整整体体最最简简为为目目标标。关关键键要要考考虑虑到到各各函函数的共享部分。数的共享部分。请见下例：请见下例：77现在学习的是第77页，共77页