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1、数学分析第二册章数项级数第1页，此课件共118页哦有限个数相加 第2页，此课件共118页哦无穷多个数相加第3页，此课件共118页哦一、引言一、引言庄子庄子天下篇天下篇“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”第4页，此课件共118页哦如：如：“无限个数无限个数11相加相加”如果写作如果写作 如果写作如果写作=0，=1，第5页，此课件共118页哦定义定义1:给定一个数列给定一个数列un,称其为称其为数项级数数项级数或或无穷级数无穷级数(简称简称级数级数),),称称un为数项级数为数项级数(1)的的通项通项或或一般项一般项.称称Sn为为un的的第第 n 个部分和个部分和,简称简称部分
2、和部分和.常常记记简记简记记记若若（即（即un的部分和数列的部分和数列Sn收收敛敛于于 S）则则称数称数项级项级数数un收收敛敛,称称S为为数项级数数项级数un的的和和,定定义义2 记记若若Sn发散发散,则称数项级数则称数项级数un发散发散.二、级数概念二、级数概念第6页，此课件共118页哦级数的部分和级数的部分和部分和数列部分和数列第7页，此课件共118页哦数项级数数项级数uun n收敛收敛例例1 讨论等比级数讨论等比级数(也称几何级数也称几何级数)的收敛性的收敛性(a0).解解级数的第级数的第 n 个部分和为个部分和为 (1)当当q1时时,(2)当当q=1时时,aqn等比级数等比级数收收敛
3、敛,其和其和为为三、级数计算三、级数计算第8页，此课件共118页哦 发散发散.例例2 讨论数项级数讨论数项级数的收敛性的收敛性.解解 级数级数(4)的第的第n个部分和为个部分和为 总之，等比级数总之，等比级数级级数数(4)收收敛敛,且其和且其和为为 1.第9页，此课件共118页哦例例E4 讨论数项级数讨论数项级数的收敛性的收敛性.解解 级数的第级数的第n个部分和为个部分和为 第10页，此课件共118页哦四、级数性质四、级数性质定理定理(线线性性性性质质)对对 常常数数c,d定理定理 去掉、增加或改变级数的去掉、增加或改变级数的有限项有限项并不改变并不改变 级数的敛散性级数的敛散性.在收敛时，和
4、一般是要变的在收敛时，和一般是要变的.第11页，此课件共118页哦结论结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.第12页，此课件共118页哦定理定理 在在收敛级数收敛级数的项中任意加括号的项中任意加括号,既不改变级数的既不改变级数的收敛性收敛性,也不改变它的和也不改变它的和.证证 设设部分和部分和Sn第13页，此课件共118页哦注注 从级数加括号后的收敛从级数加括号后的收敛,不能推断它在没加括号不能推断它在没加括号 时也收敛时也收敛.例如例如 收敛收敛,但级数但级数 却是
5、发散的却是发散的.第14页，此课件共118页哦数项级数收敛的必要条件n若数项级数 收敛，第15页，此课件共118页哦收敛级数通项的极限为0的证明n证明：第16页，此课件共118页哦注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散;发散发散2.2.必要条件但不充分必要条件但不充分.第17页，此课件共118页哦讨论讨论第18页，此课件共118页哦由定积分的几何意义由定积分的几何意义这块面积显然大于定积分这块面积显然大于定积分以以 1 为底的的矩形面积为底的的矩形面积把每一项看成是以把每一项看成是以 为高为高就是图中就是图中 n 个矩形的面积之和个矩形的面积之和
6、即即故调和级数发散故调和级数发散调和级数的部分和调和级数的部分和第19页，此课件共118页哦级数的Cauchy(柯西)收敛准则定理定理 第20页，此课件共118页哦数项级数收敛的必要条件n特别地取p=1,第21页，此课件共118页哦n定理定理 第22页，此课件共118页哦例例3 用用级级数收数收敛敛的的CauchyCauchy准准则则,证证明明收收敛敛.证证当当mN及任意正及任意正整数整数 p,有有 第23页，此课件共118页哦第二种证明第24页，此课件共118页哦n根据数列的单调有界定理可知 的极限一定存在.第25页，此课件共118页哦例例4 证明证明调和级数调和级数是发散的是发散的.分析分
7、析:一般一般项项 级级数数满满足收足收敛敛必要条件，但不能判断必要条件，但不能判断级级数数收敛收敛 解解:对对 N，只要只要 m N，取取p=m 由由CauchyCauchy收敛准则知，调和级数发散收敛准则知，调和级数发散.第26页，此课件共118页哦正项级数正项级数一、特征一、特征定理：定理：第27页，此课件共118页哦 n二、收敛或发散的判别法二、收敛或发散的判别法第28页，此课件共118页哦比较判别法：比较判别法：第29页，此课件共118页哦例题n判别级数 的敛散性第30页，此课件共118页哦.比较判别法的极限形式：比较判别法的极限形式：第31页，此课件共118页哦证明：证明：第32页，
8、此课件共118页哦例题n判别级数 的敛散性第33页，此课件共118页哦解答第34页，此课件共118页哦例题n判别级数 的敛散性第35页，此课件共118页哦解答第36页，此课件共118页哦n 利用等比级数作为比较对象 得到比式判别法第37页，此课件共118页哦3 3第38页，此课件共118页哦证明第39页，此课件共118页哦第40页，此课件共118页哦4.4.比式判别法的极限形式：比式判别法的极限形式：第41页，此课件共118页哦证明第42页，此课件共118页哦证明第43页，此课件共118页哦例题n判断级数 的敛散性第44页，此课件共118页哦解答n解：第45页，此课件共118页哦例题第46页，
9、此课件共118页哦解答n解：第47页，此课件共118页哦例题n判断级数 的敛散性第48页，此课件共118页哦解答n解：第49页，此课件共118页哦例题n判断级数 的敛散性第50页，此课件共118页哦解答n解：第51页，此课件共118页哦n注意：第52页，此课件共118页哦n考虑下面两个级数第53页，此课件共118页哦5 5第54页，此课件共118页哦证明第55页，此课件共118页哦证明第56页，此课件共118页哦6.6.根式判别法的极限形式：根式判别法的极限形式：第57页，此课件共118页哦证明第58页，此课件共118页哦证明第59页，此课件共118页哦n注意：第60页，此课件共118页哦n同
10、样地，考虑下面两个级数第61页，此课件共118页哦例题n判断级数 的敛散性第62页，此课件共118页哦解答n解：第63页，此课件共118页哦例题n判断级数 的敛散性第64页，此课件共118页哦解答n解：第65页，此课件共118页哦解答第66页，此课件共118页哦解答n另解：第67页，此课件共118页哦比式判别法和根式判别法之比较第68页，此课件共118页哦比式判别法和根式判别法之比较反例：由根式判别法可知级数 是收敛的。但是应用比式判别法，第69页，此课件共118页哦7.7.积分判别法积分判别法证明：证明：第70页，此课件共118页哦第71页，此课件共118页哦积分判别法的应用：积分判别法的应
11、用：例例1 1.解：解：第72页，此课件共118页哦例例2.2.解：解：考虑考虑第73页，此课件共118页哦常用于比较的级数常用于比较的级数等比级数等比级数第74页，此课件共118页哦例题n判别级数 和 的敛散性第75页，此课件共118页哦例题n判别级数 的敛散性第76页，此课件共118页哦例题当当发散发散发散发散收敛收敛第77页，此课件共118页哦例题(证明题)证明：第78页，此课件共118页哦例题(证明题)证明：第79页，此课件共118页哦例题(证明题)证明：故收敛故收敛第80页，此课件共118页哦一般项级数n交错级数 (正项和负项交错排列的级数)第81页，此课件共118页哦一、莱布尼茨一
12、、莱布尼茨（Leibniz）判别法判别法定理定理第82页，此课件共118页哦第83页，此课件共118页哦证明第84页，此课件共118页哦证明第85页，此课件共118页哦第二种证明第86页，此课件共118页哦第二种证明第87页，此课件共118页哦收敛收敛特别地特别地收敛收敛收敛收敛一些收敛级数的例子收敛收敛第88页，此课件共118页哦绝对收敛定理：证法证法1 1：第89页，此课件共118页哦定义定义证法证法2 2：第90页，此课件共118页哦例题例题.绝对收敛绝对收敛.条件收敛条件收敛第91页，此课件共118页哦例题第92页，此课件共118页哦下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质下面讨论绝对收敛级
13、数的两个重要性质.1.级数的重排级数的重排 我们把正整数列我们把正整数列1,2,n,到它自身的一一映射到它自身的一一映射 原数列的重排原数列的重排.相相应应地称地称级级数数 为为原原级级数的重数的重 作作 称称为为正整数列的重排正整数列的重排,相相应应地地对对于数列于数列 第93页，此课件共118页哦定理定理 设设原原级级数数绝对绝对收收敛敛,且其和等于且其和等于S,则则任任 意重排后所得到的新级数意重排后所得到的新级数(*)绝对收敛且和也为绝对收敛且和也为S.第一步第一步 设设原原级级数数是正是正项级项级数数,用用Sn表示它的第表示它的第 n 个个 部分和部分和.又用又用表示表示新新级级数数
14、(*)的第的第m个部分和个部分和.因因为级为级数数(*)为为原原级级数数 *证证 的重排的重排,所以每一所以每一应应等于某一等于某一 第94页，此课件共118页哦即即新新级级数数(*)收收敛敛,且其和且其和由于原级数也可看作新级数由于原级数也可看作新级数(*)的重排的重排,所以也有所以也有 ,从而得到从而得到 .这这就就证证明了明了对对正正项级项级数定数定 理成立理成立.第二步第二步 证明证明(*)绝对收敛绝对收敛.设原级数是一般项级数设原级数是一般项级数 且绝对收敛且绝对收敛,则由第一步结论则由第一步结论,可得可得 收收敛敛,即即新新级级数数(*)是是绝对绝对收收敛敛的的.则对则对于任何于任
15、何 第95页，此课件共118页哦要把要把原原级级数分解成正数分解成正项级项级数的和数的和.为为此令此令第三步第三步 证明绝对收敛级数证明绝对收敛级数(*)的和也等于的和也等于S.根据第根据第 一步的证明一步的证明,收敛的正项级数重排后和不变收敛的正项级数重排后和不变,所以先所以先第96页，此课件共118页哦对对于于原原级级数重排后所得到的数重排后所得到的新新级级数数(*),也可按也可按(8)式的式的 办办法法,把它表示把它表示为为两个收两个收敛敛的正的正项级项级数之差数之差其和不其和不变变,从而有从而有由由原原级级数数绝对绝对收收敛敛,及及(9)式式,知知都是收都是收 敛的正项级数敛的正项级数
16、.因此因此第97页，此课件共118页哦注注 定理只定理只对绝对对绝对收收敛级敛级数成立数成立.条件收条件收敛级敛级 数重排后得到的新级数数重排后得到的新级数,不一定收敛不一定收敛,即使收敛即使收敛,也也 不一定收敛于原来的和不一定收敛于原来的和.更进一步更进一步,条件收敛级数条件收敛级数 适当重排后适当重排后,既可以得到发散级数既可以得到发散级数,也可以收敛于也可以收敛于 任何事先指定的数任何事先指定的数.例如下列级数是条件收敛的例如下列级数是条件收敛的,设设 其和为其和为A,即即第98页，此课件共118页哦将上述两个将上述两个级级数相加数相加,得到的是得到的是(2)的重排的重排:第99页，此
17、课件共118页哦2.级数的乘积级数的乘积 若若为为收收敛级敛级数数,a为为常数常数,则则 由此可以立刻推广到收由此可以立刻推广到收敛级敛级数数 与有限与有限项项和的乘和的乘 积积,即即那么无那么无穷级穷级数之数之间间的乘的乘积积是否也有上述性是否也有上述性质质?第100页，此课件共118页哦将将级级数数(11)与与(12)中每一中每一项项所有可能的乘所有可能的乘积积列成下表列成下表 设有收敛级数设有收敛级数可以按各种方法排成不同的可以按各种方法排成不同的级级数数,常常 用的有按正方形顺序或按对角线顺序用的有按正方形顺序或按对角线顺序.第101页，此课件共118页哦第102页，此课件共118页哦
18、第103页，此课件共118页哦定理定理 (柯西定理柯西定理)若若级级数数(11)、(12)都都绝对绝对收收敛敛,依次相加依次相加,于是分别有于是分别有和和则对则对(13)中中按任意按任意顺顺序排列所得到的序排列所得到的级级数数也也绝对绝对收收敛敛,且其和等于且其和等于AB.*证证 第104页，此课件共118页哦则则必有必有的部分和数列的部分和数列都是有界的都是有界的.由定理条件由定理条件,级级数数(11)与与(12)都都绝对绝对收收敛敛,因而因而 第105页，此课件共118页哦 于是于是 是有界的是有界的,从而从而级级数数 绝对绝对收收敛敛.下面下面证证明明的和的和由于绝对收敛级数具有可重排的
19、性质由于绝对收敛级数具有可重排的性质,即级数的和即级数的和 与采用哪一种排列的次序无关与采用哪一种排列的次序无关,为此为此,采用正方形采用正方形 顺顺序并序并对对各被加各被加项项取括号取括号,即即 将每一括号作将每一括号作为为一一项项,得到新得到新级级数数第106页，此课件共118页哦同收同收敛敛,且和相同且和相同.用用表示表示(17)的的 与与部分和部分和,则则有关系式有关系式:从而从而第107页，此课件共118页哦例题例题 等比等比级级数数是是绝对绝对收收敛敛的的.将将按按对角线对角线顺顺序排列序排列,则则得得 到到 注注 级级数乘数乘积积在在幂级幂级数数(第十四章第十四章)中有重要中有重
20、要应应用用.第108页，此课件共118页哦例题第109页，此课件共118页哦一般项级数n一般项级数收敛性的判别法 第110页，此课件共118页哦第一种判别法n 1.绝对收敛的级数一定收敛！第111页，此课件共118页哦第二种判别法第112页，此课件共118页哦三、三、Abel和和Dirichlet判别法判别法1.1.分部求和公式分部求和公式(Abel变换变换)：第113页，此课件共118页哦注：注：可视为可视为类似于分部积分公式类似于分部积分公式证明：证明：第114页，此课件共118页哦2 2.Abel引理：引理：证明：证明：？第115页，此课件共118页哦.Dirichlet判别法判别法Dirichlet判别法是判别法是Leibniz判别法的推广判别法的推广第116页，此课件共118页哦证明：证明：第117页，此课件共118页哦.bel判别法判别法证明：证明：收敛收敛第118页，此课件共118页哦