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1、高等数学二重积分的计算1第1页，此课件共42页哦0 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x (y)c y d2第2页，此课件共42页哦0 xz ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).yD:(y)x (y)Q(y)=I=c y d3第3页，此课件共42页哦0 xz ydD:(y)x (y)c y dQ(y)=I=z=f(x,y)x=(y)4第4页，此课件共42页哦1.积分区域为积分区域为:其中函数其中函数 在区间在区间c,d上连续上连续.即即二重积分的计算有两种积分顺序二重积分的计算有两种积分顺序5第5页，此课件共42页哦2.积分区域为积分区域为:其中函数其中函
2、数 在区间在区间 上连续上连续.6第6页，此课件共42页哦3.若区域如图若区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.(利用积分区域的可加性利用积分区域的可加性)则则必须分割必须分割.7第7页，此课件共42页哦例例 求求解解所围平面闭区域所围平面闭区域.两曲线的交点两曲线的交点法一法一8第8页，此课件共42页哦法二法二9第9页，此课件共42页哦特殊地特殊地,D为矩形域为矩形域:a x b,c y d.即等于两个定积分的乘积即等于两个定积分的乘积.则则则则如如D是上述矩形域是上述矩形域,10第10页，此课件共42页哦例例siny2 对对y的积分的积分而它对
3、而它对x的积分的积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序.用联立不等式表示用联立不等式表示 D:11第11页，此课件共42页哦oxy12第12页，此课件共42页哦解解 求求 其中其中D 是以是以为顶点的三角形为顶点的三角形.所以所以,积分时必须考虑次序积分时必须考虑次序.因因 无法用初等函数表示无法用初等函数表示,13第1
4、3页，此课件共42页哦例例 交换积分次序交换积分次序:解解 积分区域积分区域:原式原式=14第14页，此课件共42页哦解解 计算积分计算积分所以所以,先交换积分次序先交换积分次序.因因 不能用初等函数表示不能用初等函数表示,15第15页，此课件共42页哦解解原式原式=交换积分次序：交换积分次序：16第16页，此课件共42页哦解解交换积分次序交换积分次序17第17页，此课件共42页哦而且又是能否进行计算的问题而且又是能否进行计算的问题.计算二重积分时计算二重积分时,恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题,凡遇如下形式积分凡遇如下形式
5、积分:等等,一定要放在后面积分一定要放在后面积分.18第18页，此课件共42页哦例例 求证求证对于左边的累次积分对于左边的累次积分,先交换积分次序先交换积分次序.积分区域积分区域:可表为可表为:证证19第19页，此课件共42页哦10.2.2 在极坐标系下计算二重积分在极坐标系下计算二重积分二重积分在极坐标下的表达式为二重积分在极坐标下的表达式为极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素20第20页，此课件共42页哦在极坐标系下在极坐标系下,一般化成一般化成1.极点在区域极点在区域D 的外面的外面21第21页，此课件共42页哦2.极点在区域极点在区域D 的边界上的边界上(曲边扇形曲边扇形)22第2
6、2页，此课件共42页哦极坐标系极坐标系下区域的下区域的面积面积3.极点在区域极点在区域D 的内部的内部23第23页，此课件共42页哦 直角坐标与极坐标的关系为直角坐标与极坐标的关系为 2.积分区域积分区域D 是由圆弧、或圆弧与直线所围成，是由圆弧、或圆弧与直线所围成，常用极坐标计算常用极坐标计算因此因此 在极坐标下在极坐标下 1.若被积函数形如若被积函数形如圆环、扇形等圆环、扇形等.24第24页，此课件共42页哦解解例例 写出积分写出积分的极坐标二次积分的极坐标二次积分形式形式,其中积分区域其中积分区域在极坐标系下在极坐标系下,圆的方程为圆的方程为直线的方程为直线的方程为P234 5(5)25
7、第25页，此课件共42页哦解解a例例 计算计算其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a 的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下在极坐标系下注注26第26页，此课件共42页哦D2例例 计算计算分析分析:因被积函数因被积函数故故的的在积分域内变号在积分域内变号.D1解解27第27页，此课件共42页哦解解计算计算所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.及直线及直线28第28页，此课件共42页哦将将直角坐标系直角坐标系下累次积分下累次积分:化为化为极坐标系极坐标系下的下的累次积分累次积分.oxy解解原式原式=29第29页，此课件共42页哦例例 将积分化为将积分化为极坐标形式
8、极坐标形式r=Ry=R xD1D2R0y xDarctanR解解30第30页，此课件共42页哦设区域设区域D关于关于x轴对称轴对称,如果函数如果函数 f(x,y)关于变量关于变量 y为为偶偶函数函数.oxyD1则则D1为为D在第在第 一象限中一象限中的部分的部分,则则如果如果 f(x,y)关于变量关于变量y为为奇函数奇函数 我们经我们经常常利用被积函数的利用被积函数的奇、偶性奇、偶性和积分区域和积分区域的的对称性质对称性质简化重积分的计算简化重积分的计算.10.2.3 对称性与二重积分对称性与二重积分31第31页，此课件共42页哦如果函数如果函数 f(x,y)关于变量关于变量x为奇函数为奇函数
9、oxyD1如果函数如果函数 f(x,y)关于变量关于变量x则则为偶为偶函数函数则则类似地类似地,设区域设区域D关于关于y轴对称轴对称,D1为为D在在第一象限中的部分第一象限中的部分,32第32页，此课件共42页哦00D1为上半圆域为上半圆域D2为右半圆域为右半圆域例如例如,设设D为圆域为圆域(如图如图)33第33页，此课件共42页哦34 解解由性质得由性质得 例例34第34页，此课件共42页哦 计算计算解解 积分区域积分区域D关于关于x轴对称轴对称,被积函数关于被积函数关于y为偶函数为偶函数.原式原式=记记D1为为D的的y0的部分的部分.则则D1例例35第35页，此课件共42页哦36 思考思考
10、当当f为为关于关于x且且关于关于y的偶函数的偶函数时：时：当当f为为关于关于x或或关于关于y的奇函数的奇函数时：时：04Di是区域是区域D位于第位于第i(i=1,2,3,4)象限的区域象限的区域 设区域设区域 关于关于x轴、轴、y轴均对称轴均对称,函数函数f(x,y)在在D上可积，则上可积，则36第36页，此课件共42页哦37若若D为为 此式的此式的几何意义几何意义是是:中心在原点的上半球的体积中心在原点的上半球的体积等于它在第一卦限内的体积的等于它在第一卦限内的体积的4倍倍.0D1为为 x0,y 0,则则37第37页，此课件共42页哦为顶点的三角形区域为顶点的三角形区域,D1是是D在第一象限
11、的部分在第一象限的部分,(A)(B)(C)(D)0A38第38页，此课件共42页哦D1D2D3D4记记 I=则则I=I1+I2,其中其中I1=I2=而而 I1=D1与与D2关于关于y轴对称轴对称D3与与D4关于关于x轴对称轴对称xy关于关于x和关于和关于y都是奇函数都是奇函数39第39页，此课件共42页哦而而 I2 =是是关于关于x的偶函数的偶函数,关于关于y的奇函数的奇函数.所以所以 D1D2D3D440第40页，此课件共42页哦例例计算计算 分析分析从被积函数看从被积函数看,用极坐标系要简单些用极坐标系要简单些,但从积分域但从积分域D的形状看的形状看为宜为宜.却又以用直角坐标系却又以用直角坐标系在两者不可兼得的情况下在两者不可兼得的情况下,应以应以D的形状的形状来决定用什么坐标系来决定用什么坐标系,此题用直角坐标系此题用直角坐标系.41第41页，此课件共42页哦42第42页，此课件共42页哦