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1、工业机器人静力计算及动力学分析第一页，讲稿共十九页哦3.1 工业机器人速度雅可比与速度分析工业机器人速度雅可比与速度分析第第3章章工业机器人静力计算及动力学分析工业机器人静力计算及动力学分析一、一、工业机器人速度雅可比矩阵工业机器人速度雅可比矩阵 数数学学上上,雅雅可可比比矩矩阵阵(JacobianMatrix)是是一一个个多多元元函函数数的的偏偏导矩阵。假设有六个函数导矩阵。假设有六个函数,每个函数有六个变量每个函数有六个变量,即即(3.1)第二页，讲稿共十九页哦可写成可写成Y=F(X)可简写成可简写成 第3章 工业机器人静力计算及动力学分析将其微分将其微分,得得(3.2)(3.3)式中式中
2、,(66)矩阵矩阵称为雅可比矩阵称为雅可比矩阵。第三页，讲稿共十九页哦即即 以以二二自自由由度度平平面面关关节节机机器器人人为为例例,如如图图3-1所所示示,机机器器人人的的手部坐手部坐标标(x,y)相相对对于关于关节变节变量量(1,2)有有图图3-1二自由度平面关节机器人二自由度平面关节机器人 第3章 工业机器人静力计算及动力学分析(3.5)(3.4)第四页，讲稿共十九页哦 第3章 工业机器人静力计算及动力学分析求求微分有微分有(3.6)写成矩阵写成矩阵为为(3.7)第五页，讲稿共十九页哦 第3章 工业机器人静力计算及动力学分析令令(3.8)则式则式(3.8)可简写为可简写为 dX=Jd(3
3、.9)式中式中,第六页，讲稿共十九页哦 第3章 工业机器人静力计算及动力学分析由此可求得由此可求得(3.10)对于对于n自由度机器人自由度机器人,由由X=X(q)可知可知,其中其中J(q)是是(6n)的偏导数矩阵的偏导数矩阵,称为称为n自由度机器人速自由度机器人速度雅可比矩阵。度雅可比矩阵。dX=J(q)dq(3.11)矩阵的第矩阵的第i行第行第j列元素为列元素为第七页，讲稿共十九页哦二、工业机器人速度分析二、工业机器人速度分析 第3章 工业机器人静力计算及动力学分析把式把式(3.11)两边各除以两边各除以dt,得得(3.12)其中其中:V:V机器人末端在操作空间中的广义速度机器人末端在操作空
4、间中的广义速度,V V=X X;J J(q q)速度雅可比矩阵速度雅可比矩阵;q机器人关节在关节空间中的关节速度。机器人关节在关节空间中的关节速度。或或 V=J(q)q(3.13)第八页，讲稿共十九页哦若若 把把 J(q)矩矩 阵阵 的的 第第 1列列 与与 第第2列列 矢矢 量量 记记 为为J1、J2,则则3-13式式 有有V=J11+J22,说说明明机机器器人人速速度度雅雅可可比比的的每每一一列列表表示示其其它它关关节节不不动动而而某某一一关节运动时产生的端点速度。关节运动时产生的端点速度。二自由度手部速度为二自由度手部速度为(3.14)若若已已知知关关节节上上1与与2是是时时间间的的函函
5、数数,1=f1(t),2=f2(t),则则可可求求出出该该机机器器人人手手部部在在某某一一时时刻刻的的速速度度V=f(t),即即手手部部瞬瞬时时速速度度。反反之之,给给定定机机器器人人手手部部速速度度,可可由由V=J(q)q解解出出相相应应的的关关节节速速度度，q=J-1V，式式中中J-1为为机机器器人人逆速度雅可比矩阵。逆速度雅可比矩阵。.第3章 工业机器人静力计算及动力学分析第九页，讲稿共十九页哦 逆速度雅可比逆速度雅可比J J-1-1出现奇异解的出现奇异解的情况如下情况如下:工工作作域域边边界界上上的的奇奇异异:机机器器人人手手臂臂全全部部伸伸开开或或全全部部折折回回时时,叫奇异形位。该
6、位置产生的解称为工作域边界上的奇异。叫奇异形位。该位置产生的解称为工作域边界上的奇异。工工作作域域内内部部奇奇异异:机机器器人人两两个个或或多多个个关关节节轴轴线线重重合合引引起起的的奇奇异异。当当出出现现奇奇异异形形位位时时,会会产产生生退退化化现现象象,即即在在某某空空间间某某个个方方向向(或或子子域域)上上,不不管管机机器器人人关关节节速速度度怎怎样样选选择择,手手部部也也不不可可能能动。动。第3章 工业机器人静力计算及动力学分析第十页，讲稿共十九页哦由式由式q=J-1V 可得，可得，且，且，即即vx=1m/s，vy=0，因此，可得：，因此，可得：第3章 工业机器人静力计算及动力学分析解
7、：由公式解：由公式3.10知，二自由度机械手速度雅可比为知，二自由度机械手速度雅可比为因此，逆雅可比为因此，逆雅可比为例例3-1如图如图3-2所示，二自由度机械手，手部沿固定坐标系所示，二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以轴正向以1.0m/s速度移动，杆长为速度移动，杆长为l1=l2=0.5m。设在某瞬间时。设在某瞬间时1=30，2=-60，求相应瞬间的关节速度。求相应瞬间的关节速度。图图3-2二自由度机械手手爪二自由度机械手手爪沿沿X0方向运动方向运动Y0X0Y2X2l1l212v2第十一页，讲稿共十九页哦 综上所述，在该瞬时，两关节的位置和速度分别为综上所述，在该瞬时，两关节的位置
8、和速度分别为1=30，2=-60，1=-2rad/s，2=4rad/s，手部瞬时速度为，手部瞬时速度为1m/s。第3章 工业机器人静力计算及动力学分析奇异讨论：奇异讨论：当当l1l2s2=0时，上式无解。时，上式无解。第十二页，讲稿共十九页哦一一.机器人力雅可比矩阵机器人力雅可比矩阵 第3章 工业机器人静力计算及动力学分析3.2工业机器人力雅可比与静力计算工业机器人力雅可比与静力计算(3.15)其中其中:广义关节力矩广义关节力矩;F F机器人手部端点力机器人手部端点力;JT(n6)阶机器人力雅可比矩阵阶机器人力雅可比矩阵,简称力雅可比。简称力雅可比。假定关节无摩擦假定关节无摩擦,忽略各杆件的重
9、力忽略各杆件的重力,则有则有第十三页，讲稿共十九页哦 式式(3.15)可用虚功原理证明。可用虚功原理证明。证证明明:如如图图3-4所所示示,各各个个关关节节的的虚虚位位移移组组成成机机器器人人关关节节虚虚位位移移矢矢量量qi;末末端端操操作作器器的的虚虚位位移移矢矢量量为为X,由由线线虚虚位位移移d矢矢量量和和角角虚虚位位移移矢矢量组成。量组成。(3.16)q=q=q q1 1 q q2 2 qnT(3.17)图图3-4关节及末端操作虚位移关节及末端操作虚位移 第3章 工业机器人静力计算及动力学分析第十四页，讲稿共十九页哦设设发发生生上上述述虚虚位位移移时时,各各关关节节力力为为i(i=1,2
10、,，n),环环境境作作用用在在机机器器人人手手部部端端点点上上的的力力和和力力矩矩分分别别为为-f和和-n,由由上上述述力力和和力力矩矩所所做做的的虚虚功功可以由下式求出可以由下式求出:W=1q1+2q2+nqn-fd-n(3.18)或写成或写成 W=Tq-FTX(3.19)根根据据虚虚位位移移原原理理,机机器器人人处处于于平平衡衡状状态态的的充充分分必必要要条条件件是是对对任任意的符合几何约束的虚位移意的符合几何约束的虚位移,有有W=0,又因又因dX=Jdq,代入得代入得W=Tq-FTX=Tq-FTJq=-JTFTq(3.20)第3章 工业机器人静力计算及动力学分析第十五页，讲稿共十九页哦式
11、式中中,q表表示示几几何何上上允允许许位位移移的的关关节节独独立立变变量量,对对任任意意的的q,欲欲使使W=0成立成立,必有必有=JTF(3.21)式式中中,JT与与手手部部端端点点力力和和广广义义关关节节力力矩矩之之间间的的力力传传递递有有关关,称称为为机器人力雅克比。机器人力雅克比。机器人力雅克比正好是速度雅克比的转置。机器人力雅克比正好是速度雅克比的转置。第3章 工业机器人静力计算及动力学分析第十六页，讲稿共十九页哦二二.机器人静力计算的两类问题机器人静力计算的两类问题 第3章 工业机器人静力计算及动力学分析从操作臂手部端点力从操作臂手部端点力F与广义关节力矩与广义关节力矩之间的关系式之
12、间的关系式=JTF可知可知,操操作臂静力计算可分为两类作臂静力计算可分为两类:(1)已知外界对手部作用力已知外界对手部作用力F,求满足静力平衡条件的关节驱动力矩求满足静力平衡条件的关节驱动力矩(=JTF)。(2)已知关节驱动力矩已知关节驱动力矩,确定机器人手部对外界环境的作用力确定机器人手部对外界环境的作用力F或或负荷质量负荷质量(逆解逆解,即求解即求解F=(JT)-1)。当自由度当自由度n6时时,力雅可比可能不是方阵力雅可比可能不是方阵,JT没有逆解没有逆解,一般情况下不一般情况下不一定能得到惟一的解。一定能得到惟一的解。第十七页，讲稿共十九页哦例例3-2由图所示的一个二自由度平面关节机械手
13、，已知手部端点力由图所示的一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点力F=FxFyT,求相应于端点力求相应于端点力F的关节力矩（不考虑摩擦）。的关节力矩（不考虑摩擦）。第3章 工业机器人静力计算及动力学分析图图3-5手部端点力手部端点力F与关节力矩与关节力矩TY0X0l2l121FyFFx2=901=0F=Fx FyTY0X0l1l21212(a)(b)第十八页，讲稿共十九页哦已知该机械手的速度雅可比为：已知该机械手的速度雅可比为：则该机械手的力雅可比为：则该机械手的力雅可比为：根据根据=JTF，得：，得：所以所以1=-(l1s1+l2s12)Fx+(l1c1+l2c12)Fy2=-l2s12Fx+l2c12Fy 若如图（若如图（b）所示，在某瞬间时）所示，在某瞬间时1=0，2=90，则则在在该该瞬瞬间时间时与手部端点力与手部端点力相相应应的关的关节节力矩力矩为为：1=-l2Fx+l1Fy2=-l2Fx解：解：第3章 工业机器人静力计算及动力学分析第十九页，讲稿共十九页哦